【最新教材】高一数学 人教版必修4：第三章 三角函数的图像的变换及应用 含解析

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1、新教材适用高中必修数学 重点列表：重点列表： 重点 名称 重要指数 重点 1 三角函数图像的认识与应用 重点 2 三角函数图像的变换 重点 3 函数yAsin(x)k的图象及其变换 重点详解：重点详解： 1 1用五点法画y yAsinAsin(xx)在一个周期内的简图 用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示. x x yAsin(x) 0 A 0 A 0 2.图象变换(0) 路径：先向左(0)或向右(0)或向右(0，0)上的一个最高点的坐标为8， 2 ，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点38，0 ，且2，2. (1)试求这条曲线的函数表达式； (2)用“五

2、点法”在图中画出(1)中函数在一个周期上的图象 (2)按五个关键点列表： 2x4 0 2 32 2 x 8 8 38 58 78 y 0 2 0 2 0 描点作图： 重点重点 2 2：三角函数图像的变换：三角函数图像的变换 【要点解读】 三角函数图象变换中应注意的问题 (1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向； (3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数yAsin x到yAsin(x)的变换量是|个单位，而函数yAsin x到yAsin(x)时，变换量是个单位 【

3、考向 1】图像的伸缩翻折 【例题】说明由函数ysinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象 (1)ysinx3； (2)ysin2x23 ； (3)y|sinx； (4)ysin| |x. 【评析】(1)本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换三角函数的图象变换，有两种选择一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出翻折变换要注意翻折的方向；(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换 【考向 2】图像的平移 【例题】为得到函数ycosx3的图象，只需将函数ysinx的图象( ) A向左平移6个单位长度 B向右平移6

4、个单位长度 C向左平移56个单位长度 D向右平移56个单位长度 解：ycosx3sin2x3sinx56 ，因此只需将ysinx的图象向左平移56 个单位长度故选 C C . . 重点重点 3 3：函数yAsin(x)k的图象及其变换 【要点解读】 关于三角函数的图象变换的方法 (1)平移变换 沿x轴平移：由yf(x)变为yf(x)时，“左加右减”，即0，左移；0，上移；k0，下移 (2)伸缩变换 沿x轴伸缩：由yf(x)变为yf(x)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|倍 沿y轴伸缩：由yf(x)变为yAf(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍 【考向 1】根据性质求参数 【

5、例题】 函数f(x)sin(2x)acos(2x)，其中a为正常数且 00A0， 0 0)的物理意义 简谐运动的图象所对应的函数解析式yAsin(x)，x0，)，其中A0，0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T ，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f1T 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x称为相位；x_时的相位称为初相 2 2 0 【考向 1】三角函数图像的翻折 【例题】画出函数y|cosx|的图象并

6、观察其周期. 【评析】利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法 【考向 2】三角函数参数的物理意义 【例题】弹簧挂着的小球作上下振动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h2sin(2t4)，t0，) (1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动的位置在哪里？ (3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？ (5)小球 1s 能振动多少次？ 解：(1)画出h2sin2t4的简图(长度为一个周期) 按五

7、个关键点列表： t 8 38 58 78 98 2t4 0 2 32 2 2sin2t4 0 2 0 2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h2sin2t4(t0)在一个周期的简图，如图所示 (2)t0 时，h2sin4 2，即小球开始振动时的位置为(0， 2)(平衡位置的下方 2cm 处) 难点难点 2 2：三角函数的实际应用：三角函数的实际应用 【要点解读】 【考向 1】三角函数的实际应用 【例题】受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的深度y(米)是时间t(0t24，单位：时)的函数，记作yf(t)下面是

8、该港口在某季节每天水深的数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)根据以上数据，求出函数yf(t)的近似表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为 6.5 米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)? 【评析】(1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象出数学问题(求解析式、解不等式)，从而得出船在港

9、内最多停留的时间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解析式 【考向 2】拟合性问题 【例题】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24，单位：时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试画出散点图； (2)观察散点图，从yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如

10、果确定在白天 7 时19 时当浪高不低于 0.8 米时才进行训练，试安排恰当的训练时间 解：(1) 【趁热打铁】【趁热打铁】 1 1为了得到函数ysin(2x3)的图象，只需把函数ysin2x6的图象( ) A向左平移4个长度单位 B向右平移4个长度单位 C向左平移2个长度单位 D向右平移2个长度单位 2 2将函数f( )xsinx(其中0)的图象向右平移4个单位长度，所得图象经过点34，0 ，则的最小值是( ) A13 B1 C53 D2 3 3已知函数ysin(x)0，|2的部分图象如图所示，则( ) A1，6 B1，6 C2，6 D2，6 4 4将函数ysinx的图象上所有的点向右平行移

11、动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) Aysin2x10 Bysin2x5 Cysin12x10 Dysin12x20 5 5将函数ysinx的图象向左平移(00，0)在闭区间，0上的图象如图所示，则_ 8 8函数ycos(2x)()的图象向右平移2个单位后，与函数ysin2x3的图象重合，则_. 9 9已知，如图表示电流强度I与时间t的关系IAsin(t)(t0，22)的图象 (1)试根据图象写出IAsin(t)的解析式； (2)为了使IAsin(t)中t在任意一段1100秒的时间内电流强度I能同时取得最大值| |A与最小值-

12、| |A，那么正整数的最小值是多少？ 1010已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：时)的函数，记作：yf(t)，下表是某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcostb. (1)根据以上数据，求函数yAcostb的最小正周期T，振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 8：00 至 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

13、 第三章第三章 1 解：ysin2x3sin2x124， 只需将函数ysin2x6sin2x12的图象向右平移4个长度单位，即可得到函数ysin2x3的图象故选 B B. . 2 解：函数f( )x的图象向右平移4个单位长度得函数g(x)fx4sinx4的图象，由于此时函数g(x)过点34，0 ，所以g34sin344sin20，即2k，2k，kZ Z. 0，的最小值为 2.故选 D D. . 3 解：依题意得T247123，2，sin23sin231，故232k2，2k6，kZ Z.又|2，因此6，故选 D D. . 5 解：由题意得 sin(x)sinx6， xx62k，即62k，kZ Z.又 01 时才可对冲浪者开放， 12cos6t11，cos6t0. 2k26t2k2，kZ Z， 即 12k3t12k3，kZ Z. 0t24，故可令中k分别为 0，1，2， 得 0t3 或 9t15 或 21t24. 在规定的 8：00 至 20：00 之间，有 6 个小时的时间可供冲浪运动，即 9：00 至 15：00.