数学新同步湘教版选修21讲义精练：第1章 1．1.1　命题的概念和例子 Word版含解析

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1、11命题及其关系命题及其关系11.1命题的概念和例子命题的概念和例子读教材读教材填要点填要点1命题的概念命题的概念可以可以判断成立或不成立判断成立或不成立的语句叫作命题的语句叫作命题2命题的分类命题的分类(1)真命题：真命题：成立成立的命题叫作真命题的命题叫作真命题(2)假命题：假命题：不成立不成立的命题叫作假命题的命题叫作假命题(3)猜想：猜想：暂时不知道真假暂时不知道真假的命题可以叫作猜想的命题可以叫作猜想小问题小问题大思维大思维1如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示提示：如果一个语句是命题如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判

2、断其成立或不成立那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立2数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题命题的概念命题的概念判断下列语句是否是命题，并说明理由判断下列语句是否是命题，并说明理由(1)求证求证是无理数；是无理数；(2)若若 xR，则，则 x24x50；(3)一个数的算术平方根一定是负数；一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？梯形是不是平面图形呢？自主解答

3、自主解答(1)是祈使句，不是命题；是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题是疑问句，所以它不是命题判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断可以判断成立或不成立成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是这个条件，如果满足这个条件，该语句就是

4、命题，否则就不是1判断下列语句是否为命题，并说明理由判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？对顶角相等吗？(4)x3.解：解：(1)能判断其是否成立，是命题；能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题不能判断其是否成立，不是命题真假命题的判断真假命题的判断判断下列命题的真假，并说明理由判断下列命题的真假，并说明理由(1)如

5、果学好了数学，那么就会使用电脑；如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若若 x3 或或 x7，则，则(x3)(x7)0；(3)正方形既是矩形又是菱形；正方形既是矩形又是菱形；(4)若若 a，b 都是奇数，则都是奇数，则 ab 必是奇数必是奇数自主解答自主解答(1)是假命题是假命题， 学好数学与会使用电脑不具有因果关系学好数学与会使用电脑不具有因果关系， 因而无法推出结论因而无法推出结论，故为假命题故为假命题(2)是真命题，是真命题，x3 或或 x7 能得到能得到(x3)(x7)0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形(4)是真

6、命题，是真命题，令令 a2k11，b2k21(k1，k2Z)，则则 ab2(2k1k2k1k2)1，显然显然 2k1k2k1k2是一个整数，是一个整数，故故 ab 是奇数是奇数若将本例若将本例(4)中的中的“奇数奇数”改为改为“无理数无理数”，判断该命题的真假，判断该命题的真假解：解：当当 a 5，b 5时，时，a，b 都是无理数，但都是无理数，但5( 5)5 是有理数，故该是有理数，故该命题为假命题命题为假命题判断命题真假的策略判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过

7、的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可2判断下列命题的真假，并说明理由判断下列命题的真假，并说明理由(1)形如形如 a 6b 的数是无理数；的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于一个等比数列的公比大于 1 时，该数列为递增数列；时，该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称；(4)能被能被 2 整除的数一定能被整除的数一定能被 4 整除整除解：解：(1)假命题，反例：假命题，反例：a 是有理数且是有理数且 b0，则，则

8、 a 6b 是有理数是有理数(2)假命题若数列假命题若数列an为等比数列，且为等比数列，且 a11，q2，则该数列为递减数列，则该数列为递减数列(3)真命题根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称真命题根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称(4)假命题反例：如假命题反例：如 2,6 能被能被 2 整除，但不能被整除，但不能被 4 整除整除命题的综合问题命题的综合问题试探究命题试探究命题“方程方程 ax2bx10 有实数解有实数解”为真命题时为真命题时，a，b 满足的条件满足的条件自主解答自主解答方程方程 ax2bx10 有实数解有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方要

9、考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：程两种情况：当当 a0 时时，方程方程 ax2bx10 为为 bx10，只有当只有当 b0 时时，方程有实数解方程有实数解 x1b；当当 a0 时时， 方方程程 ax2bx10 为一元二次方程为一元二次方程， 方程有实数解的条件为方程有实数解的条件为b24a0.综上知，当综上知，当 a0，b0 或或 a0，b24a0 时，方程时，方程 ax2bx10 有实数解有实数解(1)并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立一般地，疑问句、祈使句、感叹句

