人教版 高中数学 选修22 第三章 导数及其应用

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1、2019人教版精品教学资料高中选修数学导数及其应用重点列表：重点名称重要指数重点1导数的概念及应用重点2导数的应用重点3抛物线重点详解：1.导数的概念(1)定义如果函数yf(x)的自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量yf(x0x)f(x0)，比值就叫函数yf(x)从x0到x0x之间的平均变化率，即.如果当x0时，有极限，我们就说函数yf(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y ，即f (x0) .(2)导函数当x变化时，f (x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).yf(x)的导函数有时也记作y ，即f (x)y .(3)求函数

2、yf(x)在点x0处导数的方法求函数的增量y ；求平均变化率 ；取极限，得导数f (x0) .2.导数的意义(1)几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数Ss(t)在点t0处的导数s (t0), 就是当物体的运动方程为Ss(t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v，即 .设vv(t)是速度函数，则v (t0)表示物体在tt0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c (c为常数)，(x) (Q*)；(2)(sinx) _，

3、(cosx) ；(3)(lnx) ，(logax) ；(4)(ex) ，(ax) .4.导数运算法则(1)f(x)g(x) .(2)f(x)g(x) ；当g(x)c(c为常数)时，即cf(x) .(3) (g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 .即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【参考答案】1.(1)可导f (x0)(3)f(x0x)f(x0)2.(1)f (x0)yy0f (x0)(xx0)(2)vs (t0)加速度3.(1)0x1(2)cosxsinx(3)(4)exaxlna4.(1)f (x)g (x

4、)(2)f (x)g(x)f(x)g (x)cf (x)(3)5.yx y uu x重点1：导数的概念【要点解读】严格按照定义进行求值导数的几何意义是改点处曲线的切线的斜率【考向1】导数的几何意义【例题】设f(x)为可导函数，当x趋近于0时，趋近于1，则过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1 C1 D2解：，当x趋近于0时，2x也趋近于0，y |x11，所以yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.故选B.【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量x2x.“y |x1”是指曲线在x1处的切线斜率【考向2】利用定

5、义求导数【例题】已知f (0)2，则h趋近于0时，趋近于 .重点2：导数的几何意义【要点解读】 (1)已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决(4)根据切线的性质求倾斜角或参数值：已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出

6、函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到kf(x0)tan ，其中倾斜角0，)，根据范围进一步求得角或有关参数的值【考向1】过曲线上一点的切线方程【例题】已知曲线yx3.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解：(1)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为kx1，解得x01，故切点为，(1，1)故所求切线方程为yx1和y1x1， (3)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，又切线的斜率ky |xx0x，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2，4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x

7、(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.【评析】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f (x)；求切线的斜率f (x0)；写出切线方程yf(x0)f (x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程注意：求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.【

8、考向2】过曲线外一点的切线方程【例题】已知函数f(x)x3x16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；(2)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(3)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程.解：(1)设切点坐标为(x0，y0)，f (x0)3x14，x01，或切线方程为y4x18或y4x14.0(3x1)(x0)xx016，整理得x02，斜率k13.直线l的方程为y13x.解法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则斜率k，又kf (x0)3x1，3x1，解得x02，k13.直线l的方程为y13x.重点3：导数的运算【要点解读】导数运算的原则和方法(1

9、)原则：先化简解析式，再求导(2)方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；复合函数：由外向内，层层求导注意：当函数解析式中含有待定系数(例如f(x0)，a，b等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求出即可【考向1】基本初等函数求导【例题】求下列函数的导数：(1)y5x24x1；(2)y(2x21)(3x1)；(3)ysin(x)(其中为常数)；(4)y(x2).【评析】求导

10、运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单【考向2】复合函数求导【例题】求下列函数的导数：(1)y(x1)(x2)；(2)y(x0)；(3)ycos2x；(4)yln(x1).解：(1)y (x1) (x2)(x1)(x2) x2x12x3；(2)y ；(3)y sin2x(2x) 2sin2x；(4)y ln(x3)ln(x1) .【名师点睛】1.弄清“函数在一点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x0处的导数f (x0)是一个常数，不是变量；(2)函

11、数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f (x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f (x)；(3)函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)就是导函数f (x)在点xx0处的函数值.2.求函数yf(x)在xx0处的导数f (x0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数f (x)，再将x0(x0(a，b)代入导函数f (x)，得

12、f (x0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.难点列表：难点名称难度指数难点1导数与函数的单调性难点2导数与函数的极值、最值难点详解：1.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)，会求

13、闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).2.生活中的优化问题举例通过解“利润最大”“用料最省”“效率最高”等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用.高考对导数应用的考查很频繁.内容既可以是对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根、不等式的解等综合考查，选择、填空、解答等题型均有可能出现，分值比较重，是每年高考考查的重点内容之一.难点1：导数与函数的单调性【要点解读】1.函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f (x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f (x)0，那么函数yf(x)在这个区间内 .2.函数的极值(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值

14、的方法：一般地，当f (x0)0时，如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求f (x)；求方程 的根；检查f (x)在上述方程根的左右对应函数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .3.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则_为函数在a，b上的最小值， 为函数在a，b上的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数在a，b上的

15、最大值， 为函数在a，b上的最小值.(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【答案】1.单调递减2.(1)f (x)0f (x)0(2)f (x)0极大值极小值3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)f(a)f(b)【考向1】通过图像判断单调性【例题】设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()解：当x0时，f(x)为增函数，f (x)0，排除A，C；当x

16、0时，f(x)先增后减，再增，对应f (x)先正后负，再正故选D.【评析】导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)【考向2】利用导数判断函数的单调性【例题】已知函数f(x)x3ax，f (1)0.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.【评析】用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响如，本例中1，1也可以写成(1，1)写单调区间时，一般不要使用符号“”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“”连接的条件是在合并

17、后的区间内函数单调性依然成立如，本例中(，1)，(1，)不能写成(，1)(1，)，不妨取x1，x2，x1x2，而f(x1)f，f(x2)，这时f(x1)f(x2)不成立【名师点睛】(1)方法一：确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间(2)方法二：确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个

18、小区间；确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数f(x)在某一区间内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论难点2：导数与函数的极值、最值【要点解读】(1)首先确定函数f(x)的定义域，求f(x)的导函数，对导函数f(x)进行化简，然后考查分子对应的函数g(x)，先讨论g(x)是否为二次函数，后讨论g(x)是二次函数时实根的分布情况，从而确定g(x)，f(x)的符号，得出函数f(x)的单调区间，判断出函数f(x)的极值点个数；(2)根据(1)知a在不同情况下f(x)在(0，)上的单调性，要想

19、x(0，)时f(x)0恒成立，只要说明最小值大于0，否则存在函数值小于0即可【考向1】极值问题【例题】已知函数f(x)x3cx在x1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的极值. x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值因此，f(x)的极大值为f(1)1，极小值为f(1)1.【评析】找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如yx3)，还要保证该零点为变号零点【考向2】最值问题【例题】已知函数f(x)ax22，g(x)x3bx.若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，

20、c)处具有公共切线.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值. x，h (x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，)h (x)00h(x)极大值极小值所以f(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减h，h(1)12，12，f(x)g(x)在(，1上的最大值为12.【评析】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点和极大值点取得，最小值一般是在端点和极小值点取得【趁热打铁】1.函数f(x)x3sin2x的导数f (x)()Ax2cos2x B3x2cos2xCx22cos2x D3x22cos2x2.

21、已知f(x)(x2)(x3)，则f (2)的值为()A0 B1 C2 D33.曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3 C9 D154.若f(x)x22x4lnx，则f (x)0的解集为()A(0，) B(1，0)(2，)C(2，) D(1，0)5.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b16.已知点P在曲线y上，则曲线在点(0，f(0)处的切线的斜率是()A2 B1C0 D17.曲线yx3x2的一条切线平行于直线y4x1，则切点P0的坐标是_.8.设函数f(x)在(0，)内可导，且f(e

22、x)xex，则f (1)_.9.求函数f(x)x34x4图象上斜率为1的切线的方程.10.设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a，b为常数.已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2，0)处有相同的切线l，求a，b的值，并写出切线l的方程.11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x2.(1)求x0时， f(x)的表达式；(2)令g(x)lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在xx0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.12.设f (x)是函数f(x)的导函数，yf (x)的图象如图所示，则yf(x)的图象有可能是()1

23、3.函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0，3)C(1，4) D(2，)14.函数f(x)(x1)(x2)2的极值点为x()A1，2 B.，2 C.，1 D.，15.f(x)x33x22在区间1，1上的最大值是()A2 B0 C2 D416.已知函数f(x)xe-x(xR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的极值.17.已知函数f(x)axln(x1)，aR.(1)若a2，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若f(x)在x1处取得极值，试讨论f(x)的单调性.第三章(0，b)在切线xy10上，b1，故选A.6解：y ，y |x01.

24、故选D.7解：y 3x21，又3x214，解得x1.切点P0的坐标为(1，0)或(1，4)故填(1，0)或(1，4)8解：令ext，则xlnt.f(ex)xex，f(t)lntt，f (t)1，f (1)112.故填2.9解：设切点坐标为(x0，y0)，f (x0)3x41，x01.切点为(1，1)或(1，7)切线方程为xy20或xy60.10解：f (x)3x24axb，g (x)2x3，由于曲线yf(x)与yg(x)在点(2，0)处有相同的切线，故有f(2)g (2)0，f (2)g (2)1，由此解得a2，b5.从而切线l的方程为xy20.得x0.故存在x0满足条件12解：当x0时，f

25、(x)0，f(x)单调递增；当x0时，f (x)0，f(x)单调递减故选C.13解：f (x)(x3) ex(x3)(ex) (x2)ex，令f (x)0，解得x2，故选D.14解：f (x)(x2)22(x1)(x2)(x2)(3x4)令f (x)0x1，x22，结合导数的符号变化故选B.15解：f (x)3x26x3x(x2)，令f (x)0，得x0或x2(舍去)，当1x0时，f (x)0；当0x1时，f (x)0.所以当x0时，f(x)取得最大值为2.故选C.16解：(1)f (x)(1x)e-x.令f (x)0，得x1.x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f (x)0f(x)极大值所以f(x)在区间(，1)内是增函数，在区间(1，)内是减函数(2)由(1)可知，函数f(x)在x1处取得极大值f(1).17解：f (x)a.(1)若a2，则f (0)23，又f(0)0，因此曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y03(x0)，即3xy0.(2)f (1)0， x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(1，1)1(1，)f (x)0f(x)极大值所以f(x)在(1，1)上单调递增，在(1，)上单调递减