【名校精品】高考数学浙江理科一轮【第八章】立体几何 专题六

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1、名校精品资料数学专题六高考中的圆锥曲线问题1 已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_.答案8解析由题意知(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|2a2a，又由a5，可得|AB|(|BF2|AF2|)20，即|AB|8.2 设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A. BpC2p D无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x，yp，|AB|min2p.3 已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A4 B6

2、 C8 D9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F(4,0)，于是由双曲线定义得|PF|PF|2a4，故|PF|PA|2a|PF|PA|4|AF|9，当且仅当A、P、F三点共线时等号成立4 在抛物线y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1) B(1,2)C(2,1) D(1,2)答案B解析如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D，故选

3、B.5 设坐标原点为O，抛物线y22x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于()A. BC3 D3答案B解析方法一(特殊值法)抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，1)，1.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2，y1y2p21.1.题型一圆锥曲线的弦长问题例1设椭圆ax2by21(a0，b0)与直线xy10相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程思维启迪利用OC的斜率和弦长分别寻求a，b的关系式，待定参数法求解椭圆方程解设A(x1，y1)、B(x2，y2)，C(xc

4、，yc)那么A、B的坐标是方程组的解由axby1，axby1，两式相减，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，因为1，所以，即，又，所以ba.再由方程组消去y得(ab)x22bxb10，由|AB|2，得(x1x2)24x1x24，即()244.由、解得a，b，故所求的椭圆的方程为1.思维升华(1)求解弦长问题要注意利用数形结合的思想方法(2)求弦长的思路：其一，当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点的坐标，设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，然后根据两点间的距离公式|P1P2|求得弦长；其二，当直线方程写成形如ykxb(kR)时，弦长公式可表示为|P1P2|x1x2|

5、y1y2|.如图，已知直线l：ykx2与抛物线C：x22py(p0)交于A、B两点，O为坐标原点，(4，12)(1)求直线l的方程和抛物线C的方程；(2)若抛物线上一动点P从A到B运动时，求ABP面积的最大值解(1)由，得x22pkx4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，12)，解得，故直线l的方程为y2x2，抛物线C的方程为x22y.(2)由，得x24x40，|AB|4.设P(t，t2)(22t22)，|AB|为定值，当点P到直线l的距离d最大时，ABP的面积最大而d，又22t0)

6、的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上(1)求曲线C的方程及t的值(2)记d，求d的最大值思维启迪(1)依条件，构建关于p，t的方程；(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值解(1)y22px(p0)的准线x，1()，p，抛物线C的方程为y2x.又点M(t,1)在曲线C上，t1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而nm，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k0)且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1y2

7、)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直线AB的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|AB| |y1y2|2d2m(1m)1，当且仅当m1m，即m时，上式等号成立，又m满足4m4m20.d的最大值为1.思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短

8、轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且2.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即，消y得，(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)8(2k24m2)由根与系数的关系知.又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)x12x2，x1x2x2，x1x22x，x1x22(x1x2)2，2(

9、)2，整理得(9m24)k282m2.又9m240时不成立，所以k20，得m20，所以m的取值范围为(2，)(，2)题型三圆锥曲线中的定点、定值问题例3(2012福建)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点思维启迪既然圆过y轴上的点，即满足0，对任意P、Q恒成立可待定M(0，y1)，也可给定特殊的P点，猜想M点坐标，再证明(1)解依题意，得|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012

10、.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明方法一由(1)知yx2.设P(x0，y0)，则x00，由判别式法可得l的方程为yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)方法二由(1)知yx2，设P(x0，y0)，则x00，且l的方程为yx0xx.由得所以Q为.取x02，此时P(2,1)，Q(

11、0，1)，以PQ为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点M1(0,1)或M2(0，1)；取x01，此时P，Q，以PQ为直径的圆为22，交y轴于点M3(0,1)、M4.故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)以下证明点M(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，所以2y022y022y020.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值已知椭圆1上的两个动点P、Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.求证：线段PQ的垂直

12、平分线经过一个定点A.证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由得.设线段PQ的中点N(1，n)，则kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A(，0)当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)题型四圆锥曲线中的探索性问题例4已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y204(1)求C1，C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M，N，且满足？

13、若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由思维启迪圆锥曲线中，这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答解(1)设抛物线C2：y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证四个点知(3，2)，(4，4)在C2上，易求得C2的标准方程为y24x.设椭圆C1：1(ab0)，把点(2,0)，(，)代入得，解得，所以C1的标准方程为y21.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与C1的交点为M(x1

14、，y1)，N(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21.由，即0，得x1x2y1y20.(*)将代入(*)式，得0，解得k2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2xy20或2xy20.思维升华(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解

15、探索性问题常用的方法已知定点C(1,0)及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆相交于A、B两点，在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解假设在x轴上存在点M(m,0)，使为常数，设A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，联立消去y，整理得(3k21)x26k2x3k250.则所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2m2m2m22m.从而有6m140，m，此时.当坐标AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标

16、分别为A(1，)、B(1，)，当m时，亦有.综上，在x轴上存在定点M(，0)，使为常数(时间：80分钟)1 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点(1)解由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24t

17、y4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0)2 已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标(1)证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由，得.设线段PQ的中点为N(1，

18、n)，kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A(，0)当x1x2时，线段PQ的垂直平分线也过定点A(，0)综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B(，0)2x12，2x22，x12x20,2，|PB|2(x1)2y(x11)2，当点P的坐标为(0，)时，|PB|min.3 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理

19、由解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且有解得b212，b23(舍去)从而a216.所以椭圆C的方程为1.(2)同方法一4 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(0,1)，过

20、抛物线上的异于顶点的不同两点A，B作抛物线的切线AC，BD，与y轴分别交于C，D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N.(1)求抛物线的标准方程；(2)判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解(1)设抛物线标准方程C：x22py(p0)，由焦点知p2，故所求方程为x24y.(2)设A(x1，)，B(x2，)，易知lAC：yx，lBD：yx，C(0，)，D(0，)，lAD：yx，lBC：yx.联立解得M(，)，联立解得N(，)，kMN0.即直线MN的斜率为定值，且为0.5 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m0，y10，y20，y20)，则1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理，点N的横坐标xN.所以|MN|xMxN|8.令4k3t，t0，则k.当t0时，|MN|2 2.当t0时，|MN|2 .综上所述，当t，即k时，|MN|的最小值是.