高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指数函数互动课堂学案 苏教版必修1

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1、3.1 指数函数互动课堂疏导引导2.2.1分数指数幂1.如果一个实数x满足xn=a(n1,nN*)，那么称x为a的n次实数方根.当n为奇数时，x=;当n为偶数时，x=(a0).2.根式的性质(1)( )n=a;(2)n为奇数时,nan=a;(3)n为偶数时, =|a|.3.分数指数幂的意义(1) =;(2) =(a0,m,nN*且n1).4.有理数指数幂的运算性质(1)asat=as+t;(2)(as)t=ast;(3)(ab)t=ata-t(s,tQ,a0,b0).疑难疏引 1.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，并由此引出了正数的正分数指数幂的意义，然后

2、依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义，从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外，还可将有理数指数幂推广到实数指数幂，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.2.指数幂与根式运算的统一性指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式.如、都不是最简形式.3.经常要用的公式(1)a-b(-)(+)；(2)a2b()2；(3)ab()().案例1求下列各式的值.(1);(2);(3);(4)-(+).【探究】对于根指数为奇数类型的处理相对简单一些，而对于根

3、指数为偶数的情况则很容易出错，应避免出现讨论不周的情况.(1) =-8;(2) =|-10|=10;(3) =2;(4) -(+)=-=2-(2-3)=3.【溯源】当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na.当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号na表示，负的n次实数方根用符号-na表示，它们可以合并写成(a0)的形式.特别地，0的n次实数方根等于0.案例2 已知a=-，b=，试求的值.【探究】就此类问题一般而言,要先将所求代数式化简，再代入具体数值进行求解.显然a

4、0，所以有：原式=.【溯源】在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.2.2.2指数函数函数y=ax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.疑难疏引 指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意区分底数分别在a1和0a1时的指数函数的区别.指数函数的应用主要体现在利用指数函数的性质比较不同函数值的大小，结合其他函数形成的复合函数的单调性、值域等问题上，解决这些问题应充分考虑底的范围对函数

5、性质的影响，并熟记函数的图象特征和性质，以免造成混淆.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.案例1 比较下列三个数1.5-0.5，1.20.7,(-0.3)0的大小，并按照从小到大的顺序排列.【探究】 1.5-0.5=考查指数函数y=可知在0x1时，0y1，故01.5-0.51,(-0.3)0=1,所以1.5-0.5(-0.3)01.20.7.【溯源】 比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较

6、.3.指数函数的图象和性质疑难疏引 注意用单调性的定义研究有关指数函数的单调性问题.学会利用函数图象解决简单的数学问题.(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线.当0a1时，x-,y0,当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0anm0,则它们的图象是()【探究】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.由0mn1可知应为两条递减的曲线,故只可能是C或D,进而再判断与n和m的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选用特殊点法,令x=1,对应的函数值分别为m和n,由m1).【探究】由条件可知f(x)与g

7、(x)分别是指数函数y=ax,y=与二次函数u(x)=x2-4x+1复合而成，因此必须先考虑各自的情况(即单调性)再给出结论.u(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3，所以函数u(x)的单调减区间为（-,2，单调增区间为2,+），又a1,y=ax为单调增函数，而y=为单调减函数，现设-x1u(x2).au(x1)au(x2)，而f(x2),g(x1)1,b0且ab+a-b=2，求ab-a-b的值.【提示】 可先分析ab与a-b的大小得出：ab-a-b0，再通过求(ab-a-b)2的值进而求出ab-a-b的值.【答案】 2.6.求值：-.【解】 原式=-|1-|=+1-=+1-=2-.7.化简

8、：(+).【解】 原式=(+)=.8.化简：+.【解】 原式=|x+1|+|x+1|+=2|x+1|+16=9.设23-2x(0.5)3x-4，试求x的取值范围.【思路解析】本题是关于指数函数的一个不等式，可以先转化成同一个底数，再利用指数函数的单调性求解.【解】由23-2x(0.5)3x-4可知23-2x24-3x.又函数y=2x,xR是增函数,3-2x4-x,即x-1.【规律总结】 求解此类问题最好将底数统一为大于1的，再由单调增函数的性质求解.可以减少出错.10.试作出函数y=2x-1+1的图象.【解】 11.试比较,的大小，并按从小到大的顺序排列.【解】0,可知所求函数的值域为(1,+

9、).【解题回顾】 求解值域时容易忽略指数函数值是恒正的，应引起高度重视.14.已知函数f(x)=.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)试证明函数f(x)在定义域上为单调减函数.【解】 (1)奇函数；(2)证明略.15.曲线C1,C2,C3,C4分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx和y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是()A.ab1cdB.ab1dcC.ba1cdD.ba1d1,d1,0a1,0b1,在y轴右侧令x=1,对应的函数值由小到大依次为b,a,d,c,故应选D.【答案】 D16.(1)函数y=-2-x的图象一定过_象限.(2)函数f(x)=ax-1+3的图象一定过

10、定点P,则P点的坐标是_.(3)函数y=3-x与_的图象关于y轴对称.【思路解析】 此题涉及有关图象变换,搞清图象平移和对称变换是解决此题的关键.(1)y=-2-x=,它可以看作是指数函数y=图象作关于x轴对称的图象,因此一定过第三象限和第四象限.(2)f(x)=ax-1+3的图象可以看作把f(x)=ax的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且f(x)=ax一定过点(0,1),则f(x)=ax-1+3应过点(1,4).(3)图象与y=3-x关于y轴对称的函数为y=3x.【解】 (1)第三和第四(2)(1,4)(3)y=3x【解题回顾】 此题要求大家明确f(x)=ax+m+n与f(x)

11、=ax两个函数图象之间的关系及体现在图象上任意一点的坐标之间的变化规律.17.某渔场养鱼，第一年,鱼的重量增长200% ，以后每年的重量增长率是前一年增长率的一半.(1)当饲养4年后，鱼的重量是原来的多少倍?(2)如果由于某种原因，每年损失预计重量的10% ，那么经过多少年后鱼的总重量开始减少? 【思路解析】在实际问题中有关增长率的问题是较常见的.要解决这类增长率问题通常都会用到与指数函数相关的函数式y=N(1+p)x，其中N是原来的基数，p为增长率，x为时间.【解】 (1)设鱼原来的重量为a，n年后鱼的重量为an，则a1=(1+2)a=3a,a2=3a(1+1)=6a,a3=6a(1+)=9

12、a,a4=9a(1+)=a,故四年后的重量是原来重量的11倍.(2)由anan(1+)90% ，得2n-19，n5.故经过五年后鱼的重量开始减少.【借题发挥】 对于增长率问题，可以先从一年一年的增长计算开始，在具体计算中再找出相应的规律列式计算.关于增长率的问题经常构建的数学模型为y=N(1+p)x，其中N为基数，p为增长率，x为时间.所以经常会用到指数函数有关知识加以解决.18.某不法商人将彩电先按原价提高40% ，然后在广告中写上“大酬宾八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是_元.【答案】 2 25019.某种商品1997年提价25% ，1999年要恢复成原价，则应降价()A.30% B.25% C.20% D.15%【答案】 C6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375