最新高中数学北师大版选修12精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 第1课时 数系的扩充和复数的概念

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1、最新北师大版数学精品教学资料第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单

2、位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+bi(a,bR)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+bi(a,bR)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、dR,那么a+bi=c+dia=c,b=d.问题3:复数z=a+bi(a,bR),当b=0时,复数z是实数;当b0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4: 两复数可不

3、可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在大术一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+bi(a,bR)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+bi(a,bR)可能为纯虚数,也可能为0;a+bi为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是(

4、).A.3B.-3C.-10i D.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、dR),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)(-i)2=i2=-1,-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)i2=-1,i4=i2i2=(-1)2=1

5、,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2i2i2-1=(-1)3-1=-20,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:复数a+bi不是实数;两个复数不能比较大小;若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中xR,则x=2;若复数z=a+bi,则当且仅当b0时,z为虚数;若a+bi=c+di,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】是假命题,因为当aR

6、且b=0时,a+bi是实数.是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.是假命题,因为没有强调a,bR.是假命题,因为没有强调,a,b,c,dR这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+bi中要求aR,bR.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m-2且m-3且mR.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】本题考

7、查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+bi(a,bR),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,yR,求x与y.(2)设z1=1+sin -icos ,z2=+(cos -2)i,若z1=z2,求.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得=2k(kZ).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路

8、是:等式两边整理为a+bi(a,bR)的形式;由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.若z=a+bi(a,bR),则当a=0,b0时,z为纯虚数;若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】正确.错误,只有当z1,z2,z3R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.错误,若a=0,则0i=0不再是纯虚数.【答案】复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)zR;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因

9、为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由得x=4,经验证满足.所以当x=4时,zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即x4.所以当x4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-atan -2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-atan -2-(a+1)i=0,a,tan R,a=-1且tan =1,又0,=,a=-1.1.设集合C=复数,A=实数,B=纯虚数,若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.AB=CB.SA=BC.A(

10、SB)=D.B(SA)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-10,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得-7mb,则a+ib+i;若x2+y2=0,则x=y=0;一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;

11、-1没有平方根;若aR,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,yC,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,是假命题.由于两个虚数不能比较大小,是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故错.因为-1的平方根为i,故错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(aR)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(aR)为纯虚数,a=-3,a2-1=8,复数z的虚部为8.【答案】88.已知mR,复数

12、z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)zR;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-30且m-10,解得m1且m-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m.9.已知m、nR,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】z1=z2,n=1或n=-,m+n=3n,m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+i,z2=m+(m-cos 2x)i(,m,xR),且z1=z2.若=0且0x,求x的值.【解析】z1=z2,=sin 2x-cos 2x.若=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.0x,02x2,2x=或2x=,x=或.