高考数学文难题专项训练7立体几何初步含答案

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1、【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：立体几何初步1.(2013年河南省十所名校高三第三次联考，12,5分) 四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，且ABBDACCD则下列结论中错误的是()A若分别作BAD和CAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面B若分别作BAD和CAD的边AD上的高，则这两条高长度相等CABAC且DBDCDDABDAC2.(2013北京西城区高三三月模拟，8,5分) 如图，正方体中，是棱的中点，动点在底面内，且，则点运动形成的图形是()（A）线段 （B）圆弧（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分3.(2013北京海淀区一月期末，8,5分)如图，在棱长为1

2、的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是( )AB. C. D. 4.(2012山西大学附中十月月考，12,5分已知正方体的棱长为, 长为的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积（）A B C D5.(2012东北三省四市第二次联考，12，5分)四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球O的体积等于（）6. (2012福建省高中毕业班质量检测，11,5分)一只蚂蚁从正方体经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以

3、表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A B C D7.（2012沈阳高三模拟, 12, 5分）一个球的内接正四棱柱的侧面积与上下两底面面积的和之比为41, 且正四棱柱的体积是4, 则这个球的体积是() A. B. 2C. 3D. 48.（2012云南高三二模, 12, 5分）如图, 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E、F分别是棱A1B1、BC的中点, 则异面直线AE与B1F所成的角的余弦值等于() A. B. C. D. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别为棱AA1、CC1的中点, 则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A. 不

4、存在B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有无数条10. (2008全国, 11, 5分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等, A1在底面ABC内的射影为ABC的中心, 则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A. B. C. D. 11.已知二面角-l-为60, 动点P、Q分别在面、内, P到的距离为, Q到的距离为2, 则P、Q两点之间距离的最小值为()A. B. 2C. 2D. 412.半径为R的球O的直径AB垂直于平面, 垂足为B, BCD是平面内边长为R的正三角形, 线段AC、AD分别与球面交于点M、N, 那么M、N两点间的球面距离是()A. RarccosB

5、. RarccosC. RD. R13.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上, 球心O在AB上, SO底面ABC, AC=r. 则球的体积与三棱锥体积之比是()A. B. 2C. 3D. 414.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形, 另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形, 则该棱柱的体积等于()A. B. 2C. 3D. 415.已知平面截一球面得圆M, 过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N. 若该球面的半径为4, 圆M的面积为4, 则圆N的面积为()A. 7B. 9C. 11D. 1316. (2011辽宁, 10, 5分)已知球的直径SC=4, A, B是该球球

6、面上的两点, AB=2, ASC=BSC=45, 则棱锥S-ABC的体积为()A. B. C. D. 17.如图, 模块-均由4个棱长为1的小正方体构成, 模块由15个棱长为1的小正方体构成. 现从模块-中选出三个放到模块上, 使得模块成为一个棱长为3的大正方体. 则下列选择方案中, 能够完成任务的为()A. 模块, , B. 模块, , C. 模块, , D. 模块, , 18.已知球的半径为2, 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆. 若两圆的公共弦长为2, 则两圆的圆心距等于()A. 1B. C. D. 219.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 顶点B1到对角线BD1和到平面A1

7、BCD1的距离分别为h和d, 则下列命题中正确的是()A. 若侧棱的长小于底面的边长, 则的取值范围为(0, 1)B. 若侧棱的长小于底面的边长, 则的取值范围为C. 若侧棱的长大于底面的边长, 则的取值范围为D. 若侧棱的长大于底面的边长, 则的取值范围为20.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北. 现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平, 得到右侧的平面图形, 则标“”的面的方位是()A. 南B. 北C. 西D. 下21.如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 线段B1D1上有两个动点E, F, 且EF=, 则下列结论中错误的是()A. A

