【最新教材】北师大版数学必修四：弧制导学案含解析

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1、新教材适用北师大版数学第2课时弧 度 制1.了解弧度制的概念及其意义,会将角度制与弧度制互相转化.2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题.3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系.自行车大链轮有48个齿,小链轮有20个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是多少度?多少弧度?问题1:弧度制的定义以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1 rad.问题2:角度与弧度之间的转换将角度化为弧度:360=,180=,1=1800.01745 rad,n= rad.将弧度化为角度:2=,=,1 rad=(180)57.30=

2、5718,n rad=().问题3:弧度制下终边相同的角的表示(1)与任意角终边相同的角组成的集合为,其中为角的弧度数.(2)用弧度制表示角省掉单位“弧度”后,就使角的集合与实数集R之间建立了一种的关系,即每一个角都有的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有的一个角与之对应.(3)在表示与角终边相同的角时,要注意统一单位,应避免出现30+2k或6+k360,即同一表达式中度量单位要.问题4:弧长公式及扇形的面积公式 (1)弧长公式:弧度制:;角度制:.(2)扇形的面积公式:弧度制:;角度制:.上述公式中,由、r、l、S中的两个量可以求出另外两个量,即知二得二;使用弧度制下的弧长公式有很多优

3、越性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是以“度”为单位时,则必须先把它化成弧度后再用公式计算.1.225角的弧度数为().A.4 B.34 C.54 D.742.若一扇形的圆心角为72,半径为20 cm,则扇形的面积为().A.40 cm2B.80 cm2C.40 cm2D.80 cm23.半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角是.4.两角差为1,两角和为1 rad,求这两角的弧度数.角度与弧度的互化(1)把2230化成弧度;(2)把18化成角度. 用弧度表示终边相同的角(1)将-1485表示成2k+(kZ)的形式,且00),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?设角1=-570,

4、2=750,1=45,2=-74.(1)将1、2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;(2)将1、2用角度制表示出来,并在-7200之间找出与它们有相同终边的所有角.单位圆上一点A(1,0)依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点A每分钟转过角(0),经过2分钟到达第三象限,经过14分钟回到原来的位置,那么是多少弧度?(1)已知扇形的圆心角是=120,弦长AB=12 cm,求弧长l.(2)已知扇形的圆心角为90,弧长为l,求此扇形内切圆的面积.1.圆的半径是6 cm,则圆心角为15的扇形面积是().A.2 cm2B.32 cm2C. cm2D.3 cm22.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针

5、运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为().3.已知2k+232k+56(kZ),则2为第象限角.4.若2弧度的圆心角所对的弦长为2 cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是多少?设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是.考题变式(我来改编):第2课时弧 度 制知识体系梳理问题2:2 n180360180180n问题3:(1)S=|=+2k,kZ(2)一一对应唯一唯一(3)统一问题4:(1)l=|rl=|n|r180(2)S=12lr=12|r2S=|n|r2360基础学习交流1.C因为1=180 rad,所以22

6、5=225180=54.2.B72=25,S扇形=12|R2=1225202=80(cm2).3.2 rad=lr=42=2(rad).4.解:设两角分别为、,则有-=180,+=1,解得=12+360,=12-360.重点难点探究探究一:【解析】(1)2230=22.5=22.5180=8 rad.(2)18 rad=18(180)=(18018)=10.【小结】弧度制与角度制的互化应熟悉其互化规则.在利用弧度制表示角时,“弧度”或“rad”可省略不写.探究二:【解析】(1)1485=1485180=334=8+4,-1485=-8-4=-10+74.(2)与的终边相同,=2k+=74+2k

7、(kZ).又0,4,1=74,2=74+2=154.【小结】在将角度化成弧度的过程中,要注意负角应怎么化,这里容易忽略0,4这个条件.探究三:【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,=60=3,R=10,l=103(cm),S弓=S扇-S=1210310-121010sin 60=50(3-32)(cm2).(2)由已知得2R+l=c,R=c-l2(lc),S=12Rl=12c-l2l=14(cl-l2)=-14(l-c2)2+c216,当l=c2时,Smax=c216,此时=lR=c2c-c22=2,当扇形的圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值c216.【小结】本题是弧度制下弧长公式和扇形面

8、积公式的应用,公式简明,运算非常简便.思维拓展应用应用一:(1)180= rad,-570=-570180=-196,1=-196=-22+56.同理,2=22+6.1是第二象限角,2是第一象限角.(2)1=45=45(180)=144,设=k360+1(kZ),由-7200得,-720k360+1440, k=-1或k=-2,在-7200之间与1有相同终边的角是-216,-576.同理,2=-74(180)=-315,且在-7200之间与2有相同终边的角是-315和-675.应用二:【解析】0,022,又2在第三象限,232,又14=2k,kZ,2=27k,kZ.当k=4,5时,2=87,1

9、07,它们都在(,32)内,因此=47 rad或=57 rad.应用三:(1)设扇形的半径为R cm,如图.由sin 60=6R,得R=43 cm.所以l=|R=2343=833(cm).(2)设扇形的半径为R,其内接圆的半径为r,则有l=R2,2r+r=R,于是r=2l(2-1).故内切圆的面积S=r2=2l(2-1)2=12-82l2.基础智能检测1.B15=12,l=126=2,S=12lr=1226=32(cm2).2.CP0(2,-2),P0Ox=4,按逆时针转时间t后得,POP0=t,POx=t-4,此时点P的纵坐标为2sin(t-4),d=2|sin(t-4)|.当t=0时,d=2,排除A、D;当t=4时,d=0,排除B,故选C.3.一或三4.解:由弧长公式l=|r可知,r=l|=22=1 cm,故圆心角所夹的扇形的面积为S=12lr=1221=1(cm2).全新视角拓展2由题意得S=12(8-2r)r=4,整理得r2-4r+4=0,解得r=2.又l=4,故|=lr=2(rad).思维导图构建所对的圆心角12|r2