平面向量完全复习与经典例题

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1、北京大学裁育学院肆略合作伙弊精锐教育学科教师辅导讲义哈佛北大捕英創立北京大学裁育学院肆略合作伙弊哈佛北大捕英創立北京大学裁育学院肆略合作伙弊学员编号:学员姓名:辅导科目：数 学课时数：3课时学科教师：哈佛北大捕英創立北京大学裁育学院肆略合作伙弊哈佛北大捕英創立北京大学裁育学院肆略合作伙弊【知识梳理】、平面向量的概念1. 向量的概念：我们把具有大小和方向的量称为向量.2. 向量的表示: 几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度. 字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后.3. 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量.4. 向量共线或平

2、行：通过有向线段AB的直线，叫做向量 AB的基线.如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.向量a平呻呻呻行于向量b，记作a / b .说明：共线向量的方向相同或相反，注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同.I5. 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量.记作：0 .零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行.呻 呻呻6. 单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量.授课类型C （专题方法主题）-平面向量授课日 期时段2014年5月11日教学内容如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知ao或T逐Hal a7

3、. 用向量表示点的位置：任给一定点o和向量a，过点o作有向线段oa二a，则点a相对于点O位置被向量a所唯一确定，这时向量 OA又常叫做点A相对于点O的位置向量.二、向量的线性运算1. 向量的加法：Ca(1)(2)B向量加法的三角形法则:已知向量a,b，在平面上任取一点 A，作 忒 a, Be =b，再作向量AC，则向量a和b的和(或和向量)，记作a b，即a AB B AC . 向量求和的平行四边形法则：已知两个不共线的向量呻-j呻b，作AB =a , AD =b，贝U A , B , D三点不共线,AC叫做以AB ,AD为邻边作平行四边形 ABCD ,则对角线上的向量 AC =a b ,这个

4、法则叫做向量求和 的平行四边形法则.向量的运算性质：4H 呻向量加法的交换律：a，b=b a444向量加法的结合律：(a b) a (b c)关于 0 : a O=O a=a(3)向量求和的多边形法则：已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点， 第n个向量的终点为终点的向量叫做这 n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.ri精锐1对1哈佛北大捕英創立北京大学敎育学院肆略合作伙牌2. 向量的减法:dA哈佛北大fit英創立北京大学敎育学院肆略合作伙牌哈佛北大fit英創立北京大学敎育学院肆略合作伙牌(1) 相反向量：与向量 a方向相反且等长的向量叫做 a的相反向量

5、，记作 -a .零向量的相反向量仍是零向量.(2) 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.推论：一个向量BA等于它的终点相对于点 0的位置向量OA减去它的始点相对于点 0的位置 向量0B，或简记 终点向量减始点向量”.(3) 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量3. 向量的数乘数乘向量：实数和向量a的乘积是一个向量，记作 乜，且 a的长6 = 11 a4. 向量共线的条件：，十片 T 呻呻_，十呻 呻 一片 呻 ,44如果a = b，贝U a / b ;反之，如果a / b ,且b = 0，则一定存在唯一的一个

6、实数，使a = b .、平面向量的基本定理H T(1) 平面向量基本定理：如果 e和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任向量a ,存在唯一的一对实数 a1 , a2，使a = ag a2e2 .1I(2) 基底：我们把不共线向量e, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作叫做向量a关于基底：e；, ef的分解式.注：定理中e , e2是两个不共线向量；呻 a是平面内的任一向量，且实数对a1 , a2是惟一的; 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.证明A , B , P三点共线或点在线上的方法：哈佛北大fit英創立北京大学教育学院肆略合作伙憚1SMART精锐教育哙農北

7、丈補英創盒已知A、B是直线I上的任意两点，O是I外一点，则对直线I上任意一点P，存在实数t,使OP 关于基底OA,OBj的分解式为 OP =(1t)OA tOB，并且满足式的点P定在 l上.证明：设点P在直线I上，则由平行向量定理知，存在实数t，使 AP =tAB t(OB -OA), Op =OA Ap =Oa tOB _tOA =(1 _t)OA tOB设点P满足等式 OP t)OA tOB，贝y AP rtAB，即P在|上.其中式可称为直线I的向量参数方程式(4)向量AB的中点的向量表达式：点 M是AB的中点，贝U= 1 (OA OB).可推广到 OAB中，若M为边AB中点，则有 OM

