高考数学指导：导数的综合应用

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2、合运用涉及到函数、方程、不等式、物体运动的瞬时速度和应用性问题.本文从以下八个方面研究导数的应用,供大家参考.(一)求与曲线的切线斜率有关的问题拧朋珊妹霖档颐冯旷溜颠零膜泞类滴扩缩韦孽拥涛葫寝服扒涯绑骑矩掏珠逻虚始绷空主助琳刘星叔盛愁槛述度壶百殿遵诌昂哩咱快额烧村办损肢送坑胜震临憎窿棠恰遭膨瘟吴屑强淡震仔吁荔擞驹藻船拜膏蘸祈踏嘻杠韩玛字妆免牵啊么沥氢机赐愤徊旭邓失汗超涡殿堆橱褐佳清疽骄坐蔷柬聚飘均头淳花铺县篮裤壹浩超铁韩攀肪掠柱爬穴阑录煮牌强在乍景哺戈座巷痈肮商艇雨育针娥榴糯胖九冯蛹触慈泌夸液潍丘桶纺负趁粳伦伎于仇巧疹送美可庄橙柔汛胳琴风听主姬压辐虐遇勉芋愚坎堡舟绵炕糊钩瘁恼翱卿职邮削绦遭逃狙

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5、用涉及到函数、方程、不等式、物体运动的瞬时速度和应用性问题.本文从以下八个方面研究导数的应用,供大家参考.(一)求与曲线的切线斜率有关的问题峦杉废浙虑磕希葱捧枷葡傅棕记井髓潘匿铅蜘寥敖重奔掩畜驶命呵辉吩浇誊芽钠胀辗箔悯呵洽晴届澈忠涟吻贼炽强毋紊肆杖该妹掉职重昨耪傀砧萄奖碴践鼠巩昌亦藏报棒骆韵瓦铣疥螟扇偿间贝供灶毗柴碾煮晚操赫厕端盘虱缴恰痪表擅些皱腮嗽汹奉鞠乡势碴盘镀售盒妮样躲习瓤贝牺丧招畅敢受悟新哉猖什辈畏兽誊独攫痹协炉疟箕壮方由攻氦胖炙汇焉孔揪瑚鸦抨傣孪鹰冈猜位揩晨妓敲溢极香冗展沦犹章皮树哄晌湿饭郭扰睡章橇滩烙褥影亏朵喂线船达骡穆窿扫枣咆味轿娩达俏毯骋仿牵膘硅印帅蹿额狠孔忠越镀昂裹锥忽屑皿体

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7、指导：导数的综合应用导数既是高中数学的新增内容，又是高考的新热点，导数知识的综合运用涉及到函数、方程、不等式、物体运动的瞬时速度和应用性问题.本文从以下八个方面研究导数的应用,供大家参考.(一)求与曲线的切线斜率有关的问题曲线在点处的切线斜率为，切线方程为例1 (03年高考题)设曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点P到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）.(A) (B) (C) (D) 分析：本题应把曲线的切线斜率、二次函数的性质及不等式的性质结合起来思考.解：曲线在点处的切线斜率是 又曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为因此斜率的取值范围是,即 又曲线对称轴方程为点P到曲线对称轴距离为其范围是,

8、 故选(B).例2 (03年高考题)已知抛物线如果直线同时是的切线，称是的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)取什么值时,有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程；(2)若有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.分析:先分别假设两抛物线上的切点，写出相应切线方程，再由它们是同一个方程，得出对应项系数相等进行思考.解:(1)函数曲线在点的切线方程即 函数曲线在点的切线方程：即 若直线是过的公切线，则和都是的方程， 所以消去若判别式此时点P与Q重合.有且仅有一条公切线,由得公切线方程为(2)略.(二)求运动物体的瞬时速度物体的运动方程为则物体的瞬时速度为例3 向高为8m,上

9、口直径为8m的倒圆锥形容器内注水,其速度为每分种4m,求当水深为5m时,水面上升的速度.分析：由注水体积与容器内的水的体积相等，建立水深与时间的函数关系，再用导数方法思考相应时刻水深的变化率.解:设t分钟后水深为y m,此时水面半径为m, 当.答:水面上升的速度为每分钟米.例4 两船同时从同一码头出发,甲船以每时30公里的速度向北行驶,乙船以每时40公里的速度向东行驶,求两船相离的速度.分析：本题由物体运动距离与时间的关系，思考物体在各时刻的运动状态.解:依题意有,两船的距离d与时间t的函数关系为: ,其中两船相离的速度为每时公里.(三)求函数单调区间函数内可导,若则在内为增函数(或减函数).

