巴特沃斯滤波器设计

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1、鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章IIR数字滤波器设计电子教案二、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为 （5-8）其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，为归一化低通截止频率,。 式中N为整数，是滤波器的阶次。N=4N=10N=210.707图5-5 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图5-5所示。滤波器的特性完全由其阶数N决定。当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然

2、由（5-8）式决定了在处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图5-5所示。 设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为，归一化传递函数为，其中，则由（5-6）式和（5-8）式得：由于1图5-6 巴特沃斯低通滤波器指标 （5-9）所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标：通带截止频率；：通带衰减，单位：dB；：阻带起始频率；：阻带衰减，单位：dB。说明：（1）衰减在这里以分贝（dB）为单位；即（2）当时为通常意义上的截止频率。（3）在滤波器

3、设计中常选用归一化的频率，即2、巴特沃斯低通滤波器设计实质根据设计指标要求，确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C及滤波器的阶数N；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。（1）将实际频率归一化得，再根据已知的，幅度平方函数 确定C和N。（2） 求C和N 由并带入 ，得 即因为，所以由两边取对数得：其中这样可以求出C和N。注意：当时，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N。（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。由于由，解得极点为：将p左半平面的极点赋予即其中为了便于设计，工程上已将当时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表

4、5-1所示。在表5-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。表5-1 归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表阶次归一化系统函数12345（4）去掉归一化影响 上面设计中采用归一化的频率即，而实际中截止频率为，所以要进行如下的变量代换：即 综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：（1）计算归一化频率，。（2） 根据设计要求按照和其中计算巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N；注意当时 C=1。（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数；（4）令中的得到截止频率为的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。例5-2 已知滤波器的3dB截止频率为50Hz，试求一个二阶巴特沃斯低通滤波

5、器的实现方案。解：根据题义，滤波器设计指标为：截止频率；阶数N=2；查表得归一化低通巴特沃斯原型滤波器的系统函数为：rad/s，代入得：例5-3 试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率，通带最大衰减，阻带起始频率，阻带最小衰减。解：已知，（1）计算归一化频率，。（2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次N及C则 选择N=5。（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数；（4）去掉归一化影响三、切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计0N为奇数(a)10N为偶数(b)1图5-7 切比雪夫I型滤波器的振幅特性（a）N=3，2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性（b）N=4，2dB通带波纹的切比雪

6、夫振幅特性0N为奇数(a)10N为偶数(b)1图5-8 切比雪夫II型滤波器的振幅特性巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪

7、夫滤波器取决于实际用途。图5-7和图5-8分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫I、II型滤波器的频率特性。1、切比雪夫I型滤波器的基本特点现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为 （5-11）为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。为对截止频率的归一化频率，为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB带宽）。是N阶切比雪夫多项式，定义为 （5-12）表5-2 切比雪夫多项式展开式其中为反余弦函数；为双曲余弦函数；为反双曲余弦函数；它们的定义如（5-13）式和（5-14）式所示N01x234 （5-13） （5-

8、14）（5-12）式可展开为多项式的形式如表5-2所示： 由表5-2可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为 （5-15）图5-9示出了N=0，4，5时切比雪夫多项式的特性。由图5-9可见：1. 切比雪夫多项式的零值在的间隔内。1-11x图5-9 切比雪夫多项式曲线2. 当x1时，且具有等波纹幅度特性。3. 在的区间外，是双曲余弦函数，随着x而单调增加。再看函数，是小于1的实数，的值在之内，将在0至之间改变。而的函数值在之内，将在1至之间改变。然后将取倒数，即可得（5-11）式的切比雪夫I型滤波器幅度平方函数。根据以上所述，在，在接近1处振荡，其最大值为1，最小值为。在此范围之外，随着增大，则很

9、快接近于零。图5-7画出了切比雪夫I型滤波器振幅特性曲线，从中可以看出：振幅特性的起伏为1，因，所以在时，即切比雪夫I型滤波器的截止频率并不对应3dB的衰减。2、切比雪夫I型滤波器设计方法由（5-11）式可知，要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：及N。下面研究如何确定这三个参数，具体步骤如下：(1) 将实际频率归一化得，再根据已知的，幅度平方函数 确定和N。(2)确定和N。定义通带波纹(即通带衰减)（以分贝为单位）为：代入 ，得 即因为，所以则 其中 这样可以求出和N，其中。在已知、的情况下，就可以根据幅度平方函数求出滤波器的零点和极点，从而确定滤波器的系统函数。表5-3 归