10、都不是命题或不成立一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一3下面的命题中是真命题的是下面的命题中是真命题的是()Aysin2x 的最小正周期为的最小正周期为 2B若方程若方程 ax2bxc0(a0)的两根同号，则的两根同号，则ca0C如果如果 MN，那么，那么 MNMD在在ABC 中，若中，若 AB BC0，则，则 B 为锐角为锐角解析解析：选选 Bysin2x1cos 2x2，T22，故故 A 为假命题为假命题；当当 MN 时时，MNN，故，故 C 为假命题；在三角形为假命题；在三角形 ABC 中，

11、当中，当 AB BC0 时，向量时，向量 AB与与 BC的夹角为锐角的夹角为锐角，B 应为钝角，故应为钝角，故 D 为假命题故选为假命题故选 B.解题高手解题高手妙解题妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题若命题“如果如果 5x1a，那么，那么 x1”是真命题，求实数是真命题，求实数 a 的取值范围的取值范围巧思巧思“如果如果 5x1a，那么，那么 x1”是真命题，则不等式是真命题，则不等式 5x1a 的解集是的解集是 x1 的子的子集集妙解妙解由由 5x1a，得，得 x15(1a)命题命题“如果如果 5x1a 那么那么 x1”是真命题，是

12、真命题，1a5，(1，)1a51，即，即 a4.即即 a 的取值范围是的取值范围是4，)1 “红豆生南国红豆生南国， 春来发几枝？愿君多采撷春来发几枝？愿君多采撷， 此物最相思此物最相思 ”这是唐代诗人王维的这是唐代诗人王维的相相思思 ，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A红豆生南国红豆生南国B春来发几枝春来发几枝C愿君多采撷愿君多采撷D此物最相思此物最相思解析：解析：“红豆生南国红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；命题；“春来发几枝春来发几枝”是疑问句

13、，是疑问句，“愿君多采撷愿君多采撷”是祈使句，是祈使句，“此物最相思此物最相思”是感叹句，是感叹句，都不是命题，故选都不是命题，故选 A.答案：答案：A2下列命题中的真命题是下列命题中的真命题是()A互余的两个角不相等互余的两个角不相等B相等的两个角是同位角相等的两个角是同位角C若若 a2b2，则，则|a|b|D三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：解析：由平面几何知识可知由平面几何知识可知 A、B、D 三项都是错误的三项都是错误的答案：答案：C3给出命题给出命题“方程方程 x2ax10 没有实数根没有实数根”，则使该命题为真命题的则使该命题为真

14、命题的 a 的一个值可的一个值可以是以是()A4B2C0D3解析：解析：方程无实根时，应满足方程无实根时，应满足a240.故故 a0 时适合条件时适合条件答案：答案：C4设设a a，b b，c c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：( (a ab b) )c c( (c ca a) )b b；|a a| | |b b|3x 为真命题，求为真命题，求 x 的取值范围的取值范围解：解：x223x，x23x20.解得解得 x2 或或 x0 的解集的解集D作作ABCEFG解析：解析：A 选项是疑问句，不是命题，选项是疑问句，不是命题，C、D 选项中的语句显然

15、不是选项中的语句显然不是答案：答案：B2已知命题已知命题“非空集合非空集合 M 中的元素都是集合中的元素都是集合 P 中的元素中的元素”是假命题，那么下列命题是假命题，那么下列命题中真命题的个数为中真命题的个数为()M 中的元素都不是中的元素都不是 P 的元素；的元素；M 中有不属于中有不属于 P 的元素；的元素；M 中有属于中有属于 P 的元素；的元素；M 中的元素不都是中的元素不都是 P 的元素的元素A1B2C3D4解析：解析：错误；错误；正确正确答案：答案：B3下列命题中，为真命题的是下列命题中，为真命题的是()A对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形B若一个球的半径变为原来的