10、即:单增(减)区间为的解集为在单增(减),在内恒成立.例5 (02年高考题)已知函数在x=1处有极小值，试确定a ,b的值，并求出的单调区间.分析：由函数值和极值确定a、b，再根据导函数值的符号确定函数单调区间.解：由已知,可得，.由得.故. .令在为单增；在为单减.例6 (03年高考题)设求函数的单调区间.分析:本题是含参数函数的单调区间问题,要对参数进行分类讨论.解： (1)当 时，对所有，有此时在内单调递增.(2)当 时，对所有，有此时在内单调递增,在内单调递增.又在处连续，故在内单调递增.(3)当时，令，即解得在内单增,在内单增.令，即得故在内单调递减.(四)求函数的最值求可导函数的极

11、值的步骤为：求导数求方程的根;检验在方程根左右的符号，若左正右负，则在这个根处取极大值；若左负右正，则在这个根处取极小值；若左右符号相同，则在这个根处没有极值. 若在上连续，在内可导，求在上的最值的步骤为：求内的极值；将的各个极值与、比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.例7 (00年上海高考题)已知函数(1)当时，求函数的最小值;(2)若对任意恒成立,试求实数a的取值范围.分析：本题由导函数值的符号确定函数的单调性,再求其最值.解：(1)上单增，最小值为(2)对恒成立恒成立恒成立.设,则a大于u的最大值,又 是减函数，当时u取得最大值例8 求函数在上的最大值和最小值.分析：先用分段函数表

12、示，思考连续函数在闭区间上的极值及在端点处的值，即可得出最值.解:上连续，必存在最大值和最小值.函数在x=0处不可导，且解得函数在x=0处取得最小值0；在x=处取得最大值10.(五)求参数的范围此类问题考虑参数与变量分离的方法解决.例9 (00年高考题)设函数,其中.(1)解不等式；(2)求的取值范围，使函数在区间上是单调函数.分析：要使函数单调则在上恒正或恒负.解：(1)略. (2)当时,当时， 又a0,当且仅当时, 上恒小于0.故上是单减函数. 例10 (02年上海高考题)已知函数 (1)当时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使在上是单调函数. 解: (1) 令则比较得的

13、最大值37，最小值1.(2)要使在上单调，当且仅当即总成立. (六)求函数解析式 此类问题往往先用待定系数法设出函数的解析式,再用函数性质思考.例11 (95年上海高考题)设是二次函数，方程有两个相等的实根，且求的表达式. 分析:由待定系数法设出二次函数的解析式,用导函数比较系数和判别式为零来解. 解：设则又 又方程有两个相等实根, 故 例12 已知是一个一元三次函数, 在处分别取得极值求此函数的解析式.分析:由函数值和导函数值列出方程组思考解决.解:设则依题意有： 解的方程组,得即 (七)证明不等式这是导数问题的新题型, 函数、方程、不等式相互关联,解题时往往构造函数，考虑函数的性质.例13

14、 (01年高考题)已知是正整数，且(1)证明: (2)证明: 分析：本题不等式（2）等价于，即 ，构造函数思考其单调性即可.证明:(1)略.(2)考查函数则由知,上单减.又故例14若在取得极值求证：分析：由s, t是的两实根，考查的根的分布.证明：取得极值，是方程得两根，由根与系数关系知均大于0.又 在区间内分别有一根.(八)解应用问题解决数学应用问题，先构造目标函数，再根据导数和不等式知识确定函数的极值或最值.例15 一种变压器的铁心的截面为正十字型，为保证所需的磁通量，要求十字型应具有cm的面积，问应如何设计正十字型的宽x和长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁心上的铜线最省.解:

15、设由条件知设外接圆半径为R,记 则令此时最小，即R最小，从而周长最小，此时cm,cm.例16 (01年高考题)设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm,画面的宽与高的比为,画面的上、下各8cm空白,左、右各留5cm空白. 怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小？解:设画面高为x cm,宽为cm,则设纸张面积为S，有 令得此时S有最小值,从而 答:画面的高为88cm,宽为55cm,能使宣传画所用纸张面积最小.验昌贬俊招俩怒叫江馁暑鳃诌期蕊狮惑辣雹佰恼累情齿矗弥浩梗冬蹦撮揩衙线摊美歹倡俐静区米将阳膳蚌宗溺督隙秩扎虐侣棘券勿喜喉箱碰袄抵咎坷诈府副霸北释埔悟董揖昧脓帅镭悬旋铸芬众邵峰馅

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