8、CBEB. EF平面ABCDC. 三棱锥A-BEF的体积为定值D. AEF的面积与BEF的面积相等22.如图, M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点, 给出下列四个命题:过M点有且只有一条直线与直线AB, B1C1都相交;过M点有且只有一条直线与直线AB, B1C1都垂直;过M点有且只有一个平面与直线AB, B1C1都相交;过M点有且只有一个平面与直线AB, B1C1都平行. 其中真命题是()A. B. C. D. 23.与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 有且只有3个D. 有无数个

9、24.（2012武汉市毕业生4月调研，16,5分）已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC45，则棱锥S-ABC的体积为_25. (2012北京东城区模拟，14,5分) 已知四棱柱中，侧棱,，底面的边长均大于2，且，点在底面内运动,且在上的射影分别为，若，则三棱锥体积的最大值为_. 26. (2012东北三省四市第一次联考，16,5分)如图所示，正方体的棱长为6，则以正方体的中心为顶点，以平面截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_.27.（2013高考仿真卷一, 16, 5分）如图所示, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6, 则以正方体ABCD-A1B

10、1C1D1的中心为顶点, 以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的表面积为. 28.如图, 正方体AC1的棱长为1, 过点A作平面A1BD的垂线, 垂足为点H. 有下列四个命题A. 点H是A1BD的垂心B. AH垂直平面CB1D1C. 二面角C-B1D1-C1的正切值为D. 点H到平面A1B1C1D1的距离为其中真命题的代号是. (写出所有真命题的代号)29.已知点O在二面角-AB-棱上, 点P在内, 且POB=45. 若对于内异于O的任意一点Q, 都有POQ45, 则二面角-AB-的大小是. 30.设OA是球O的半径, M是OA的中点, 过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到

11、圆C. 若圆C的面积等于, 则球O的表面积等于. 31.已知两个圆锥有公共底面, 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上. 若圆锥底面面积是这个球面面积的, 则这两个圆锥中, 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为. 32. (2008安徽, 16, 5分)已知点A, B, C, D在同一个球面上, AB平面BCD, BCCD. 若AB=6, AC=2, AD=8, 则B, C两点间的球面距离是. 33.连结球面上两点的线段称为球的一条弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4, 每条弦的两端都在球面上运动, 则两弦中点之间距离的最大值为. 34. (2008全国, 16,

12、5分)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个, 如两组对边分别平行. 类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件;充要条件. (写出你认为正确的两个充要条件)35.对于四面体ABCD, 下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号). 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;由顶点A作四面体的高, 其垂足是BCD三条高线的交点;若分别作ABC和ABD的边AB上的高, 则这两条高的垂足重合;任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;分别作三组相对棱中点的连线, 所得的三条线段相交于一点. 36. (2012山西大学附中十月月考，20,12分）下图是一几何体的直观图、主

13、视图、俯视图、左视图（）若为的中点，求证：面；（）证明面.37.如图, 正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直, 且长度均为2. E、F分别是AB、AC的中点, H是EF的中点, 过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1, 已知OA1=. ()求证:B1C1平面OAH;()求二面角O-A1B1-C1的大小. 38.如图, 设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上, 记=. 当APC为钝角时, 求的取值范围. 39.如图, 四棱锥S-ABCD的底面是正方形, SD平面ABCD, SD=2a, AD=a, 点E是SD上的点

14、, 且DE=a(02). ()求证:对任意的(0, 2, 都有ACBE;()设二面角C-AE-D的大小为, 直线BE与平面ABCD所成的角为. 若tan tan =1, 求的值. 40.如图, 四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为矩形, SD底面ABCD, AD=, DC=SD=2. 点M在侧棱SC上, ABM=60. ()证明:M是侧棱SC的中点;()求二面角S-AM-B的大小. 41.如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D为BB1的中点, E为AB1上的一点, AE=3EB1. ()证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;()设异面直线AB1与CD的

15、夹角为45, 求二面角A1-AC1-B1的大小. 42.如图, BCD与MCD都是边长为2的正三角形, 平面MCD平面BCD, AB平面BCD, AB=2. ()求直线AM与平面BCD所成角的大小;()求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值. 43.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PA底面ABCD, ABAD, ACCD, ABC=60, PA=AB=BC, E是PC的中点. ()求PB和平面PAD所成的角的大小;()证明AE平面PCD;()求二面角A-PD-C的大小. 44.如图, 四棱锥S-ABCD中, ABCD, BCCD, 侧面SAB为等边三角形. AB=BC=2, CD=SD=

