【学霸优课】数学理一轮教学案：第三章第1讲　导数与积分 Word版含解析

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1、第三章导数及其应用第1讲导数与积分考纲展示命题探究1导数的有关概念(1)导数：如果当x0时，有极限，就说函数yf(x)在xx0处可导，并把这个极限叫做f(x)在xx0处的导数(或瞬时变化率)记作f(x0)或y| xx0，即f(x0) .(2)导函数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，那么其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数记作f(x)或y.注意点如果函数f(x)在xx0处可导，那么函数yf(x)在xx0处连续.2导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线

2、的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3几种常见函数的导数原函数导数yC(C为常数)y0yxn(nQ*)ynxn1ysinxycosxycosxysinxyexyexyln xyyax(a0，且a1)yaxln_aylogax(a0，且a1)y4导数的四则运算法则(1)若yf(x)，yg(x)的导数存在，则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)(2)复合函数的求导法则yfu(x)的导数为yxyuux.注意点“过某点”和“在某点”的区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处

3、的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点.1思维辨析(1)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)若f(x)f(a)x2ln x(a0)，则f(x)2xf(a).()答案(1)(2)(3)(4)2(1)设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为()Ae2 BeC. Dln 2(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)由f(x)xl

4、n x得f(x)ln x1.根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.3.曲线ysinxex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30 Bx2y20C2xy10 D3xy10答案C解析ycosxex，故在点(0,1)处的切线斜率为2，切线方程为y2x1，即2xy10.考法综述导数的运算是所有导数问题的基础，高考中凡是涉及导数的问题必然会用到运算法则导数的几何意义也是常考内容，主要有两种命题角度：知切点求切线方程(斜率)；知切线方程(或斜率)求切点参数值或曲线方程等一般难度不大，选择、填空、解答题的形式都有命

5、题法导数的概念和几何意义典例(1)已知函数yf(x)在区间(a，b)内可导，且x0(a，b)，则 等于()Af(x0) B2f(x0)C2f(x0) D0(2)已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()Ae B1C1 De(3)设曲线yaxln (x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3解析(1) 2f(x0)(2)f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.(3)ya，由题意得y|x02，即a12，a3.答案(1)C(2)B(3)D【解题法】导数运算的原则

6、和方法以及导数几何意义问题的解题策略(1)原则：先化简解析式，再求导方法：a连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；b分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；c对数形式：先化为和、差的形式，再求导；d根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；e三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导f复合函数：由外向内，层层求导(2)已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：a求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；b由点斜式求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f

7、(x1)，即解方程f(x1)k.求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决1曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e BeC2 D1答案C解析yxex1x(ex1)(1x)ex1，曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x12.故选C.2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a24)x1(aR，a0)的导函数yf(x)的图象，则f(1)()A. B.C D1答案C解析f(x)x22ax(a24)，由a0，结合导函数yf(x)的图象，知导函数图象为，从而可知a240，解得a2或a2，再结合0知a0)上点P处的切线垂直，

8、则P的坐标为_答案(1,1)解析yex，则yex在点(0,1)处的切线的斜率k切1，又曲线y(x0)上点P处的切线与yex在点(0,1)处的切线垂直，所以y(x0)在点P处的切线的斜率为1，设P(a，b)，则曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)5若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标为_答案(e，e)解析yln x1，设P(x0，y0)，ln x012得x0e，则y0e，P点坐标为(e，e)6若对于曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cosx的切线l2

9、，使得l1l2，则实数a的取值范围为_答案1,2解析易知函数f(x)exx的导数为f(x)ex1，设l1与曲线f(x)exx的切点为(x1，f(x1)，则l1的斜率k1ex11.易知函数g(x)ax2cosx的导数为g(x)a2sinx，设l2与曲线g(x)ax2cosx的切点为(x2，g(x2)，则l2的斜率k2a2sinx2.由题设可知k1k21，从而有(ex11)(a2sinx2)1，a2sinx2，故由题意知对任意x1，总存在x2使得上述等式成立，则有y1的值域是y2a2sinx2值域的子集，则(0,1)a2，a2，则1a2.7已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x

