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1、第一章4. 在 1.3 节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f ( a ) 和 g ( a ) 。 f 和 g 都是连续函数。椅子在任何位置 至 少 有三 只脚 着地 ， 所以 对于 任意 的 a ， f ( a)和 g (a) 中 至少 有一 个 不 为零 。 不 妨 设g(0)0, f (0)0 。当椅子旋转 90后，对角线互换，f ( /2)0, g ( /2) 0 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题：已知 f (a)和 g (a)是 a 的连续函数
2、，对任意 a, f (a) g (a)0, 且 g( 0)f (/2) 0 ，f (0) 0, g (/2) 0 。证明存在 a0 ，使 f ( a0 )g(a0 ) 0证：令 h ( a )f (a )g ( a), 则 h (0 )0 和 h ( /2)0 ，由 f 和 g 的连续性知 h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在 a0 （ 0 a0 /2 ）使 h ( a0 )0 ，即 f (a0 )g( a0 ) 0因为 f (a0 ) ? g(a0 ) 0 ，所以 f ( a0 )g( a0 ) 08第二章10. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法
3、，使加工出尽可能多的圆盘。第三章5. 根据最优定价模型考虑成本随着销售量的增加而减少，则设q( x)q0kx (1)k是产量增加一个单位时成本的降低，销售量 x 与价格 p 呈线性关系 x abp, a,b0 (2)收入等于销售量乘以价格 p :f ( x)px(3)利润 r (x) f (x) q( x)(4)将（ 1）（2）（3）代入（ 4）求出当 a, b, q0 , k 给定后容易求出使利润达到最大的定价p* 为6. 根据最优定价模型f (x) px x 是销售量 p是价格，成本 q 随着时间增长，qq0t, 为增长率， q0 为边际成本（单位成本） 。销售量与价格二者呈线性关系xab
4、p, a,b0 .利润 u( x) f(x) q( x) . 假设前一半销售量的销售价格为p1 ，后一半销售量的销售价格为 p2 。前期利润后期利润u( p1 )T / 2q(t )( abp1 )dt p10u( p2 )Tq(t )( abp2 )dt p2T / 2总利润Uu( p1)u( p2 )由U0,U0可得到最优价格 :p1p2T、2前期销售量0（ abp1 )dt后期销售量TT / 2 (ap2 ) dt总销售量Q0 =aTbT ( p1 p2 )2在销售量约束条件下U的最大值点为 aQ0T,aQ0Tp1bT8P2bbT8b7.(1) 雨水淋遍全身， s2(abbcac )2
5、* (1.5 * 0.50.5 * 0.2 1.5* 0.2) 2.2m2以最大速度跑步，所需时间 t mind / vm1000 / 5200s(2) 顶部淋雨量 Q1bcdw cos/ v雨速水平分量u sin, 水平方向合速度u sinv迎面淋雨量 Q2abdw(u sinv) / uv总淋雨量QQ1Q2当 vvm 时， Q最小，0，Q 1.15 L;。30 ， Q 1.55L(3) 合速度为| usinv |总淋雨量bdw cu cosu(u sinv)bdw u(c cosa sin)av , vu sinQuvuvbdw cu cosa(v u sin)bdw u(c cosa s
6、in)av ,vu sinuvuv若 c cosasin0 , 即 tanc/ a , 则 v u sin时 Q最小，否则 vvm 时 Q最小，当30。， tan2 /15, v2m / s,Q0.24L 最小（4）雨从背面吹来，满足 tanc / a( a 1.5m, c0.2m,7.6。,Q 最小，人体背面不）， v u sin淋雨，顶部淋雨。（5）侧面淋雨，本质没有变化第四章1. （ 1）设证券 A B C D E 的金额分别为x1 , x2 , x3, x4 , x5(2) 由（ 1) 可知，若资金增加 100 万元，收益增加 0.0298 百万元，大于以 2.75%的利润借到 100
7、 万元资金的利息， 所以应该借贷。 投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为 11，求解得：证券 A，C，E 分别投资 2.40 百万元， 8.10 百万元， 0.50 百万元，最大税后收益为 0.3007 百万元。(3) 由（1）可知，证券 A 的税前收益可增加 0.35%，若证券 A 的税前收益增加为 4.5%，投资不应改变。证券 C的税前收益可减少 0.112%，故若证券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应该改变。6. 设 y1, z1 分别是产品 A 是来自混合池和原料丙的吨数，y2 , z2 分别是产品B 中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为x1, x
8、2 , x4 , 优化目标是总利润最大，7. 记b=(290,315,350,455)为 4 种产品的长度，n=(15,28,21,30)为 4 种产品的产品的需求量，设第i种切割模式下每根原料钢管生产4 种产品的数量分别为r1, r2, r3 , r4 , 该模式使用x 次，即使用该i模式切割 xi 根原料钢管（ i=1,2,3,4)且切割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。第五章dii ,i (0)i0si1、（ 1）SIR 模型 dt,s(t) 曲线单调递减。dssi, s(0)s0dt若 s1,当 1s s 时， di0,i(t)增加；00dt当 s1 时， di0,i(t)达到最大值；dt当 s1 时， di0,i(t)减少，且 i0dt(2) 若 s01 , di0,i (t ) 单调递减至 0dt9. （ 1）提倡一对夫妻只生一个孩子：总和生育率（ t )1 ; （ 2）提倡晚婚晚育：生育模式(r r1 ) 1 er r1h(r ), r r1 取2，,n 得 rcr1n 2 ， r1意味着晚婚， n 增加意味着晚育，这里( )2的 r1 , rc 增大（ 3）生育第二胎的规定：(t) 1, 生育模式 h(r ) 曲线更加扁平。
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