16、1. ()证明:SD平面SAB;()求AB与平面SBC所成的角的大小. 45.如图, 在四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为正方形, 侧棱SD底面ABCD, E、F分别为AB、SC的中点. ()证明:EF平面SAD;()设SD=2DC, 求二面角A-EF-D的大小. 46.如图, 矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直, BECF, BCF=CEF=90, AD=, EF=2. ()求证:AE平面DCF;()当AB的长为何值时, 二面角A-EF-C的大小为60?47.如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, E, H分别是棱A1B1, D1C1上的点(点E与B1不重合), 且EHA

17、1D1. 过EH的平面与棱BB1, CC1相交, 交点分别为F, G. ()证明:AD平面EFGH;()设AB=2AA1=2a. 在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点, 记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p. 当点E, F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时, 求p的最小值. 48.如图, 在平行四边形ABCD中, AB=2BC, ABC=120, E为线段AB的中点, 将ADE沿直线DE翻折成ADE, 使平面ADE平面BCD, F为线段AC的中点. ()求证:BF平面ADE;()设M为线段DE的中点, 求直线FM与平面ADE所成角的余弦值. 49.

18、如图, 在三棱锥P-ABC中, PAB是等边三角形, PAC=PBC=90. ()证明: ABPC;()若PC=4, 且平面PAC平面PBC, 求三棱锥P-ABC的体积. 50.如图, 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2, AB=1, 点N是BC的中点, 点M在CC1上. 设二面角A1-DN-M的大小为. ()当=90时, 求AM的长;()当cos =时, 求CM的长. 51.如图所示的几何体是将高为2, 底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后, 将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A, A, B, B分别为的中点, O1, O1, O2, O2分别为CD, CD, DE

19、, DE的中点. ()证明:O1, A, O2, B四点共面;()设G为AA中点, 延长AO1到H, 使得O1H=AO1. 证明:BO2平面HBG. 答案1.A 2.B 3.B 4. D 5. B 6.C 7. D 8.D 9. D 10. B 11. C 12.A13. D 14.B 5.D 16.C 17.A 18.C 19.C 20.B 21.D 22.C 23.D 24.25.26. ；27.(18+24) 28.A、B、C 29.9030.831. 32. 33. 5 34.两组相对侧面分别平行;底面是平行四边形;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点注:上面给出了四个充要条件. 如

20、果考生写出其他正确答案, 同样给分. 35.36.（）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA面ABCD,PAEB，PA=AD=4，EB=2取PD的中点F，如图所示.PA=AD,AFPD，又CDDA,CDPA,PADA=A，CD面ADP,CDAF又CDDP=D,AF面PCD- 6分（）取PC的中点M,AC与BD的交点为N，连结MN、ME，如图所示.MN=PA，MNPA，MN=EB，MNEB，四边形BEMN为平行四边形，EMBN，又EM面PEC,BN面PEC，BD面PEC-12分 37.解法一:()依题设, EF是ABC的中位线, 所以EFBC, 则EF平面OBC, 所以EFB

21、1C1. 又H是EF的中点, 所以AHEF, 则AHB1C1. 因为OAOB, OAOC, 所以OA平面OBC, 则OAB1C1, 因此B1C1平面OAH. ()作ONA1B1于N, 连C1N. 因为OC1平面OA1B1, 根据三垂线定理知, C1NA1B1, ONC1就是二面角O-A1B1-C1的平面角. 作EMOB1于M, 则EMOA, 则M是OB的中点, 则EM=OM=1. 设OB1=x, 由=得, =, 解得x=3, 即OB1=OC1=3. 在RtOA1B1中, A1B1=, 则ON=. 所以tanONC1=, 故二面角O-A1B1-C1的大小为arctan. 解法二:()以直线OA、

