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1、最新精选优质数学资料最新精选优质数学资料31空间向量及其运算31.1空间向量及其线性运算学习目标1.掌握空间向量相关的概念，几何表示法、字母表示法.2.掌握空间向量的加减运算及运算律.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义知识链接观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量，它们和以前所学的向量有什么不同？(如图)答：，是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内预习导引1空间向量的概念在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模2空间向量的加减法(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法(如图
2、)ab；ab.(2)运算律交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)3空间向量的数乘运算(1)定义实数与空间向量a的乘积a仍是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a0.a的长度是a的长度的|倍如图所示(2)运算律分配律：(ab)ab；结合律：(a)()a.4共线向量定理(1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作ab.(2)充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使ba.要点一空间向量的概念例1判断下列命题的真假(1)空间向量
3、就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量与向量的长度相等解(1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点(4)真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的规律方法在空间中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等跟踪演练1给出以下命题：若空
4、间向量a，b，c满足ab，bc，则ac；若空间向量a、b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m、n、p满足mn，np，则mp；空间中任意两个单位向量必相等其中不正确命题的个数是_答案3解析因为0平行于任意向量，若b0则a与c不一定平行，故错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但中向量a与b的方向不一定相同，故错；根据正方体的性质，在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，应有，故正确；命题显然正确；对于命题，空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错要点二空间向量的线性运
5、算例2如图所示，已知长方体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)；(2)；(3).解(1).(2).(3)连结AC，设M是线段AC的中点，则().向量、如图所示规律方法化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化成加法，也可按减法法则进行运算加减法之间可以转化表达式中各向量的系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面跟踪演练2已知平行六面体ABCDABCD，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上且CGGA21，设a，b，c，试用向量a、b、c表示向量、.解如图所示，ab；abc；abc；(abc)要点三空间向量的共线问题例3设
6、e1、e2是平面上不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值解e14e2，2e1ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得，k8.规律方法灵活应用共线向量定理，正确列出比例式跟踪演练3设两非零向量e1、e2不共线，e1e2，2e18e2，3(e1e2)试问：A、B、D是否共线，请说明理由解(2e18e2)3(e1e2)5(e1e2)，5，又B为两向量的公共点，A、B、D三点共线1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量共有_个答案3解析与相等的向量有，共3个2设M是ABC的重心，记a，b，c，则等于_答案解析(cb)3在平行六面体
7、ABCDABCD中，模与向量的模相等的向量有_个答案7解析|.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：()；()；()；().其中运算的结果为的有_个答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()；()；()；().所以4个式子的运算结果都是.1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解2向量可以平移，任意两个向量都是共面向量因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行3空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线一、基础达标1下列命题中，假命题
8、是_若与共线，则A、B、C、D不一定在同一直线上；空间中，把所有单位向量的起点移到同一个点上，则终点形成一个球面；只有零向量的模等于0；共线的单位向量都相等答案解析容易判断是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量2已知空间四边形ABCD中，a，b，c，则等于_答案cab解析如图，0.即abc0，cab.3给出下列命题：向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为_答案3解析假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明
9、这两个向量的方向相同或相反；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段4已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且a，b，则等于_答案ab解析如图，a，b，b，a，ba.5下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是_答案解析由知与共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线6.如图所示，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于_答案abc解析由向量加法法则可知()a(bc)abc.7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AB、B1C的中点如何用、表示向量？解()().二、能力提升8如图，在四棱柱的上底面ABCD中，则下列
10、向量相等的是_与与与与答案解析，|，ABDC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，.9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则_.答案abc解析()cba.10如图，在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其重心，则化简的结果为_答案0解析延长DE交边BC于点F，则，故0.11.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2) ；(3).解(1) .(2)因为M是BB1的中点，所以.又，所以.(3).向量，如图所示12如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)；(2)，并标出化简结果的向量解(1).(2)E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，.故所求向量，如图所示三、探究与创新13如图，设O为ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若xy，求x，y的值解()()()，x，y.最新精选优质数学资料
精校版高中数学苏教版选修21学案：第3章 空间向量与立体几何 1.1