8、=；(OA，OB)存在.三、向量的正交分解与向量的直角坐标运算:(1) 向量的直角坐标：如果基底的两个基向量e , e2互相垂直，则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解.(2) 向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量OA所唯一确定.设哈佛北大At英創立北京大学教育学院肆略合作伙憚有 OA =xe ye, = (x, y)，即点A的位置向量点A的坐标为(x, y)，由平面向量基本定理，OA的坐标(x, y)，也就是点A的坐标；反之，点 A的坐标也是点 A相对于坐标原点的位置 向量OA的坐标.(3) 向量的直角坐标运算:设 a =佝，还),b , b2)，

9、则 a b = (a b, a2b2): a - b = (at- d, a2-b,): a = (q ,a2)= ( a , a2)注： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差; 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.(4) 若A(xi,yJ, B(X2,y2)，则向量AB =0B-0A =区一人，y? -% )；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标.(5) 用平面向量坐标表示向量共线条件：设a =(a,a2)， b =(b,b2)，则aib2 -azd =0就是两个向量平行的条件.若向量b不平行于坐标轴，即 b =0 , b2=0，则两个向量平行的条件是

10、，相应坐标成比例.、平面向量的数量积和应用1.2.呻 呻44呻两个向量的夹角：已知两个非零向量a , b，作OA=a , OB =b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作:a, b .,并规定0 : a, b . w二，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有:a, b =： b, a -.当：;，； =“时，我们说向量:和向量b互相垂直，记作.2向量的数量积(内积)定义3.向量内积的性质e是单位向量，则a e =e=lalcos :a, e .;abcos ：a,b 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a b，即a b哈佛北大At英創立北京大学教育学院肆略合作伙憚哈佛北大At英創

11、立北京大学教育学院肆略合作伙憚 a 丄 b=a b=0，且 ab=0= a 丄 b ; ：a a，即01 ； cos : a, b 哈佛北大At英創立北京大学教育学院肆略合作伙憚哈佛北大At英創立北京大学教育学院肆略合作伙憚 a b w a”b|4.向量数量积的运算律哈佛北大At英創立北京大学教育学院肆略合作伙憚哈佛北大At英創立北京大学教育学院肆略合作伙憚 交换律：a b =b a ; (a b) =(，a) b =a ( b).分配律：(a b)c =a c b c5.3 , e2，已知 a 二佝,a?), b 二，b?), a ba?b2向量数量积的坐标运算与度量公式向量内积的坐标运算：

12、 建立正交基：厶用向量的坐标表示两个向量垂直的条件:ri精锐1对1哈佛北大At英創立北京大学裁育学院战略合作佚憚 向量的长度公式：已知：=佝,82)，则卩=2鼻2，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根. 两点间的距离公式：!如果 A(xyj， Bg, y2)，则 AB 二(x?-为)2 5 - %)2 两个向量夹角余弦的坐标表达式：cos :：:8 b一竺二8一rJai2 +a22 Jb2 +b22【典例解析】1. 向量及与向量相关的基本概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由：(1) 共线向量一定在同一条直线上.()(2) 所有的单位向量都相等.()(3) 向量a与b共线，b与c

13、共线，则a与c共线.()(4) 向量a与b共线，则a/b()(5) 向量 AB/CD，贝U AB/CD .()(6) 平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量.()【例2】 设a为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a丿6 ;若a与a平行，则玄。;呻 t .4彳 若a与a平行且a =1，则a =a。.上述命题中，假命题个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3【例3】 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. 向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D四点必在一直线上; 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等； 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是云B 模为0是一个向量方向不确

14、定的充要条件； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【例4】平面向量a，b共线的充要条件是()冲呻一呻呻A . a , b方向相同B. a , b两向量中至少有一个为零向量4444 4C. 三R , baD.存在不全为零的实数，1, 2, -1 2b =02. 向量的加、减法T 呻 呻T 片 耳呻 呻T 呻【例5】若3m2n =a ,m3n =b，其中a , b是已知向量，求m , n.【例6】设P是 ABC所在平面内的一点,A . PA PB =0C. PB PC =0B.D.BC BA = 2BP，则（）I M 4PC PA =0PA PB PC =0哈佛北大精英創立北京大学裁育学院战

15、略合作佚憚哈佛北大精英創立北京大学裁育学院战略合作佚憚【例7】【例8】A . 2OAOBB. -OA 2OBC.二 OA-0BD .3CA、AB上的点，且设D , E , F，分别是ABC的三边BC、DC=2BD,CE=2；A,7F=2；B,则 TO BE CF 与云（A .反向平行B .同向平行C .互相垂直D .既不平行也不垂直3.向量数乘运算及其几何意义2f精锐1对1t j 4 t已知O , A , B是平面上的三个点， 直线AB上有一点C，满足2AC C0 ,则OC =()哈佛北大精英創立北京大学教育学院肆略合作佚弊【例9】设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a b与c