22、OC、OB分别为x、y、z轴, 建立空间直角坐标系O-xyz, 则A(2, 0, 0), B(0, 0, 2), C(0, 2, 0), E(1, 0, 1), F(1, 1, 0), H, 所以=(0, 2, -2), 所以=0, =0. 所以BC平面OAH. 由EFBC, 所以B1C1BC则B1C1平面OAH. ()由已知A1, 设B1(0, 0, z), 则=(-1, 0, z-1), 由与共线得:存在R使=得z=3, 所以B1(0, 0, 3), 同理:C1(0, 3, 0), 所以=设n1=(x1, y1, z1)是平面A1B1C1的一个法向量, 则即令x1=2得y1=z1=1, 所

23、以n1=(2, 1, 1). 又n2=(0, 1, 0)是平面OA1B1的一个法向量, 所以cos=, 由图可知, 所求二面角的大小为arccos . 38.由题设可知, 以、为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 则有A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(0, 1, 0), D1(0, 0, 1). 由=(1, 1, -1)得=(, , -), 所以=+=(-, -, )+(1, 0, -1)=(1-, -, -1), =+=(-, -, )+(0, 1, -1)=(-, 1-, -1). 显然APC不是平角, 所以APC为钝角等价于cosAPC=cos=0

24、,这等价于0, 即(1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0, 得0), 则M, =. 又=(0, 2, 0), =60, 故=|cos 60, 即=, 解得=1, 即=. 所以M为侧棱SC的中点. ()由M(0, 1, 1), A(, 0, 0), 得AM的中点G. 又=(0, -1, 1), =(-, 1, 1). =0, =0, 所以. 所以等于二面角S-AM-B的平面角. 因为cos=-. 所以二面角S-AM-B的大小为arccos. 41.解法一:()连结A1B, 记A1B与AB1的交点为F. 因为面AA1B1B为正方形, 故A1BAB1, 且AF=FB1. 又

25、AE=3EB1, 所以FE=EB1. 又D为BB1的中点, 故DEBF, DEAB1. 作CGAB, G为垂足, 由AC=BC知, G为AB中点. 又由底面ABC面AA1B1B, 得CG面AA1B1B. 连结DG, 则DGAB1, 故DEDG, 由三垂线定理, 得DECD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线. ()因为DGAB1, 故CDG为异面直线AB1与CD的夹角, CDG=45. 设AB=2, 则AB1=2, DG=, CG=, AC=. 作B1HA1C1, H为垂足. 因为底面A1B1C1面AA1C1C, 故B1H面AA1C1C, 又作HKAC1, K为垂足, 连结B1K, 由三

26、垂线定理, 得B1KAC1, 因此B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角. B1H=, HC1=, AC1=, HK=, tanB1KH=, 所以二面角A1-AC1-B1的大小为arctan. 解法二:()以B为坐标原点, 射线BA为x轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz. 设AB=2, 则A(2, 0, 0), B1(0, 2, 0), D(0, 1, 0), E, 又设C(1, 0, c), 则=(2, -2, 0), =(1, -1, c). 于是=0, =0, 故DEB1A, DEDC, 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线. ()因为等于异面直线AB1与CD的夹角

27、, 故=|cos 45, 即2=4, 解得c=, 故=(-1, 0, ). 又=(0, 2, 0), 所以=+=(-1, 2, ). 设平面AA1C1的法向量为m=(x, y, z), 则m=0, m=0, 即-x+2y+z=0且2y=0. 令x=, 则z=1, y=0, 故m=(, 0, 1). 设平面AB1C1的法向量为n=(p, q, r), 则n=0, n=0, 即-p+2q+r=0, 2p-2q=0. 令p=, 则q=, r=-1, 故n=(, -1). 所以cos=. 由于等于二面角A1-AC1-B1的平面角, 所以二面角A1-AC1-B1的大小为arccos. 42. 解法一:(

