【最新教材】高中数学北师大版必修四教学案：第二章 167;6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含答案

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1、新教材适用北师大版数学 核心必知 1向量数量积的坐标表示 设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1x2y1y2 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和 2度量公式 (1)长度公式：设a a(x，y)，则|a a|x2y2 (2)夹角公式： 设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a与b b的夹角为， 则 cos x1x2y1y2x21y21x22y22 3两向量垂直的坐标表示 设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 a ab ba ab b0 x1x2y1y20 4直线的方向向量 给定斜率为k的直线l，则向量m m(1，k)与直线l共线，把与直线l共

2、线的非零向量m m称为直线l的方向向量 问题思考 1由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？ 提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB(x2x1，y2y1)，由向量长度的坐标表示可得 |AB|AB|x2x12y2y12. 2坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别？ 提示：设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则： a ab bx1x2y1y20，即“相应坐标相乘和为 0”； a ab bx1y2x2y10，即“坐标交叉相乘差为 0” 3直线l的方向向量唯一吗？ 提示：直线l的方向向量即是与l平行的向量，意指表示该向量的有向线段所在的直线与l平行或重合，所以

3、直线l的方向向量不唯一(有无数个)，但它们都是共线向量 讲一讲 1已知向量a a(4，2)，b b(6，3)，求： (1)(2a a3b b)(a a2b b)； (2)(a ab b)2. 尝试解答 法一：(1)2a a3b b(8，4)(18，9)(10，5)， a a2b b(4，2)(12，6)(16，8)， (2a a3b b)(a a2b b)16040200. (2)a ab b(10，5) (a ab b)2(10，5)(10，5)10025125. 法二：由已知可得：a a220，b b245，a ab b30 (1)(2a a3b b)(a a2b b)2a a2a ab

4、b6b b2 22030645200. (2)(a ab b)2a a22a ab bb b2206045125. 进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径： (1)根据向量数量积的坐标表示直接运算； (2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算 练一练 1已知a a(2，1)，b b(1，3)，向量c c满足a ac c4，b bc c9. (1)求向量c c的坐标； (2)求(a ab b)c c的值 解：(1)设c c(x，y)， 由a ac c4，b bc c9，得，2xy4，x3y9. 解得x3，y2. c c(3，2) (2)法一：a a

5、b b(2，1)(1，3)(1，4)， (a ab b)c c(1，4)(3，2) 134(2) 5. 法二：(a ab b)c c a ac cb bc c (2，1)(3，2)(1，3)(3，2) 231(2)(1)33(2) 5. 讲一讲 2已知a a(1，2)，b b(2，4)，|c c| 5. (1)求|a a2b b|； (2)若(a ab b)c c52，求向量a a与c c的夹角 尝试解答 (1)a a2b b(1，2)2(2，4)(3，6) |a a2b b| （3）2（6）23 5. (2)b b(2，4)2(1，2)2a a a ab ba a， (a ab b)c ca

6、 ac c52 设a a与c c的夹角为， 则 cos a ac c|a a|c c|525 512 0，23 即a a与c c的夹角为23. 1已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a a|x2y2进行计算 2求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为： (1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积； (2)再求出两向量的模； (3)由公式 cos a ab b|a a|b b|计算 cos 的值； (4)在0，内，由 cos 的值确定角. 练一练 2已知向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，e e(0，1)，若a ab b，|a ab b|2，且a ab

7、 b与e e的夹角为3，则x1x2( ) A2 B 3 C 2 D1 解析：选 B a ab b(x1x2，y1y2) (a ab b)e e(x1x2)0(y1y2)1y1y2. |a ab b|2，|e e|1，a ab b与e e的夹角为3， cos 3（a ab b）e e|a ab b|e e|y1y2212，y1y21， 又由|a ab b|2 知，(x1x2)2(y1y2)24， (x1x2)23.x1x2 3. 讲一讲 3已知a a( 3，1)，b b12，32. (1)求证：a ab b； (2)是否存在实数k，使x xa a2b b，y yka ab b，且x xy y，若