16、共线，且b c与a共【例10】已知a,b是不共线的向量，AB=2： 5b ,B-a8b , CD =3席二），则A、BC、D四点中共线的三点是【例ii】设a,b是不共线的两个向量，已知AB =2ka (k2 -2)b ,4b+ t a=tbcCD烏_2b，若哈佛北大牌英創立北京大学教育学院肆略合作佚弊哈佛北大牌英創立北京大学教育学院肆略合作佚弊A B、D三点共线，求k的值.【例12】已知A、B、C、P为平面内四点，求证： A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在对实数mn，使PC=mPA nPB，且 m n =1 .【例13】已知：aB=3(e +&),* Ht *BC =e -e2, CD

17、 =2e e2，则下列关系一定成立的是（)A . A,B,C三点共线B . A , B , D三点共线C. C,A,D三点共线D. B, C, D三点共线【例14】如图，在厶ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点 G ,ri精锐1对1则下列各等式中不正确的是（2A . BG = BE34.平面向量的基本定理B. CG =2GFC. DG = AG2右已知、e2是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是a . e 与-eTTB . 3e 与 2e2C .T T T T e + e 与 e e44d. e 与 2e在厶ABC中，4+ 4AB 二 c ,

18、AC 二 b .若点D 满足 BD =2DC ,则 aD 二（）2片1斗A.b+rB 5C 2bB . c bC2.2b - 1D .2 bc【例1】【例2】33333333【例3】如图，平行四边形 ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点, 呻 T 呻呻 呻T T AB = a , AD = b，试以 a , b 为基底表示 DE、BF、CG .G为DE、BF的交点，若【例4】已知向量a, b不共线，霍r ,:打_b，如果c/:，那么（）f精锐1对1哈佛北大牌英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊A . k =1且c与d同向B. k =1且c与d反向4 H44C. k = _1且c与d同向D.

19、k = _1且c与d反向【例5】 已知向量a , b不共线，m, n为实数，则当m2 nb =0时，有m n =.【例6】 在平行四边形 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点.若 尼辰订匸齐，其中,1 RU-哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊【例7】 如图，在 ABC中，点0是BC的中点，过点 0的直线分别交直线 AB , AC于不同的两 点 M , N，若 AB =mAM , AC 二 nAN，贝U m n 的值为哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊5.平面

20、向量的坐标表示与运算I【例8】 设向量AB =(2,3)，且点A的坐标为(1, 2)，则点B的坐标为【例9】 若a =(2,1), b=(-3, 4)则3a+4b的坐标为444 4【例 10】已知 a =(x -2 , 3) , b = (1, y 2)，若 a = b，则 x =, y =【例11】若M 3, -2 ,N -5, -1 且MP J MN求P点的坐标;【例12】已知两个向量若 a / b ,1X- b则x的值等于( )11A.B. C. -2D. 222呻呻44444【例13】已知向量a=1 , 0 , b =0,1 , c=kabkR , d =a _b，如果c/d那么(A

21、. k =1且c与d同向C. k = -1且c与d同向D. k = -1且c与d反向哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊【例14】已知向量a =1, 1 , b=2 , x若a b与4b2a平行，则实数x的值是()A.-2B. 0C. 1哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙弊【例15】在平面直角坐标系 xoy中，四边形 ABCD的边AB / DC，AD / BC ,已知点A 2, 0，B(6, 8 ), C(8, 6),则D点的坐标为.444T T 呻【例 16】已知向

22、量 a = 3,1 , b=1,3 , c=k,7，若 a c / b，则 k =【例17】在直角坐标系xOy中，已知A(；,-13) , B(0,2) , C(2,12)，求证：A、B、C三点共线.【例18】已知2丄(1, 2),七，2),当实数k取何值时,k a + 2b与2a-4b平行?【例19】点 A(2, 3)、B(5, 4)、C(7,10)，若 弗工AB AC( R)，试求为何值时，点 P 在一、fl精锐1对1哈佛北 大fit英創立北京大学数育学院肆略合作伙憚三象限角平分线上.【例20】如图，已知AB的其中一个四等分点P的坐标.6.数量积的运算44呻T【例21】已知向量a =(1