28、)取CD中点O, 连OB, OM, 则OBCD, OMCD. 又平面MCD平面BCD, 则MO平面BCD, 所以MOAB, A、B、O、M共面. 延长AM、BO相交于E, 则AEB就是AM与平面BCD所成的角. OB=MO=, MOAB, 则=, EO=OB=, 所以EB=2=AB, 故AEB=45. 直线AM与平面BCD所成角的大小为45. ()CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由()知, O是BE的中点, 则BCED是菱形. 作BFEC于F, 连AF, 则AFEC, AFB就是二面角A-EC-B的平面角, 设为. 因为BCE=120, 所以BCF=60. BF=BCsin 60=, t

29、an =2, sin =. 所以, 所求二面角的正弦值是.解法二:取CD中点O, 连OB, OM, 则OBCD, OMCD, 又平面MCD平面BCD, 则MO平面BCD. 以O为原点, 直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系如图. OB=OM=, 则各点坐标分别为O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0, ), B(0, -, 0), A(0, -, 2), ()设直线AM与平面BCD所成的角为. 因=(0, , -), 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 则有sin =cos=, 所以=45. 直线AM与平面BCD所成角的大小为45. ()

30、=(-1, 0, ), =(-1, -, 2). 设平面ACM的法向量为n1=(x, y, z), 由得解得x=z, y=z, 取n1=(, 1, 1). 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 则cos=. 设所求二面角为, 则sin =. 所以, 所求二面角的正弦值是. 43.()在四棱锥P-ABCD中, 因PA底面ABCD, AB平面ABCD, 故PAAB. 又ABAD, PAAD=A, 从而AB平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为PA, 从而APB为PB和平面PAD所成的角. 在RtPAB中, AB=PA, 故APB=45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45. ()

31、在四棱锥P-ABCD中, 因PA底面ABCD, CD平面ABCD, 故CDPA. 由条件CDAC, PAAC=A, CD平面PAC. 又AE平面PAC, AECD. 由PA=AB=BC, ABC=60, 可得AC=PA. E是PC的中点, AEPC. 又PCCD=C, 综上得AE平面PCD. ()过点E作EMPD, 垂足为M, 连结AM. 由()知, AE平面PCD, AM在平面PCD内的射影是EM, 则AMPD. 因此AME是二面角A-PD-C的平面角. 由已知, 可得CAD=30. 设AC=a, 可得PA=a, AD=a, PD=a, AE=a. 在RtADP中, AMPD, AMPD=P

32、AAD, 则AM=a. 在RtAEM中, sinAME=. 所以二面角A-PD-C的大小是arcsin . 44.解法一:()取AB中点E, 连结DE, 则四边形BCDE为矩形, DE=CB=2. 连结SE, 则SEAB, SE=. 又SD=1, 故ED2=SE2+SD2, 所以DSE为直角. (3分)由ABDE, ABSE, DESE=E, 得AB平面SDE, 所以ABSD, SD与两条相交直线AB、SE都垂直, 所以SD平面SAB. (6分)()由AB平面SDE知, 平面ABCD平面SDE. 作SFDE, 垂足为F, 则SF平面ABCD, SF=. 作FGBC, 垂足为G, 则FG=DC=

33、1. 连结SG, 则SGBC. 又BCFG, SGFG=G, 故BC平面SFG, 平面SBC平面SFG. (9分)作FHSG, H为垂足, 则FH平面SBC. FH=, 即F到平面SBC的距离为. 由于EDBC, 所以ED平面SBC, E到平面SBC的距离d也为. 设AB与平面SBC所成的角为, 则sin =, =arcsin. (12分)解法二:以C为坐标原点, 射线CD为x轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 设D(1, 0, 0), 则A(2, 2, 0)、B(0, 2, 0). 又设S(x, y, z), 则x0, y0, z0. ()=(x-2, y-2, z), =