16、若一个球的半径变为原来的 2 倍，则其体积变为原来的倍，则其体积变为原来的 8 倍倍C若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D直线直线 xy10 与圆与圆 x2y21 相切相切解析：解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故等腰梯形对角形相等，不是矩形，故 A 中命题是假命题；由球的体积公式可中命题是假命题；由球的体积公式可知知B 中命题为真命题中命题为真命题；C 中命题为假命题中命题为假命题，如如“3,3,3”和和“2,3,4”的平均数相等的平均数相等，但标准差显然不但标准差显然不相等相等；圆圆 x2y21 的圆心的圆心(0,0)到直线到直线 x

17、y10 的距离的距离 d22x，则，则 x1；函数函数 yx3是指数函数是指数函数其中假命题的个数为其中假命题的个数为()A1B2C3D4解析解析：中中，显然显然 lm 或或 l 与与 m 重合重合，所以所以是假命题是假命题；由基本不等式由基本不等式，知知是真命是真命题题；中中，由由 x2x，得得 x1，所以所以是假命题是假命题；中中，函数函数 yx3是幂函数是幂函数，不是指不是指数函数，所以数函数，所以是假命题故选是假命题故选 C.答案：答案：C二、填空题二、填空题5下列语句：下列语句：mx22x10 是一元二次方程吗？是一元二次方程吗？抛物线抛物线 yax22x1 与与 x 轴至少有一个交

18、点；轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；互相包含的两个集合相等；若若 m0，ab0，则，则bmamba.其中真命题的序号为其中真命题的序号为_解析解析：不是命题不是命题；错错，可能没交点可能没交点；正确正确，若若 AB，BA，则则 AB；显然显然正确，可以证明正确，可以证明答案：答案：6给出下列命题：给出下列命题：方程方程 x2x10 有两个实根；有两个实根；对于实数对于实数 x，若，若 x20，则，则 x20；若若 p0，则，则 p2p；正方形不是菱形正方形不是菱形其中真命题是其中真命题是_，假命题是，假命题是_解析解析：假假，因因0；真真；假假，p12时时，p2p；假假，正方形是菱形

19、正方形是菱形，也是矩形也是矩形答案：答案：7函数函数 f(x)的定义域为的定义域为 A，若当若当 x1，x2A 且且 f(x1)f(x2)时时，总有总有 x1x2，则称则称 f(x)为为单函数单函数例如例如，函数函数 f(x)2x1(xR)是单函数是单函数下列命题下列命题：函数函数 f(x)x2(xR)是单函是单函数数； 指数函数指数函数 f(x)2x(xR)是单函数是单函数； 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其其中的真命题是中的真命题是_(填序号填序号)解析：解析：由由 x21x22，未必有，未必有 x1x2，故，故为假命题；对于为假命题；对于

20、f(x)2x，当，当 f(x1)f(x2)时一定时一定有有 x1x2， 故故为真命题为真命题； 当函数在其定义域上单调时当函数在其定义域上单调时， 一定有一定有“若若 f(x1)f(x2)， 则则 x1x2”，故故为真命题故真命题是为真命题故真命题是.答案：答案：8若命题若命题“ax22ax30 不成立不成立”是真命题，则实数是真命题，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_解析解析：ax22ax30 不成立不成立，ax22ax30 恒成立恒成立当当 a0 时时，30 恒成恒成立；立；当当 a0 时，则有时，则有a0，4a212a0，解得解得3a0.综上，综上，3a0.答案：答案：3,0三、解答

21、题三、解答题9判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由(1)一个数不是合数就是质数一个数不是合数就是质数(2)大角所对的边大于小角所对的边大角所对的边大于小角所对的边(3)xy 是有理数，则是有理数，则 x，y 也都是有理数也都是有理数(4)求证求证 xR，方程，方程 x2x10 无实根无实根解：解：(1)是假命题，是假命题，1 不是合数，也不是质数不是合数，也不是质数(2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中(3)是假命题，如是假命题，如 x 2，y 2.(4)祈使句，不是命题祈使句，不是命题10判断命题判断命题：“若若 ab2，则直线则直线 xy0 与圆与圆(xa)2(yb)22 相切相切”的真假的真假解：解：由已知由已知 ab2，圆心圆心(a，b)到直线到直线 xy0 的距离的距离 d|ab|222 2r，所以直线与圆相切，即命题为真所以直线与圆相切，即命题为真.