23、,1),b =(2 ,n),右 |ab|二ab，则 n =()A .- 3B .-1C.1D . 3【例22】已知a =7 ,呻 呻4+ *4a与b的夹角为60，求(a 3b)(a 5b);【例23】已知向量a与b的夹角为120，且=4，那么b (2 b)的值为呻 片 呻【例24】若a、b、c为任意向量，彳4呻呻 片呻A. (a b) c =a (b c)* 4 r 4C. m(a b) = ma mbm R，则下列等式不一定成立的是(B. (a b) c =a c b c444444D . (a b) c = (b c)af精锐1对1哈佛北大At英創立北京大学裁育学院肆略合作佚弊1SMART

24、精锐教育【例25】【例26】【例27】【例28】设a, b, c是单位向量，且a b =0，则荷 c).(b c)A .-2B. 22-2C.-1的最小值为(D.c是任意的非零平面向量,(a b)c (c a)b =0且相互不共线，则:a _b (b c)a (c a)b不与 c垂直 (3a2b) (3a-2b)=真命题是()A B C.D.4 2ai2中,若向量a,b满足=1，a与b的夹角为60，贝U a a a b =(直角坐标平面上三点A(1,2)、B(3 , -2)、C(9 ,7)，若E、F为线段BC的三等分点，则7.向量求模已知a =4 ,【例29】【例30】在ABC中，已知 AB

25、=3，|bc =4，/ABC =60：，求 7C.AE AF = b =3，且 a b = 6 .求a, b的值；求a b的值.哈佛北大At英創立北京大学裁育学院肆略合作佚弊哈佛北大At英創立北京大学裁育学院肆略合作佚弊【例31】I*彳 斗 呻呻已知向量a =(1, n),b=(1, n)，若2ab与b垂直，则a| =ri精锐1对1哈佛北大At英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌1SMART 精锐教育 哙佛林大精英創直【例32】已知a =2, b=1,a与b的夹角为n,那么3a _4b等于(2.3C. 6D . 12哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略

26、合作伙牌【例33】设ABC是边长为1的正三角形,则CA +哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌&向量夹角和向量垂直【例34】b =2 , ： =a b，且c_ a，则向量a与b的夹角为(A . 30B . 60C. 120D. 150哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌【例35】设非零向量a = x, 2x , b = - 3x, 2，且a , b的夹角为钝角，求 x的取值范围TTT T【例36】已知a 2 ) , b =(3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，则-的取值范围【例37】给出命题

27、:哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌AD =AC .在平行四边形 ABCD中，AB在 ABC中，若AB AC ：:0,则 ABC是钝角三角形【例38】以上命题中，正确的命题序号是已知点A(1, 2)和B(4 , -1)，试推断能否在 y轴上找到一点 C ,使.ACB = 90 ?若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.ri精锐1对19.向量的应用【例39】已知P =舌價=(1,0) +m(0,1), m R , q =也岸=(1,1)+ n(1 ,1), n R是两个向量集合，则 PQ =()C.(1,0)?D .(0,1)?A 1,1)1B

28、.：(-1 ,1)?【例40】已知向量a =(2cos r,2sin v),2)，则向量a与b的夹角为(【例41】已知点A 2 , 0 ,B. ： ：C. D.二2 2B 0 , 2 , C cos二,sin 二, 且 0 ：:：: n.若7，求 OB 与 OC的夹角;若AC _ BC,求tan :的值.哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌哈佛北大捕英創立北京大学数育学院肆略合作伙牌_彳呻一彳斗_44【例15】已知向量a,b满足|a|=|b|=1，且|a-kb|=.3|ka b|，其中k O(1) 试用k表示a b，并求出a b的最大值及此时a与b的夹角r的值；(2) 当a b取得最大

29、值时，求实数，使|a b|的值最小，并对这一结果作出几何解释【例16】已知向量a =3x 3x cos一，sin I 2 r求a b及,b= cosx,_sinx2 2 2求函数f(x) =a b |a b的最大值，并求使函数取得最大值时x的值.f精锐1对1哈佛北大捕英創立北京大学敎育学院肆略合作伙牌【例17】已知O为坐标原点，OA =(2cos2 x,1),OB=(1,. 3sin2x a) ( x R , a R , a 为常数)，若 y =OA_OB ,(1) 求y关于x的函数解析式f (x);(2) 若x0, n时，f (x)的最大值为2,求a的值，并指出函数f(x)(xR)的单调区-2间.【例18】已知A、B、C三点的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sin a),a乏( ,竺).2 2(1) 若iACiBC|，求角:的值；(2) 若 AC BC=_1，求2sin %+sin2 的值。1 +ta notf精锐1对1哈佛北大牌英創立