10、12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知得f(x)3ax26x6a，f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)g(x0)6x06，切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x

11、26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10；yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.1定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f

12、(x)在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(acb)3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式，为了方便，常常把F(b)F(a)记作F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)4常见求定积分的公式(1)xndxxn1(n1)；(2)CdxCx(C为常数)；(3

13、)sinxdxcosx；(4)cosxdxsinx；(5)dxln x；(6)exdxex.注意点利用定积分求解曲边图形的面积应把握的两点(1)准确确定被积函数，根据曲边图形的结构特征，结合定积分的运算性质，用上方曲线对应的函数解析式减去下方曲线对应的函数解析式(2)准确确定定积分的上、下限，一般为曲边图形左、右两边对应点的横坐标.1思维辨析(1)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dxf(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积()(3)若f(x)dx1)，则a的值是_解析(1)由于f(x)dx为一常数，故f(x)dxx2dx2f(x)dx，则f(x)dxx2dxx3.故选B

14、.(2) 如图，面积Sxdxdxx2ln xln 4.(3) dx2xdxdxx2ln xa21ln a3ln 2，所以解得a2.答案(1)B(2)C(3)2【解题法】求定积分及利用定积分求平面图形面积的步骤(1)利用定积分求平面图形面积的步骤根据题意画出图形借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差计算定积分得出答案(2)用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分分别用求导公式找到一个相应的原函数利用牛顿莱布尼茨公式求出各个

15、定积分的值计算原始定积分的值1.直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4C2 D4答案D解析由得x0或x2或x2(舍)S(4xx3)dx4.2已知函数f(x)sin(x)，且f(x)dx0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx答案A解析由f(x)dxsin(x)dxcos(x)coscos0，得cossin，从而有tan，则n，nZ，从而有f(x)sin(1)nsin，nZ.令xk，kZ，得xk，kZ，即f(x)的图象的对称轴是xk，kZ，故选A.3直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2C.

16、 D.答案C解析直线l的方程为y1，其与抛物线的交点坐标分别为(2,1)、(2,1)，则该直线与抛物线C所围成图形的面积Sdx.4.(x)dx等于()A. B.C. D.答案A解析由定积分的几何意义得dx，如图阴影部分，而.(x)dxdxxdx，选A.5如图所示，曲线yx21，x2，x0，y0围成的阴影部分的面积为()A.|x21|dxB.C.(x21)dxD.(x21)dx(1x2)dx答案A解析由曲线y|x21|的对称性，所求阴影部分的面积与如右图形的面积相等，即|x21|dx，选A.6若f(x)则f(2013)等于()A0 Bln 2C1e2 Deln 2答案D解析f(2013)f(50

17、341)f(1)eeln 2.7与定积分dx相等的是()A.sindx B.dxC. D以上结论都不对答案B解析1cosx2sin2，dxdxdx.8.dx2dx_.答案21解析dxln x101，因dx表示的是圆x2y24的x轴上方的面积，故dx222，故答案为21.9执行如图所示的程序框图，输出的T的值为_答案解析开始n1，T1，因为13，所以T1x1dx1x2112，n112；因为23，所以Tx2dxx313，n213.因为33不成立，所以输出T，即输出的T的值为.10曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_答案解析由题意可得封闭图形的面积为(xx2)dx.11正方形的四个顶点A(

18、1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案解析由对称性可知S阴影S正方形ABCD4x2dx224，所以所求概率为.创新考向导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点，此类问题以新定义、新情境为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力命题形式：常见的有新概念、新情境、新法则等.创新例题如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为()Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3

19、x答案A解析根据题意知，所求函数在(5,5)上单调递减对于A，yx3x，yx2(x225)，x(5,5)，y0)，可得h(x)1，所以h(x)minh(1)0，故x1ln x，可知曲线C：yln x在点P(1,0)附近位于直线l的下方，错误.创新指导1.准确转化：解决此类问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆2方法选取：对于导数几何意义的应用中的创新问题，可恰当选用图象法、特例法、一般逻辑推理等方法，同时结合导数的几何意义求解，以此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和y