8、存在，求k的值；不存在，请说明理由 尝试解答 (1)证明：a ab b 312(1)320. a ab b. (2)x x( 3，1)212，32()31，1 3 ， y yk( 3，1)12，3212 3k，k32. 假设存在k使x xy y， x xy y( 31)12 3k(1 3)k32化简得：4k20 k12即存在k12，使x xy y. 两向量互相垂直，则其数量积为零，反之也成立，因此： (1)判断两个向量是否垂直，只需考察其数量积是否为 0； (2)若两向量垂直，则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程，进而求解 练一练 3 (安徽高考)设向量a a(1， 2m)，b b(m1

9、， 1)，c c(2，m) 若(a ac c)b b， 则|a|a|_ 解析：a ac c(3，3m)，由(a ac c)b b，可得(a ac c)b b0，即 3(m1)3m0，解得m12，则a a(1，1)，故|a a| 2. 答案： 2 已知向量a a(2，1)，b b(t，1)且向量a a与b b的夹角为钝角，求实数t的取值范围 错解 设向量a a与b b的夹角为，则为钝角， cos a ab b|a a|b b|0，a ab b0. a ab b(2，1)(t，1)2t112. 故t的取值范围是(12，) 错因 错解在于误认为为钝角等价于a ab b0，实际上，a ab b0 包含

10、两向量反向共线的情况，即的情况，无疑扩大夹角的取值范围 正解 设向量a a与b b的夹角为， 为钝角2. cos a ab b|a a|b b|0， a ab b0，即(2，1)(t，1)2t112. 当a ab b时，21(1)t0，得t2， 这时b b(2，1)a a，b b与a a反向 即当t2 时，不合题意 故t的取值范围为(12，2)(2，) 1向量i i(1，0)，j j(0，1)，下列向量中与向是 3i ij j垂直的是( ) A2i i2 3j j Bi i 3j j C2i i 3j j Di i 3j j 解析：选 B 可知 3i ij j( 3，1)，逐项考察知， ( 3

11、i ij j)(i i 3j j)( 3，1)(1， 3) 3 30. i i 3j j与 3i ij j垂直 2已知向量a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，则m( ) A8 B6 C6 D8 解析：选 D 法一：因为a a(1，m)，b b(3，2)， 所以a ab b(4，m2) 因为(a ab b)b b， 所以(a ab b)b b0， 所以 122(m2)0，解得m8. 法二：因为(a ab b)b b，所以(a ab b)b b0，即a ab bb b232m32(2)2162m0，解得m8. 3(重庆高考)设x，yR R，向量a a(x，1)，b b(1

12、，y)，c c(2，4)且a ac c，b bc c，则|a ab b|( ) A. 5 B2 10 C2 5 D10 解析：选 B 因为a ac c，b bc c，所以有 2x40 且 2x40，解得x2，y2， 即a a(2，1)，b b(1，2)所以a ab b(3，1)，|a ab b| 10. 4经过点A(1，0)且方向向量与d d(2，1)垂直的直线方程为_ 解析：设直线的方向向量为m m(1，k)， 由m md d得 2k0. 直线的斜率k2，故所求直线的方程为y2(x1) 即 2xy20. 答案：2xy20 5设向量a a，b b的夹角为，且a a(5，5)，2b ba a(1

13、，1)，则 cos _ 解析：a a(5，5)，2b b(5，5)(1，1)(4，6)即b b(2，3) 又|a a|5 2，|b b| 13，且a ab b(5，5)(2，3)25. cos a ab b|a a|b b|255 2 135 2626. 答案：5 2626 6已知向量a a(1，2)，b b(2，2)， (1)设c c4a ab b，求(b bc c)a a； (2)若a ab b与a a垂直，求的值； (3)求向量a a在b b方向上的射影 解：(1)c c4(1，2)(2，2)(6，6)， b bc c(2，2)(6，6)26260， (b bc c)a a0a a0 0

14、. (2)a ab b(1，2)(2，2)(12，22)， (a ab b)a a (12)2(22)0， 得52. (3)法一：设a a与b b的夹角为， 则 cos a ab b|a a|b b|122（2）1222 22（2）21010. 向量a a在b b方向上的投影为 |a a|cos 1222(1010)22. 法二：a ab b(1，2)(2，2)2，|b b|2 2. 向量a a在b b方向上的投影为 |a a|cos a ab b|b b|22 222. 一、选择题 1若向量a a(1，2)，b b(1，1)，则 2a ab b与a ab b的夹角等于( ) A4 B.6 C