34、(x, y-2, z), =(x-1, y, z), 由|=|得=, 故x=1. 由|=1得y2+z2=1, 又由|=2得x2+(y-2)2+z2=4, 即y2+z2-4y+1=0, 故y=, z=. (3分)于是S, =, =0, =0. 故DSAS, DSBS, 又ASBS=S, 所以SD平面SAB. (6分)()设平面SBC的法向量a=(m, n, p), 则a, a, a=0, a=0. 又=(0, 2, 0), 故(9分)取p=2得a=(-, 0, 2). 又=(-2, 0, 0), cos=. 故AB与平面SBC所成的角为arcsin. (12分) 45.解法一:()作FGDC交S

35、D于点G, 则G为SD的中点. 连结AG, FGCD, 又CDAB, 故FGAE, AEFG为平行四边形. EFAG, 又AG平面SAD, EF平面SAD, 所以EF平面SAD. (4分)()不妨设DC=2, 则SD=4, DG=2, ADG为等腰直角三角形. 取AG中点H, 连结DH, 则DHAG. 又AB平面SAD, 所以ABDH, 而ABAG=A, 所以DH面AEF. 取EF中点M, 连结MH, 则HMEF. 连结DM, 则DMEF. 故DMH为二面角A-EF-D的平面角. (10分)tanDMH=. 所以二面角A-EF-D的大小为arctan. (12分)解法二:()如图, 建立空间直

36、角坐标系D-xyz. 设A(a, 0, 0), S(0, 0, b), 则B(a, a, 0), C(0, a, 0), E, F, =. 取SD的中点G, 则=. =, EFAG, AG平面SAD, EF平面SAD, 所以EF平面SAD. (4分) ()不妨设A(1, 0, 0), 则B(1, 1, 0), C(0, 1, 0), S(0, 0, 2), E, F. EF中点M=(-1, 0, 1), =0, MDEF. 又=0, EAEF. 所以向量和的夹角等于二面角A-EF-D的平面角. (10分)cos=. 所以二面角A-EF-D的大小为arccos. (12分)46.解法一:()证明

37、:过点E作EGCF交CF于G, 连结DG. 可得四边形BCGE为矩形. 又ABCD为矩形, 所以ADEG, 从而四边形ADGE为平行四边形, 故AEDG. 因为AE平面DCF, DG平面DCF, 所以AE平面DCF. ()过点B作BHEF交FE的延长线于H, 连结AH. 由平面ABCD平面BEFC, ABBC, 得AB平面BEFC, 从而AHEF, 所以AHB为二面角A-EF-C的平面角. 在RtEFG中, 因为EG=AD=, EF=2, 所以CFE=60, FG=1. 又因为CEEF, 所以CF=4. 从而BE=CG=3. 于是BH=BEsinBEH=. 因为AB=BHtanAHB, 所以当

38、AB为时, 二面角A-EF-C的大小为60. 解法二:如图, 以点C为坐标原点, 以CB、CF和CD分别作为x轴、y轴和z轴, 建立空间直角坐标系C-xyz. 设AB=a, BE=b, CF=c, 则C(0, 0, 0), A(, 0, a), B(, 0, 0), E(, b, 0), F(0, c, 0). ()证明:=(0, b, -a), =(, 0, 0), =(0, b, 0), 所以=0, =0, 从而CBAE, CBBE, 所以CB平面ABE. 因为CB平面DCF, 所以平面ABE平面DCF. 故AE平面DCF. ()因为=(-, c-b, 0), =(, b, 0), 所以=

39、0, |=2, 从而解得b=3, c=4. 所以E(, 3, 0), F(0, 4, 0). 设n=(1, y, z)与平面AEF垂直, 则n=0, n=0, 解得n=. 又因为BA平面BEFC, =(0, 0, a), 所以|cos|=, 得到a=. 所以当AB为时, 二面角A-EF-C的大小为60. 47. 解法一:()证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中, ADA1D1. 又EHA1D1, ADEH. AD平面EFGH, EH平面EFGH, AD平面EFGH. ()设BC=b, 则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=ABADAA1=2a2b, 几何体EB1F-HC1G的体积V