10、一化切比雪夫原型滤波器分母多项式设计系数n波纹（）12.862775221.51620261.425624530.71569381.53489541.252913040.37905061.02545531.71686621.197385650.178923400.75251811.30957471.93736751.1724909波纹（）11.965226721.10251031.097734330.49130671.23840920.988341240.27562760.74261941.45392480.952811450.12282670.58053420.97439611.688816

11、00.9368201波纹（）11.307560320.63676810.803816430.32689011.02219030.737821640.20576510.51679811.25648190.716215050.08172250.45934910.69347701.49954330.7064606为了设计方便，工程上已将截止频率的切比雪夫低通滤波器的系统函数设计为表格供设计时查阅。归一化原型切比雪夫低通滤波器的系统函数如（5-18）式所示，设计表格如表5-3所示。 （5-18） 再次强调，表5-3是归一化的结果，对于具体的，其系统函数可由（5-19）式得到。 （5-19）综上所述，设

12、计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下：（1）计算归一化频率，。（2）根据通带波纹（通带衰减）db，按照式计算；（3）根据阻带起始频率，阻带衰减和。按照其中式计算滤波器的阶数N；（4）根据滤波器阶数N，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数；根据的低频特性求出待定系数，注：当N为偶数时，；当N为奇数时，。（5）去掉归一化影响 根据截止频率，按照式计算切比雪夫滤波器的系统函数；例5-4 已知通带波纹为1db，截止频率，阻带截止频率，阻带衰减大于15db，试设计满足上述性能指标的切比雪夫型低通滤波器。解：已知，（1）计算归一化频率，。（2）计算。（3）计算滤波器的阶数N；选定 N=3。（4）根据滤波器

13、阶数N，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数；因为当N为奇数时， 即 所以（5）去掉归一化影响 5.3其它各型滤波器设计一、 模拟高通滤波器设计由于滤波器的幅频特性都是偶函数，所以模拟低通滤波器和模拟高通滤波器的幅频特性如图5-10（a）和（b）所示。11图（a） 模拟低通滤波器的幅频特性图（b） 模拟高通滤波器的幅频特性图5-10 模拟高通滤波器设计其中：和分别是模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率；表5-4 和间的关系观察图5-10（a）和（b）可知模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率存在如下关系如表5-4所示。从而有：0 （5-20）通过式5-20可将高通滤波器的归一化频率转化为低

14、通滤波器的归一化频率，同时通带和阻带衰减和保持不变。若令高通滤波器和低通滤波器的传递函数分别为和，其中，则即 由于是偶函数所以上式即为将模拟低通滤波器变换为高通滤波器的变换关系。在经过去归一化得 （5-21）这样即得到模拟高通滤波器的传递函数。由模拟低通滤波器变换为高通滤波器的方法归纳如下：1、将频率归一化；2、将高通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标；3、根据低通滤波器的指标设计低通滤波器；4、根据求高通滤波器的传递函数。例5-5 设计一高通模拟滤波器，要求，用巴特沃斯滤波器设计。解1、 先将频率归一化，得，2、 利用作频率转化将高通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标，得，由已知知 ，3、

15、根据上述低通滤波器的指标设计低通巴特沃斯滤波器，得C=1，N=5，查表可得归一化转移函数为4、 根据求高通滤波器的传递函数，其中带入上式得二、带通滤波器设计模拟带通滤波器的四个频率参数分别是，。其中，分别是通带下限和上限截止频率。，分别是阻带的下限、上限频率，下面进行归一化处理。定义通带带宽，并以该频率为参考频率对轴作归一化处理，即，再定义阻带中心频率，归一化为：。归一化频率的带通滤波器幅频特性如图5-11（b）所示，低通滤波器的幅频特性如图5-11（b）所示。(a) 低通滤波器的幅频特性（b）带通滤波器的幅频特性图5.2.2 带通滤波器的幅频特性表5-5 和间的关系表5-5给出了和间的关系0

16、0由上图可知：1、 由于在轴上有即，也就是说在轴上关于的对称点为；则在之间的任意一点关于的对称点应为；2、在之间的任意一点映射为轴上的对应点在之间的，映射为，于是得到和间的对应关系为：由于，所以有 参见表(5-22)从而实现带通滤波器与低通滤波器讲的频率变换。我们利用低通滤波器的指标，可以设计出低通滤波器的传递函数。并设带通滤波器的传递函数为，其中，则即 去掉归一化影响得所以这样，所求的带通滤波器的传递函数就可以求出。注意，N阶低通滤波器转换到带通后，阶次变为2N。现归纳模拟带通滤波器设计方法如下：1、将频率归一化；2、将带通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标；3、根据低通滤波器的指标设计低通

17、滤波器；4、根据求带通滤波器的传递函数。 例5-6 设计一切比雪夫带通滤波器，要求带宽为200HZ，中心频率为1000HZ，通带衰减不大于1dB，在频率小于830 HZ或大于1200 Hz衰减不小于15 dB。解 由题意可知，。1、将频率归一化，有，有和，可求出，。2、利用求低通滤波器的指标，参见图7.2.2的对应关系，得，注意：（1）可以直接给出不需要计算，这是由变换方法本社决定的。（2）在一般情况下，和会稍有些不同，我们可以取的绝对值较小者，即，至此我们得到了设计低通滤波器的全部指标，即，。3、根据上述指标设计切比雪夫低通滤波器，得注意：取。根据N及查表得归一化切比雪夫低通滤波器为因为当N

18、为奇数时即所以 即 4、求带通传递函数5.3 从模拟滤波器设计数字滤波器的方法 从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是要由模拟滤波器的系统函数进一步求得。归根结底是一个由s平面到z平面的变换。这个变换应遵循两个基本的目标。 (1) H(z)的频响必须要模仿的频响，也即s平面的虚轴j应该映射到z平面的单位圆上。 (2) 的因果稳定性，通过映射后仍应在所得到的H(z)中保持，也即s平面的左半平面应该映射到z平面单位圆以内。 从模拟滤波器映射(变换)成数字滤波器有四种方法：(1)微分-差分变换法；(2)脉冲响应不变变换法；(3)双线性变换法；(4)匹配z变换法。由于(1)，(4)两种方法都有一定的局限

19、性，工程上常用的是脉冲响应不变变换法和双线性变换法两种。图5-10 脉冲响应不变法示意图 一、脉冲响应不变变换法1. 变换原理脉冲响应不变变换法又称为标准z变换法。它是保证从模拟滤波器变换所得的数字滤波器的单位取样响应h(n)是相应的模拟滤波器的单位脉冲响应的等间隔取样值，即 (5-20)如图5-10所示，这T为取样周期。的拉氏变换为h(nT)的z变换即为数字滤波器的系统函数H(z)。z变换和拉氏变换之间的关系可知 （5-21）即时域的取样，使连续时间信号的拉氏变换在s平面上沿虚轴周期延拓，然后再经过的映射关系，将映射到z平面上，即得H(z)。第二章讨论的映射关系表明:s平面上每一宽为的条带，

20、都将重叠地映射到整个z平面上。而每一条带的左半部分映射在z平面单位圆以内，条带的右半部分映射到单位圆外。s平面的虚轴映射到单位圆上，但是轴上的每一段的虚轴，都对应于绕单位圆一周。所以按照脉冲响应不变变换法，从s平面到z平面的映射不是单值关系，千万不可错误地认为经过的简单代数变换即可由得到 H(z)。这里除了这一变换之外，还同时含有将以为周期对作周期图5-11 脉冲响应不变法s平面与z平面关系延拓的过程。脉冲响应不变变换法s平面与z平面的映射关系如图5-11所示。由(5-21)式可得数字滤波器与模拟滤波器频率响应之间关系为即数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。如果模拟滤波器的频响

21、是限带于折叠频率之内的，即图5-12 脉冲响应不变法中的频率混叠现象这时才使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内，重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。但是任何实际的模拟滤波器，都不是带宽绝对有限的，因此，通过脉冲响应不变变换法所得的数字滤波器就不可避免地要出现频谱的混叠失真，如图5-12所示。只有当模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减很大，混叠失真很小时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能满足精度的要求。 应该注意，在设计中，当滤波器的指标用数字域频率给定时，不能用减小T的办法解决混叠问题。如设计一截止频率为的低通滤波器，则要求相应模拟滤波器的截止频率为，T减小时，只有让同倍数的增大，才能

22、保证给定的不变。T减小使带域加宽了，但也同倍数加宽，所以如果在带域外有非零的值，即，则不论如何减小T，由于与T成同样倍数变化，总还是，不能解决混叠问题；2. 模拟滤波器的数字化在脉冲响应不变变换法设计中，由一个较为复杂的模拟系统函数(或脉冲响应)求出数字滤波器系统函数(或单位取样响应)是一个很麻烦的变换过程。因为乘积的z变换并不等于各部分变换的乘积，所以在这里不宜采用级联分解。但各项和的z变换是线性关系，因而用部分分式表达系统函数，特别适合于对复杂模拟系统函数的变换。现实的系统通常是分母的阶数N高于分子的阶数M，这时系统若只有单极点(若不是单极点情况，则求逆拉氏变换要复杂一些)，则可将模拟滤波

23、器的系统函数表达为如下的部分分式形式 (5-22)相应的单位脉冲响应是式中是单位阶跃响应。根据脉冲响应不变变换法的意义，数字滤波器的单位取样响应是数字滤波器的系统函数H(z)则为 (5-23)将上式与(5-22)式相比可见，由至间的变换关系为 （5-24）(5-24)式说明：(1)与H(z)的各部分分式的系数是相同的均为；(2)极点是以的关系进行映射的。的极点变成了H(z)的的极点；(3)与H(z)间的零点没有一一对应的关系，一般说来，它是由极点和各系数决定的一个函数关系。 3. 脉冲响应不变法的修正 由（5-21）时可知：时域取样后的频谱幅值是原来信号频谱特性幅值的1/T倍，频率将以为周期进

24、行延拓。由于取样时间一般很小，会造成1/T较大，即取样后的信号频谱幅值过大，为了修正这一问题，雷道和戈尔德提出在进行时域取样时取，这样(5-23)式修正为 （5-24）根据以上分析可知，脉冲响应不变变换法的设计步骤可以不必再经历的过程，而是直接将写成许多单极点的部分分式之和的形式，然后将各个部分分式用(5-24)式的关系进行替代，即可得所需的数字滤波器系统函数H(z)。脉冲响应不变法设计步骤1、按照给定的数字滤波器的设计指标，利用模拟滤波器设计技术设计原型模拟滤波器，得。（如果是非低通滤波器则需进行变换）2、把分解成部分分式求和形式，其中：是系统极点。（求出极点和系数 ）3、用变换式：对进行变

25、换，得数字滤波器系统函数。例5-7 已知模拟滤波器的系统传递函数为试使用脉冲响应不变法将上述传递函数转变为数字滤波器的传递函数。解；1、将化成部分因式和的形式：2、系统的极点为： ，3、根据（5-24）式可知脉冲响应不变法设计的数字滤波器的系统函数为例5-8已知数字系统采样频率为500Hz。要求所设计的低通数字滤波器的3dB截止频率为50Hz。试采用脉冲响应不变法设计一个二阶数字巴特沃斯低通滤波器。 解：1、 根据题义，数字滤波器设计指标为：截止频率50Hz；阶数N=2；采样频率500Hz。选择滤波器逼近函数为Butterworth二阶函数；查表得： ，代入得：2、求系统的极点：，将 部分分式

26、展开得：3、，得和代入变换式，进行变换得：4、整理成标准形式得：4. 脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变化是线性的，即。因此，如果模拟滤波器的频响是限带于折叠频率以内的话，则通过变化后所得的数字滤波器的频响可以不失真的反映原频率响应的关系脉冲响应不变法最大缺点是有频谱周期延拓效应，因此只能用于限带的频响特性，如衰减特性较好的低通或带通滤波器的设计。对于高通、带通滤波器，由于它们在高频部分不衰减，当一定要追求频率响应线性而采用脉冲响应不变法时，必须先对模拟高通、带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再转变为数字滤波器以避免混叠失真。二、双线性变换

27、法1. 变换原理双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。为了克服脉冲响应不变法的多值映射这一缺点，我们首先把整个s平面压缩变换到某一中介的平面的一横带里（宽度为，即从到），然后再通过上面讨论过的标准变换关系将此横带变换到整个z平面上去，这样就使s平面与z平面是一一对应的关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，基本原理如图5-13所示。将s平面整个平面压缩到平面的到，可采用以下的变换关系 （5-25）图5-13 双线性变换法的映射关系其中C为常数；这样经（5-25）式变为，变为，可将上式写成令，则可得 （5-26）再将平面通过以下标准变化关系映射到z

28、平面 （5-27）这样（5-26）式可表示为 （5-28） （5-29）2. 变换常数C的选择为了使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有，当较小时有由（5-25）式可知因而得 （5-30）则（5-28）和（5-29）式可重新写成： （5-31）即 （5-32）3. 逼近情况 双线性变换具备模拟域到数字域映射变换的总要求，现分析如下：（1）将代入到(5-32)式则得或 （5-34）由上式可见，当时，；当时，；当时，。这就是说双线性变换把s左半平面映射在单位圆的内部；把s平面的整个轴映射成单位圆，把s右半平面映射在单位圆的外部。(2)令，则由(5-32)式得图5-14 双

29、线性变换的频率间非线性关系所以 由此得出模拟滤波器的频率和数字滤波器频率的关系式为 (5-35)这一公式的关系如图5-14所示。可以看出，当时，当时，,当时，。这就是说：s平面的原点映射为z平面(1，0)点，而s平面的正虚轴和负虚轴分别映射成z平面单位圆的上半圆和下半圆。 由上所述，可得如下结论： a模拟滤波器中最大和最小值将保留在数字滤波器中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带或阻带。 b如果模拟滤波器是稳定的，则通过双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 c由于s平面的整个虚轴映射为z平面上的单位圆，因此双线性变换法确实消除了脉冲响应不变变换法所存在的混叠误差，所以逼近

30、是良好的。但由(5-35)式可见，在频率与间存在严重的非线性。 4. 模拟滤波器的数字化由于双线性变换法中，s与z之间有简单的代数关系，故可由模拟系统函数通过代数置换直接得到数字滤波器的系统函数。即 (5-36)可见数字滤波器的极点数等于模拟滤波器的极点数。频率响应也可用直接置换得到 (5-37)这一公式可用于将滤波器的数字域指标，转换为模拟域指标。 再者，可在未进行双线性变换前把原模拟系统函数分解成并联或级联子系统函数，然后再对每个子系统函数分别加以双线性变换。就是说，所有的分解，都可以就模拟滤波器系统函数来进行，因为模拟滤波器已有大量图表可供利用，且分解模拟系统函数比较容易。 5. 优缺点

31、图5-15 理想微分器经双线性变换后的幅频响应产生畸变 双线性变换法的主要优点是消除了脉冲响应不变变换法所固有的混叠误差。这是由于s平面的整个轴单值地对应于z平面单位圆一周的缘故。数字域频率与模拟域频率关系已在(5-35)式中示出，并已画于图5-14上。由图可见，在零频附近，模拟频率与数字频率的关系接近于线性。T值愈小，即取样频率愈高，则成线性关系的频率范围愈大。当进一步增大时，增长变慢，二者不再是线性关系了。最后当时，终止在折叠频率处，从而双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混叠到低频部分去的现象。这意味着，模拟滤波器全部频率响应特性被压缩于等效的数字频率范围之内。由图5-14还可以

32、看出，双线性变换消除混叠的这个特点是靠频率的严重非线性而得到的。双线性变换法的缺点是频率与间的非线性。这种非线性关系要求被变换的连续时间系统的幅度响应必须是分段常数型的(某一段频率范围幅度响应近似于某一常数)，不然所映射出的数字频率响应相对于原来的模拟频率响应会产生变形。例如，双线性变换不能将模拟微分器变换成数字微分器如图5-15所示，但是对于低通、高通、带通、带阻模拟滤波器，频率响应都是分段常数型的，可采用双线性变换，只要截止频率点映射正确，即可消除变换中所带来的频率间的非线性畸变。实际解决双线性变换中的频率非线性关系的方法有两种。 （1）在低频段，模拟与数字两滤波器的频率关系处于近似的线性

33、范围之内，故可忽略非线性影响。（2）采用补偿的办法，也可称为预畸的方法预畸设计法如图5-16所示。设所希望的数字滤波器的四个截止频率为、。利用(5-35)式的频率变换关系，求出对应的四个模拟截止频率为，而模拟滤波器就按此畸变了的截止频率组进行设计。对这个模拟滤波器作双线性变换，便可得到具有要求的截止频率、的数字滤波器。预畸变特征图5-16 双线性变换时频率的预畸变模拟与数字两域频率间的非线性关系还会造成变换后滤波器的相位特性失真。对线性相位特性的模拟滤波器进行双线性变换后所得的数字滤波器就不再保持线性相位特性了。例5-9 已知某模拟滤波器的系统传递函数为，使用双线性变换法将上述传递函数转换为数字滤波器的传递函数，采样周期T=0.5s 。解：例5-10 用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，采样频率为fs=1.2kHz，截止频率为fC=400Hz。解：1. 求数字频率2. 预畸变 3. 查表得归一化巴特沃斯低通滤波器的系统函数为：令得4. 双变换后为：