15、.4 D.34 解析：选 C 因为 2a ab b(2，4)(1，1)(3，3)， a ab b(0，3)， 所以|2a ab b|3 2，|a ab b|3. 设 2a ab b与a ab b的夹角为， 则 cos （2a ab b）（a ab b）|2a ab b|a ab b|（3，3）（0，3）3 2322， 又0， 所以4. 2已知向量a a(3，4)，b b(2，1)，如果向量a axb b与b b垂直，则x的值为( ) A25 B.233 C.323 D2 解析：选 A a axb b(3，4)x(2，1)(32x，4x)， b b(2，1)，且(a axb b)(b b)， 2

16、(32x)(4x)0，得x25. 3已知向量a a(2，1)，a ab b10，|a ab b|5 2，则|b b|( ) A. 5 B. 10 C5 D25 解析：选 C 法一：设b b(x，y)， 则a ab b2xy10 ， 又a ab b(x2，y1)，|a ab b|5 2， (x2)2(y1)250 与联立得x3，y4，或x5，y0. |b b|x2y25. 法二：由|a ab b|5 2得a a22a ab bb b250， 即 520b b250 b b225|b b|5. 4已知AB(4,2)，AC(k，2)，若ABC为直角三角形，则k等于( ) A1 B6 C1 或 6 D

17、1 或 2 或 6 解析：选 C 当A90时，ACAB，则 4k40，k1； 当B90时，ABBC，又BCACAB(k4，4) 4(k4)2(4)0 解得k6； 当C90时，ACBC，则k(k4)(2)(4)0 即k24k80，无解 故k1 或 6. 二、填空题 5 (安徽高考)设向量a a(1， 2m)，b b(m1， 1)，c c(2，m) 若(a ac c)b b， 则|a a|_ 解析：由题意知，a ac c(3，3m)， (a ac c)b b3(m1)3m0，解得m12， 即a a(1，1)，|a a| 12（1）2 2. 答案： 2 6(新课标全国卷)已知两个单位向量a a，b

18、b的夹角为 60，c cta a(1t)b b.若b bc c0，则t_ 解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力根据数量积bcbc0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中因为向量a a，b b为单位向量，所以b b21，又向量a a，b b的夹角为 60，所以abab12，由bcbc0 得b bta a(1t)b b0，即tabab(1t)b b20，所以12t(1t)0，所以t2. 答案：2 7 已知向量a a(1， 2)，b b(2， 3) 若向量c c满足(c ca a)b b，c c(a ab b)， 则c c_ 解析：本题主要考查向量的基本知识及运算由

19、题意，将b bc cta a(1t)b bb b整理，得ta ab b(1t)0，又a ab b12，所以t2. 答案：2 7 已知向量a a(1， 2)，b b(2， 3) 若向量c c满足(c ca a)b b，c c(a ab b)， 则c c_ 解析：设c c(x，y)，则c ca a(x1，y2) 又(c ca a)b b， 2(y2)3(x1)0. 又c c(a ab b)， (x，y)(3，1)3xy0. 解得x79，y73. 答案：79，73 8已知a a(1，3)，b b(1，1)，c ca ab b，若a a和c c的夹角是锐角，则的取值范围是_ 解析：由条件得，c c(1

20、，3)，从而 a ac c13（3）0，1133， 52，0 (0，) 答案：52，0 (0，) 三、解答题 9已知向量a a是以点A(3，1)为始点，且与向量b b(3，4)垂直的单位向量，求a a的终点坐标 解：b b是直线y43x的方向向量，且a ab b. a a是直线y34x的方向向量 可设a a(1，34)(，34) 由|a a|1， 得291621. 解得45， a a(45，35)或a a(45，35) 设a a的终点坐标为(x，y) 则x345，y135，或x345，y135. 即x195，y25，或x115，y85. a a的终点坐标是(195，25)或(115，85) 10已知ABC中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC边上的高为AD. (1)求证：ABAC； (2)求点D和向量AD的坐标； (3)设ABC，求 cos . 5(x1)5(y2)， 由解得x72，y52， 故D点坐标为(72，52)，