40、1=B1C1=EB1B1F. E+B1F2=a2, EB1B1F=, 当且仅当EB1=B1F=a时等号成立. 从而, V1. 故p=1-1-=, 当且仅当EB1=B1F=a时等号成立. 所以, p的最小值等于. 解法二:()同解法一. ()设BC=b, 则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=ABADAA1=2a2b, 几何体EB1F-HC1G的体积V1=B1C1=EB1B1F. 设B1EF=(090), 则EB1=acos , B1F=asin . 故EB1B1F=a2sin cos =sin 2, 当且仅当sin 2=1即=45时等号成立. 从而, V1. p=1-1-=, 当且仅当s

41、in 2=1即=45时等号成立. 所以, p的最小值等于. 48.()证明:取AD的中点G, 连结GF, GE, 由条件易知FGCD, FG=CD, BECD, BE=CD, 所以FGBE, FG=BE, 故四边形BEGF为平行四边形, 所以BFEG. 因为EG平面ADE, BF平面ADE, 所以BF平面ADE. ()在平行四边形ABCD中, 设BC=a, 则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连结CE, 因为ABC=120, 在BCE中, 可得CE=a, 在ADE中, 可得DE=a, 在CDE中, 因为CD2=CE2+DE2, 所以CEDE, 在正三角形ADE中, M为DE中点, 所

42、以AMDE. 由平面ADE平面BCD, 可知AM平面BCD, AMCE. 取AE的中点N, 连结NM, NF, 所以NFDE, NFAM. 因为DE交AM于M, 所以NF平面ADE, 则FMN为直线FM与平面ADE所成角. 在RtFMN中, NF=a, MN=a, FM=a, 则cosFMN=, 所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为. 49.()因为PAB是等边三角形, PAC=PBC=90. 所以RtPBCRtPAC, 可得AC=BC. 如图, 取AB中点D, 连结PD、CD, 则PDAB, CDAB, 所以AB平面PDC, 所以ABPC. (6分)()作BEPC, 垂足为E, 连结AE

43、. 因为RtPBCRtPAC, 所以AEPC, AE=BE. 由已知, 平面PAC平面PBC, 故AEB=90. (8分)因为RtAEBRtPEB, 所以AEB, PEB, CEB都是等腰直角三角形. 由已知PC=4, 得AE=BE=2, AEB的面积S=2. 因为PC平面AEB, 所以三棱锥P-ABC的体积V=SPC=. (12分)50. 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设CM=t(0t2), 则各点的坐标为A(1, 0, 0), A1(1, 0, 2), N, M(0, 1, t). 所以=(0, 1, t), =(1, 0, 2). 设平面DMN的法向量为n1=(x1, y1,

44、 z1), 则n1=0, n1=0. 即x1+2y1=0, y1+tz1=0. 令z1=1, 则y1=-t, x1=2t. 所以n1=(2t, -t, 1)是平面DMN的一个法向量. 设平面A1DN的法向量为n2=(x2, y2, z2), 则n2=0, n2=0. 即x2+2z2=0, x2+2y2=0. 令z2=1, 则x2=-2, y2=1. 所以n2=(-2, 1, 1)是平面A1DN的一个法向量. 从而n1n2=-5t+1. ()因为=90, 所以n1n2=-5t+1=0, 解得t=. 从而M. 所以AM=. ()因为|n1|=, |n2|=, 所以cos=. 因为=或-, 所以=,

45、 解得t=0或t=. 根据图形和(1)的结论可知t=, 从而CM的长为. 51.()连结O2O2, BO2. 平移后AO1BO2, 又BBO2O2, BB=O2O2, BBBO2, 四边形BO2O2B为矩形. BO2BO2, BO2AO1, 所以O1、A、O2、B四点共面. ()作HH平面ACD, 垂足为H, 连BH, HO1. 则HHBB且HH=BB, HBHB且HB=HB. 而HBO1O2且HB=O1O2, HBO1O2且HB=O1O2, HO1BO2. 在RtHO1H中, tanHHO1=. 在RtHGA中, tanGHA=. HHO1=GHA, HGHO1. 又HH面ACD, HBHO1, HBHO1. 又HGHB=H, HO1平面HBG. 又HO1BO2, BO2平面HBG.