高考第一轮复习数学：3.5数列的应用

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1、3.5 数列的应用知识梳理1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.点击双基1.已知an是递增的数列，且对于任意nN*，都有an=n2+n成立，则实数的取值范围是A.0 B.0C.=0D.3解析：由题意知anan+1恒成立，即2n+1+0恒成立，得3.答案：D2.设a1，a2，a50是从1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+a50=9，且（a1+1）

2、2+（a2+1）2+（a50+1）2=107，则a1，a2，a50中有0的个数为A.10 B.11 C.12 D.13解析：将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+a502=39，故此50个数中有11个数为0.答案：B3.如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n2）第2个数是_.解析：设第n行的第2个数为an，不难得出规律，则an+1=an+n，累加得an=a1+1+2+3+（n1）=.答案：4.已知an=logn+1（n+2）（nN*），观察下列运算a1a2=log23log34=2，a1a2a3a4a5a6=log23log34log

3、67log78=3.定义使a1a2a3ak为整数的k（kN*）叫做企盼数.试确定当a1a2a3ak=2008时，企盼数k=_.解析：由a1a2ak=log2（k+2）=2008，解之得k=220082.答案：220082典例剖析【例1】 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.解:（1）2005年底

4、的住房面积为1200（1+5%）20=1240（万平方米），2006年底的住房面积为1200（1+5%）220（1+5%）20=1282（万平方米），2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.（2）2024年底的住房面积为1200（1+5%）2020（1+5%）1920（1+5%）1820（1+5%）20=1200（1+5%）20202522.64（万平方米），2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.【例2】 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60100万难民，

5、联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n1）100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为100的等差数列.依题意，得1000n+100+（100n+800）（15n）+（100）

6、=21300（1n15）.整理化简得n231n+198=0.解得n=9或22（不合题意，舍去）.答：在第9天达到运送食品的最大量.评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.【例3】 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；（2）求数列an的第n+1项an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）剖析：当年的绿化

7、面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an，另一部分是新绿化的面积bn，于是an+1=an+bn=an+（1an）=an+.（2）an+1=an+，an+1=（an）.数列an是公比为，首项a1=的等比数列.an+1=+（）（）n.（3）an+160%，+（）（）n，（）n，n（lg91）lg2，n6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.思考讨论你知道他是怎么想出an中的来的吗？闯关训练

8、夯实基础1.某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是A.B.C.D.解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）x；二次砍伐后木材存量为S（1+25%）x（1+25%）x.由题意知（）2Sxx=S（1+50%），解得x=.答案：C2.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f（n）和f（n+1），则f（n）与f（n+1）的关系为A.f（n+1）f（n）=n+1B.f（n+1）f（n）=nC.f（n+1）=f（n）

9、+2nD.f（n+1）f（n）=1答案：A3.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为_万元.解析：存款从后向前考虑（1+p）+（1+p）2+（1+p）5=（1+p）7（1+p）.注：2008年不再存款.答案：（1+p）7（1+p）4.某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为_.解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，S5=11（1.15

10、1）a.答案：11（1.151）a5.从盛满a L（a1）纯酒精容器里倒出1 L，然后再用水填满，再倒出1 L混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.解：每次用水填满后酒精浓度依次为，（）2，（）3，故每次倒出的纯酒精为1，（）2，（）n1，.第九、十两次共倒出的纯酒精为（）8（）9（）8（1）.培养能力6.已知直线l上有一列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn），其中nN*，x1=1，x2=2，点Pn+2分有向线段所成的比为（1）.（1）写出xn+2与xn+1，xn之间的关系式；（2）设an=xn+1xn，求数列an的通项公式.解：（1）

11、由定比分点坐标公式得xn+2=.（2）a1=x2x1=1，an+1=xn+2xn+1=xn+1=（xn+1xn）=an，=，即an是以a1=1为首项，为公比的等比数列.an=（）n1.7.（2002年春季北京，21）已知点的序列An（xn，0），n*，其中xl0，x2a（a0），A3是线段AlA2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，.（1）写出xn与xn1、xn2之间的关系式（n）；（2）设anxn1xn，计算al，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明.解：（1）当n3时，xn=.（2）a1=x2x1=a，a2=x3x2=x2=（x2x1）=a，a3=

12、x4x3=x3=（x3x2）=（a）=a，由此推测：an=（）n1a（nN*）.证明如下：因为a1=a0，且an=xn+1xn=xn=（xnxn1）=an1（n2），所以an=（）n1a.探究创新8.（2004年春季北京，20）下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）a1j712（ ）（ ）（ ）a2j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a3j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.（1）写出a45的值；（2）写出aij的计算公式；（3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不

13、是1的正整数之积.（1）解：a45=49.（2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j1），第i行是首项为4+3（i1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i1）+（2i+1）（j1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j.（3）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j，从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是

14、奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），从而N=k（2l+1）+l=akl，可见N在该等差数阵中.综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.思悟小结1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.教师下载中心教学点睛1.解应用题的关键是建立数学模

15、型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识.2.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样.3.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便.4.强化转化思想、方程思想的应用.拓展题例【例1】 杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第

16、二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.解：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，则y=50n（12n+4）98=2n2+40n98，由y0，得10n10+.nN*，3n17，即3年后开始盈利.（2）方案一：年平均盈利为，=2n+402+40=12，当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利127+26=110万元.方案二：盈利总额y=2（n10）2+102，n=10时，y取最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102+8=110万元.两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算.【例2】 据某城市2002年末所作的

17、统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题.（1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.08102.159）（2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b1表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b2表示2004年底该市堆积的垃圾

18、数量bn表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，求b1；试归纳出bn的表达式（不用证明）；计算bn，并说明其实际意义.解：（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨.依题意，得10+x+1.08x+1.082x+1.089x=50，x=40.x=402.76万吨.1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨.（2）b1=5080%+3=43（万吨）.b1=5080%+3=50+3，b2=b1+3=50（）2+3+3，b3=b2+3=50（）3+3（）2+3+3，可归纳出bn=50（）n+3（）n1+3（）n2+3+3=50（）n+3=50（）n+151（）n=35（）n+15.bn=35（）n+15=15.这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨.