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1、河北区20142015学年度高三年级总复习质量检测（二） 数 学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第卷1至2页，第卷3至8页第卷（选择题 共40分）注意事项： 1 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3 本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式： 如果事件A，B互斥，那么P（AB）P（A）P（B） 如果事件A，B相互独立，那么P（AB）P（A）P（B） 球的表
2、面积公式 S 球的体积公式 V 其中R表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知，i是虚数单位，若，则 （A） （B） （C） （D） （2）函数的单调递增区间是 （A） （B） （C） （D） （3）已知变量x，y满足的不等式组 表示的是一个直角三角形围成的 平面区域，则实数k的值为 （A） （B）0或 （C） （D）0或 （4） 下列说法中错误的是（A） 命题“若，则”的逆否命题是“若，则” （B）若则“”是“”的充要条件 （C）已知命题p和q，若为假命题，则与中必一真一假（D）若命题p：，则： （5）已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线 交于
3、点A，若的面积为(O为原点)，则抛物线的准线方程为 （A） （B） （C） （D） （6）若的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线与曲线 围成的封闭区域的面积为 （A） （B）12 （C） （D）36（7） 如图，在边长为1的正三角形中，分别为边上的动点，且满足 ，其中，分别是的 中点，则的最小值为 （A） （B） （C） （D） （8）若定义在上的函数满足： 对任意的，都有，则称函数为 “H函数”. 给出下列函数： ； ； 其中函数是“H函数”的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 河北区20142015学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）第卷注意事项： 1
4、 答卷前将密封线内的项目填写清楚。2 用钢笔或圆珠笔答在答题纸上。3 本卷共12小题，共110分。题 号二三总 分（15）（16）（17）（18）（19）（20）分 数得 分评卷人二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.（9）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分(单位：分) 若甲运动员的中位数为，乙运动员的众数为，则的值是_ （第9题图） （第10题图） （10）某程序框图如图所示，则输出的S的值是_ （11） 如图，已知是圆的切线，是切点，直线交圆于两点，是 的中点，连接并延长交圆于点，若， 则 （第11题图） （第12题图） （1
5、2）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （13） 在以O为极点的极坐标系中，直线与圆 (为参数) 交于M，N两点，则线段MN的长度为_（14）已知函数， 对，使成立，则实数的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤得 分评卷人（15）（本小题满分13分） 已知函数，其中，若的最小正周期为 （）求函数的单调递增区间； （）在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围请将答案写在答题纸上得 分评卷人（16）（本小题满分13分） 现有4个学生去参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种回答问题，每个学生被要求用英语回答问题的概率均为 （
6、）求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；（）若分别表示用汉语，英语回答问题的人数，记，求随机变量的概率分布和数学期望请将答案写在答题纸上 得 分评卷人（17）（本小题满分13分） 如图，四棱锥的底面是菱形，是的 中点 （）若，求证：平面平面； （）设点在线段上，若，求证：平面； （）在（）的条件下，若平面平面，且，求二面角的大小 请将答案写在答题纸上 得 分评卷人（18）（本小题满分13分） 已知椭圆的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点 为顶点的三角形的周长为 （）求椭圆的标准方程； （）若直线过原点，直线与直线相交于点，且， 直线与椭圆交于两点，问是否存在这样的直线，使成立 若存在，
7、求出直线的方程；若不存在，请说明理由 请将答案写在答题纸上得 分评卷人（19）（本小题满分14分） 已知为数列的前项和，(nN*)，且 （）求的值； （）求数列的前项和； （）设数列满足，求证：请将答案写在答题纸上 得 分评卷人（20）（本小题满分14分） 设函数（）求函数的单调区间；（）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（）若方程有两个不相等的实数根，求证：请将答案写在答题纸上河北区20142015学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学 答 案（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案BBDCA CCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，
8、共30分（9）8 ； （10） ； （11）；（12）； （13）2 ； （14）3、 解答题：本大题共6小题，共80分（15）（本小题满分13分）解：（） 3分 ， 4分由 ， 6分得 7分 的单增区间为 8分 （）由正弦定理得， . ， 又， 10分 11分 13分（16）（本小题满分13分） 解：（）设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件， 则 4分 （）随机变量X的所有取值为0，2，4 5分 ， 随机变量X的分布列为：X024P 11分 13分（17）（本小题满分13分） 解: （）四边形为菱形， 为正三角形. 又为中点， 1分 ，为的中点， 2分 又，平面 . 3分 平面， 平
9、面平面 . 4分 （）连接交于点，连接， 由，可得， 又， . 6分 平面，平面， 平面 . 8分 （），为的中点， 又平面平面，平面平面， 平面 .9分 以为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴， z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 设平面的法向量， 又 取，得 .11分 又平面BQC的法向量， ， 二面角的大小为 .13分 （18）（本小题满分13分）解：（）由题意，得， 2分 椭圆的标准方程为 4分 （）法1：假设存在直线，使成立 设，且， 则直线的方程为，直线的方程为 （1）当时，此时直线的方程为，可得， 或，代入，不符题意； 5分 （2）当时，将直线的方程与椭圆方程联立， 又
10、，得 6分 ， 7分 又 ， 又 9分 又 y1y2， 10分 11分 这与矛盾 12分 综上可知，不存在这样的直线，使成立 13分 法2 ：假设存在直线，使成立 （1）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，可得， 或，代入， 不符题意； 5分 （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为 联立 得 6分 设 ， （） 7分 ， ，即 9分 即 将（）代入，化简可得 10分 又，即， 11分 不成立 12分 综上可知，不存在这样的直线，使成立 13分 （19）（本小题满分14分） 解：（）由和，可得 2分 （）法1：当时，由， 得， 即 6分 数列是首项，公差为6的等差数列 8分 9分 10分 法
11、2：当时，由 可得 8分 数列是首项，公差为3的等差数列 9分 ，即 10分 证明：（） 12分 ， 13分 命题得证 14分（20）（本小题满分14分）解：（）定义域为. 1分 由已知得， . 3分当时，函数在上单调递增， 函数的单调递增区间为； 当时，由，得；由，得， 4分函数的单调递减区间为，单调递增区间为 6分 （）由（）得，若函数有两个零点，则，且的最小值， 7分 即 令，显然在上为增函数， 且 存在，且 9分 ； 满足条件的最小正整数 又当时， 综上所述，满足条件的最小正整数 10分 （）证明：是方程的两个不相等的实数根，由（）知， 不妨设， 则. 两式相减得， 即 ， , 又当时，; 当时，故只要证即可，即证明 12分即证明，即证明设，令则， 在上是增函数 13分 又，当时，0总成立 原命题成立 14分- 26 -
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