2016高考数学大一轮复习1.2命题及其关系充分条件与必要条件教师用书理苏教版

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1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x34”是“a2且b2”的充分条件()(6)若(0,2)，则“sin 1”的充要条件是“”()1命题“若

2、，则tan 1”的逆否命题是_答案若tan 1，则解析命题“若，则tan 1”的逆否命题是“若tan 1，则”2已知命题p：若x1，则向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_答案2解析向量a，b共线xx(x2)0x0或x1，命题p为真，其逆命题为假，故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.3(2013福建改编)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_条件答案充分不必要解析a3时A1,3，显然AB.但AB时，a2或3.4下列命题正确的有_“ab”是“a2b2”的充分条件；“|a|b|”是“a2

3、b2”的充要条件；“ab”是“acbc”的充要条件；“ab”是“ac2bc2”的充要条件答案解析由于|a|b|a2b2，abacbc，故正确由于abDa2b2，且a2b2Dab，故错；当c20时，abDac2bc2，故错.题型一四种命题及真假判断例1(1)给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是_(2)命题“对于正数a，若a1，则lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四

4、个命题中，真命题的个数为_答案(1)(2)4解析(1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以为假命题；符合两个平面相互垂直的判定定理，所以为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知为真命题(2)原命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题；否命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；若

5、命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假(1)命题“若，则cos ”的逆命题是_若，则cos ；若，则cos ；若cos ，则；若cos ，则.(2)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是下列命题中的_若xy是偶数，则x与y不都是偶数；若xy是偶数，则x与y都不是偶数；若xy不是偶数，则x与y不都是偶数；若xy不是偶数，则x与y都不是偶数答案(1)(2)解析(1)命题“若，

6、则cos ”的逆命题是“若cos ，则”(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”题型二充要条件的判断例2 (1)(2014福建改编)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为”的_条件(2)如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的_条件答案(1)充分不必要(2)必要不充分解析(1)将直线l的方程化为一般式得kxy10，所以圆O：x2y21的圆心到该直线的距离d.又弦长为2，所以SOAB，解得k1.因此可知“k1”是“

7、OAB的面积为”的充分而不必要条件(2)设集合A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，则A的补集C(x，y)|xy，B的补集D(x，y)|cos xcos y，显然CD，所以BA.于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件思维升华充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的某种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的某种条件

8、(1)(2014湖北改编)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的_条件(2)(2013北京改编)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的_条件答案(1)充要(2)充分不必要解析(1)若存在集合C使得AC，BUC，则可以推出AB；若AB，由Venn图(如图)可知，存在AC，同时满足AC，BUC.故“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充要条件(2)当时，ysin(2x)sin 2x过原点当曲线过原点时，k，kZ，不一定有.所以“”是“曲线ysin(2x)过原点”的充分不必要条件题型三根据充要条件求解参数的取值范围例3(1)函数f(x)有且只有一个零点的充分不

9、必要条件是_a0; 0a；a1.(2)已知集合Ax|x2x10，若AR，则实数m的取值范围为_思维点拨考虑条件所对应集合的包含关系，“以小推大”答案(1)(2)(，4)解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a1.观察选项，根据集合间关系a|a1正确(2)AR，则A，即等价于方程x2x10无实数解，即m40，即m4，注意m0时也表示A.思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集

10、合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)要注意区间端点值的检验(1)条件p：2x4，条件q：(x2)(xa)0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是_(2)已知命题p：实数m满足m212a20)，命题q：实数m满足的方程1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为_答案(1)(，4)(2)，解析(1)由题意，可得p是q的充分不必要条件，x|2x4x|(x2)(xa)4，即a0，m27am12a20，得3am4a，即命题p：3am0.由1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m，即命题q：1m.因为p是q的充分不必要条件，所以或解得a，所

