《浙江版高考数学 一轮复习(讲练测)： 专题4.4 三角函数的图象与性质讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江版高考数学 一轮复习(讲练测)： 专题4.4 三角函数的图象与性质讲（19页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、 第04节 三角函数的图象与性质【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测三角函数的图象和性质理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.20xx浙江文3；20xx浙江文11，理11； 20xx浙江文3，理5；20xx浙江18.1.“五点法”作图；2,.三角函数的性质.3.备考重点： (1) 掌握正弦、余弦、正切函数的图象；(2) 掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】1正弦、余弦、正切函数的图象与性质（1）正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性奇偶性,奇函数偶函数奇函数
2、单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。（2）（五点法），先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.对点练习：【20xx课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线x=对称Cf(x+)的一个零
3、点为x=Df(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】2三角函数的定义域与值域（1）定义域：,的定义域为,的定义域为.（2）值域：,的值域为,的值域为.（3）最值：当时，；当时，：当时，；当时，：既无最大值，也无最小值对点练习：函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D故选D.3.三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，（2）复合函数的单调性设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表增增增增减减减增减
4、减减增对点练习：【20xx浙江温州中学10月模拟】已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为（ ）A. B. C. D.【答案】A 4 .三角函数的对称性（1）对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对称中心为.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为（3）相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点对点练习：【20xx浙江温州中
5、学3月模拟】函数f(x)=2cos2x+cos(2x+3)-1，则函数的最小正周期为_，在0,内的一条对称轴方程是_.【答案】 , x=512或x=1112中一条 x0,，所以x=12或x=1112。应填答案T=22=；x=12或x=1112中任意一个。5.三角函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数（2）奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含，则（5）为奇函数，为偶函数，为奇函数.对点练习：【江西省六校高三
6、上学期第五次联考】函数是偶函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C本题选择C选项.6.三角函数的周期性（1）周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期（2）最小正周期：对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做的最小正周期 （3）,周期为,周期为.对点练习：【20xx天津，文理】设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），【答案】 【考点深度剖析】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数（特别是 ）图象与
7、性质的考查力度有所加强，往往将恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法. 【重点难点突破】考点1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质【1-1】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是【答案】C因此.易知选.【1-2】函数()的大致图象是（ ）xxoA-xxoB-xxoD-xxoC-1-11-1-11-11【答案】C【领悟技法】用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为或的形式；求出周期；求出振幅；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应
8、列出该区间内的特殊点【触类旁通】【变式一】【20xx河南新乡三模】若函数f(x)=sin(x+3)（01）的图象关于点(-2,0)对称，则=_【答案】6【解析】根据题意可得2+3=k,kZ, 又00，函数fx=sinx+4在2,上单调递减，则的取值范围是 ( )A. 12,54 B. 12,34 C. 0,12 D. 0,2【答案】A【解析】由题意得2+2kx+432+2k,kZ4+2kx54+2k,kZ 4+2k2,54+2k,kZ12+4k54+2k,kZ1254，选A.【3-2】【20xx安徽滁州九校】已知函数的最小正周期为，则该函数的单调增区间为( )A. B. C. D. 【答案】B
9、【解析】由于函数的最小正周期为，令，求得，可得函数的增区间为，故选B.【领悟技法】1. 求形如或 (其中A0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ ()”视为一个“整体”；A0(A0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)2. 如何确定函数当时函数的单调性对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数 (或，或)的单调区间的步骤：(1)将化为正(2)将看成一个整体，由
10、三角函数的单调性求解4特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域【触类旁通】【变式一】函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）A. (k-14,k+34)(kZ) B. (2k-14,2k+34)(kZ)C. (k-14,k+34)(kZ) D. (2k-14,2k+34)(kZ)【答案】D (2k-12,2k+34),kZ，故选D考点4 三角函数的对称性【4-1】【20xx高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对
11、称的函数是（ ） 【答案】A【解析】对于选项A，因为，且图象关于原点对称，故选A.【4-2】【20xx山东烟台】已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 在定义域内是增函数 B. 的对称中心是（）C. 是奇函数 D. 的对称轴是（）【答案】B【解析】因为，所以函数的定义域为，在定义域上不是增函数，选项A错误；令，所以对称中心为，选项B正确；由于函数定义域不是关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，选项C错误；函数无对称轴方程，选项D错误.故选B.【领悟技法】先化成的形式再求解其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思
12、想即可求三角函数的对称轴与对称中心【触类旁通】【变式一】下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是 （ ）A B C D【答案】C【解析】的对称中心为，所以的对称中心可以表示为，经检验C选项不满足条件，故选C考点5三角函数的奇偶性【5-1】【20xx-20xx山西省朔州一中8月】函数y=sin(2x+52) 是 （ ）A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数C. 周期为2的奇函数 D. 周期为2的偶函数【答案】B本题选择B选项.【5-2】下列对于函数 的判断正确的是 （ ）A函数 的周期为 B对于 函数 都不可能为偶函数C ,使 D函数 在区间 内单调递增【答案】C【解析】因为在上的周期
13、为，但在上无周期；当时，函数为偶函数；当时， ；当，函数单调递增，而当，函数单调递减；因此选C【领悟技法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.【触类旁通】下列四个函数中，既是上的增函
14、数，又是以为周期的偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B考点6三角函数的周期性【6-1】【20xx课标II，文3】函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【6-2】下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减函数的是（ ）A BC D【答案】D【领悟技法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出
15、函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值。【触类旁通】【变式一】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .【答案】所以，即，所以，解得.【易错试题常警惕】易错典例：求函数的单调递减区间.易错分析：解答本题易直接由：，得出错误结论，原因是忽略复合函数的
16、单调性,再一点易忽略这个条件.正确解析：把函数变为,故函数的单调减区间为.温馨提醒：(1)三角函数图像与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图像与性质,并能灵活运用,解答此类问题关键是将三角函数变形为处理(2)在解答本题时，存在两个典型错误一是忽略复合函数的单调性，直接由：，得出错误结论；二是易忽略对字母的限止,在解答此类问题时，一定要注意对字母的限止.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的
17、数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【20xx高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )(A) (B)(C) (D) 【答案】D ，故选D.
浙江版高考数学 一轮复习(讲练测)： 专题4.4 三角函数的图象与性质讲
