【最新教材】高中人教a版数学选修11课时作业：34生活中的优化问题举例 word版含答案

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1、新教材适用高中选修数学课时作业(八)一、选择题1将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则应分为()A2和6B4和4C3和5D以上都不对解析：设一个数为x，则另一个数为(8x)，则其立方和yx3(8x)383192x24x2且0x8，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40，所以当x4时，y最小答案：B2一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2()(0x60)，则当箱子的容积最大时，x的值为()A30 B40 C50 D60解析：V(x)x330x2，V(x)x260x，令V(x)0，得x40(x0舍去)，且当0x0，当40x60时V(x)0，故V(x

2、)在x40时取得最大值答案：B3某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2.最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元 C28 000元 D23 000元解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)PQ20QQ(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30，或P130(舍去)此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价

3、定为每件30元时，最大毛利润为23 000元答案：D4设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B. C. D2解析：设正三棱柱的底面边长为x，高为h，则Vx2h，S2x23xhx2.当Sx0得，x.当0x时，S时，S0，x时，S最小答案：C5某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,4.8%)，则使银行获得最大收益的存款利率为()A3.2% B2.4% C4% D3.6%解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，

4、银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，故y0.096kx3kx2.令y0，解得x0.032或x0(舍去)当0x0；当0.032x0.048时，y0；当5x12时，g(x)0，当x5时，g(x)maxg(5)3 125(元)综上，5月份的月利润最大是3 125元答案：B7横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.d，d B.d，dC.d，d D.d，d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大

5、y2d2x2，xy2x(d2x2)(0xd)令f(x)x(d2x2)(0xd)，求导数，得f(x)d23x2.令f(x)0，解得xd，或xd(舍去)当0x0；当dxd时，f(x)0，因此，当xd时，f(x)取得极大值，也是最大值综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大答案：C8在半径为r的半圆内有一内接梯形，其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，该梯形的上底长为()A. B.r C.r Dr解析：设梯形的上底长为2x(0x0；当xr时，S0.当x时，S取极大值，也就是最大值当梯形的上底长为r时，它的面积最大答案：D二、填空题9某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以

6、每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大解析：利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000(30x200)，S(x)2x230，由S(x)0得x115，当30x0；当115x200时，S(x)0.设总利润为y万元，则yx1 200x3500x31 200.求导数得，yx2.令y0得x25.故当x0；当x25时，y0.因此当x25时，函数y取得极大值，也是最大值答案：2512某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元

7、那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：依题意可设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中x是仓库到车站的距离于是由2，得k120；由810k2，得k2.因此两项费用之和为y，y，令y0得x5(x5舍去)，此点即为最小值点故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小答案：5三、解答题13现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度

8、x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：(1)依题意得y(9600.6x2)300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35，即y300x(0x35)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x40，或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值点又当0x35时，y0，所以y300x在(0,35上单调递减，故当x35时，函数y300x取得最小值故为了使全程运输成本最低，轮船应以35海里/时的速度行驶14某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t

9、5)，现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)为使该公司由此获得的收益最大，求x的值解：设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)，则有g(x)(x3x23x)(3x)25(3x)3(0x3)，即g(x)x34x3(0x3)，g(x)x24，令g(x)0得x2(舍去)或x2，又当0x0；当2x3时，g(x)0，g(x)在0,2上是增函数，在(2,3上是减函数，当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，该公司收益最大15用长为9

10、0 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3.则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)(0x24)令V(x)0，得x110，x236(舍去)当0x0，V(x)是增函数；当10x24时，V(x)0，V(x)是减函数因此，在定义域(0,24)内，只有当x10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V

11、(10)10(9020)(4820)19 600(cm3)故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.拓展延伸16某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6；f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4或x6(舍去)函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x4时函数f(x)取得最大值f(4)42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元