11、以实数a的取值范围是.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(1)设p：|4x3|1；q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_(2)f(x)是R上的增函数，且f(1)4，f(2)2，设Px|f(xt)13，Qx|f(x)4，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是_答案(1)0，(2)(3，)解析(1)设Ax|4x3|1，Bx|x2(2a1)xa(a1)0，易知Ax|x1，Bx|axa1由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，或故所求实数a的取值范围是0，(2)依题意，Px|f(xt)13x|f(xt)2x

12、|f(xt)f(2)，Qx|f(x)4x|f(x)f(1)因为函数f(x)是R上的增函数，所以Px|xt2x|x2t，Qx|x1，要使“xP”是“xQ”的充分不必要条件，需有2t3.温馨提醒(1)本题用到等价转化：将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系将条件之间的关系转化成集合之间的关系(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到方法与技巧1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定2充要条

13、件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件失误与防范1当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提2判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式3判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q

14、”等语言.A组专项基础训练(时间：30分钟)1一个命题的逆否命题是“若x1，则x22x0”，那么该命题的原命题是_答案若x22x0，则x1解析首先将逆否命题的条件和结论互换，然后将条件和结论分别否定，即可得到原命题2已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是_答案若abc3，则a2b2c23解析命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“abc3，则a2b2c20，则方程x2xm0有实根”的逆命题为真命题；命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，则m0或n0”答案解析中命题的逆命题为“若方程x2xm0有实根，则m0”若方程有实根，则

15、14m0，即m，不能推出m0.所以不是真命题故错误4已知集合A1,2，B1，a，b，则“a2”是“AB”的_条件答案充分不必要解析当a2时，因为B1,2，b，所以AB；反之，若AB，则必有2B，所以a2或b2，故“a2”是“AB”的充分不必要条件5命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是_答案若xy，则x2y2解析根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”6已知向量a(m2，9)，b(1，1)，则“m3”是“ab”的_条件答案充分不必要解析当m3时，a(9，9)，b(1，1)，则a9b，所以ab，即“m3”“ab”；当ab时，m29，得m

16、3，所以“ab”D“m3”故“m3”是“ab”的充分不必要条件7给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是_答案1解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数yf(x)的图象不过第四象限，则函数yf(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个8函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_答案m2解析已知函数f(x)x22x1的图象关于直线x1对称，则m2；反之也成立所以函数f(x)x2mx1的图象关

17、于直线x1对称的充要条件是m2.9 “若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是_答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题10“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件答案充分不必要解析x2xm0有实数解等价于14m0，即m，因为mm，反之不成立故“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的充分不必要条件11若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_答案0,2解析由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或0m2.12有下列几个命题：“若ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x

18、，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是_答案解析原命题的否命题为“若ab，则a2b2”错误原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则xy0”正确原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x24”正确B组专项能力提升(时间：15分钟)1若集合Ax|2x3，Bx|(x2)(xa)0，则“a1”是“AB”的_条件答案充分不必要解析当a1时，Bx|2x1”是“a2b21”的_条件答案充分不必要解析ab1，即ab1.又a，b为正数，a2(b1)2b212bb21，即a2b21成立，反之，当a，b1时，满足a2b21，但ab1不成立所以“ab1”是“a2b21”充分不必要条件

19、3给定两个命题p、q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的_条件答案充分不必要解析若綈p是q的必要不充分条件，则q綈p但綈pD q，其逆否命题为p綈q但綈qD p，所以p是綈q的充分不必要条件4已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线xy10与圆x2y2相切其中真命题的序号是_答案解析对于命题，设球的半径为R，则3R3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题，圆x2y2的圆心(0,0

20、)到直线xy10的距离d，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确5已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析Ax|1x3，即m2.6下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b全不为零”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件正确的是_答案解析由0可以推出a0，但是由a0不一定推出0成立，所以正确由AB2AC2BC2可以推出ABC是直角三角形，但是由ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确由a2b20可以推出a，b不全为零，反之，由a，b不全为零可以推出a2b20，所以不正确，正确11