20、x2a都相切，则a的值是()A1 B.C1或 D1或错解错因分析(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)x33x22x相切”这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻正解易知点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0x3x2x0，且kf(x0)3x6x02.又kx3x02，由，联立，得x0(x00舍)

21、，所以k，所求切线l的方程为yx.由得x2xa0.依题意，4a0，a.综上，a1或a.答案C心得体会时间：60分钟基础组1.2016衡水中学一轮检测若 (sinxacosx)dx2，则实数a等于()A1 B1C2 D2答案A解析由题意，得 a(1)1a2，a1.22016衡水中学猜题由曲线f(x)与y轴及直线ym(m0)围成的图形的面积为，则m的值为()A2 B3C1 D8答案A解析S (m)dxm3m3，解得m2.32016枣强中学热身函数f(x)的图象在点(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A. B.C. D.答案C解析f(x)，则f(1)4，故该切线方程为y4x2，则该切

22、线在x轴，y轴上的截距分别为，2，故所求三角形的面积为.42016冀州中学月考曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A45 B60C120 D135答案A解析由yx32x4，得y3x22，得y|x11，故切线的倾斜角为45.52016冀州中学期末定积分dx的值为()A9 B3C. D.答案C解析由定积分的几何意义知，dx是由曲线y，直线x0，x3，y0围成的封闭图形的面积故dx.62016衡水中学热身已知偶函数f(x)在R上的任一取值都有导数，且f(1)1，f(x2)f(x2)，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为()A1 B2C1 D2答案A解析由于f(x)是R上的偶函数，故

23、其图象关于y轴对称，f(x)f(x)，又f(x2)f(x2)，f(x)是周期为4的周期函数，故f(x)在x5处的导数就是在x1处的导数，又f(1)f(1)1，曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为1，故选A.72016武邑中学月考由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A. B.C. D.答案B解析由得x0或x1，由图易知封闭图形的面积为(x2x3)dx，故选B.82016衡水中学期中抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B.C. D.答案D解析设M，y，故在M点处的切线的斜率为，故

24、M.由题意又可知抛物线的焦点为，双曲线右焦点为(2,0)，且，(2,0)三点共线，可求得p，故选D.92016冀州中学一轮检测若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为_答案(2，)解析由题意可知x0，f(x)2x2，由f(x)0解得x2，故f(x)0的解集为(2，)102016衡水中学期末若f(x0)2，则 _.答案1解析f(x0) (这里xk)，所以， f(x0)21.112016衡水中学仿真如图所示，圆O：x2y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机向圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_答案解析阴影部分的面积为24，圆的面积为3，所以点A

25、落在区域M内的概率是.12. 2016衡水中学预测过函数yx(0x1)图象上一点M作切线l与y轴和直线y1分别交于点P、Q，点N(0,1)，则PQN面积的最大值为_答案解析设切点为M(t2，t)，0t1，因为y，所以切线斜率为k，切线方程为yt(xt2)，即yx，分别令x0、y1得P、Q(2tt2,1)，所以PQN的面积S(2tt2)t3t2t，St22t1(t2)(3t2)，注意到0t1，所以当t时，PQN的面积取到最大值32.能力组13.2016衡水中学模拟设f(x)则f(x)dx等于()A. B.C. D不存在答案C解析f(x)dxx2dx(2x)dxx3(2xx2)(422).1420

26、16衡水中学猜题已知f(x)x3ax2b，如果f(x)的图象在切点P(1，2)处的切线与圆(x2)2(y4)25相切，那么3a2b_.答案7解析由题意得f(1)2a2b3，又f(x)3x2a，f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为y2(3a)(x1)，即(3a)xya50，a，b，3a2b7.15. 2016冀州中学猜题如图所示，则由两条曲线yx2，x24y及直线y1所围成图形的面积为_答案解析由图形的对称性知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍由得C(1，1)同理，得D(2，1)故所求图形的面积S222.16. 2016冀州中学模拟已知点P在曲线y(其中e为自然对数的底数)上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则tan的取值范围是_答案1,0)解析易知y，显然y0，又1(当且仅当ex时取“”)，tan的取值范围是1,0)