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1、 本科毕业论文 题目：对易关系的物理意义学 院：物理与电子工程学院专业班级：2006级物理实验班9目 录1 引言12表示力学量的算符12.1算符的概念12.2 几种算符13对易关系的一般概念24几种对易关系式24.1坐标算符和动量算符的对易关系24.2动量算符的对易关系34.3角动量算符的对易关系44.4角动量算符和动量算符的对易关系44.5角动量算符和坐标算符的对易关系44.6角动量算符和角动量平方算符的对易关系55 对易关系的物理意义56测不准关系56.1 坐标和动量的测不准关系66.2 角动量的测不准关系76.3力学量完全集合77 结论7参考文献：8对易关系的物理意义摘要：本文由量子力学
2、中的一些力学量的对易关系来描述对易关系对量子力学的重要意义，分别讨论对易和不对易的情况来解释是否有确定值的问题。关键词：算符； 对易关系；测不准关系1 引言1927年海森伯提出的测不准关系就是与人类的认识能力和其自身的地位有关的一条重要定律。测不准关系的发现可以称之为认识论上的哥白尼革命 。 海森伯认为他提出的不确定原理是根本的,推翻它就不会有量子力学，不久就被证明可以从量子力学的基本原理及其相应的数学形式中把它推导出来。根据这个原理，微观客体的任何一对互为共轭的物理量，如坐标和动量，都不可能同时具有确定值，即不可能对它们的测量结果同时作出准确预言。测不准原理突破了经典物理学关于所有物理量原则
3、上可以同时确定的观念。量子物理学的历史证明，它是历史上最成功并为实验真确检验了的一个理论。我们知道，力学量用厄密算符表示是从经典力学到量子力学所引进的一个基本假设之一。如何保证使经典力学中的力学量成为量子力学中的厄密算符以及满足相应的对易关系通常我们就是直接利用对应原理由经典力学中力学量的表达式得到与其对应的量子力学中的算符。本论文主要讨论量子力学中的任意两个算符对易的情况和不对易的情况，也就是说力学量在某一状态中究竟有确定值还是没有确定值，它是量子力学中比较典型的两个问题。2表示力学量的算符由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子状态的描述方式和经典粒子不同，它需要波函数来描写。量子力学中微观粒
4、子力学量（如坐标，动量，角动量，能量等）的性质也不同于经典粒子的力学量。经典粒子在任何状态下它的力学量都有确定值。这种区别的存在，使得我们不得不用和经典力学不同的方式，即算符来表示微观粒子力学量。2.1算符的概念量子力学与经典力学相比有两个显著的区别：一个是专门引入波函数描述体系的状态，另一个是用算符表示力学量。算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。 (2.1.1) 表示F把函数u变成 v，F就是这种变换的算符。2.2 几种算符动量的算符： (2.2.1) 动量平方的算符: (2.2.2)动能的算符: (2.2.3) 坐标的算符: (2.2.4) 势能的算符: (2.2.5) 能量
5、的算符: (2.2.6) 角动量算： (2.2.7) 3对易关系的一般概念设有两个算符和，如果把这两个算符作用于同一个波函数，则所得结果决定于这两个算符作用的顺序。即任一个波函数， 一般 如果 ，那么算符和是对易的， 算符和是不对易的把上式可以写成 (3.1) (3.2)4几种对易关系式4.1坐标算符和动量算符的对易关系如果把坐标算符和动量算符作用于同一个波函数 即对于任一波函数 ，有 这两个结果并不相同，且 由于是任意的波函，把上式可以写成为 (4.1.1) (4.1.1)式成为和的对易关系式同理可以得到 (4.1.2) (4.1.3) 所以得出 (4.1.4)同理可以得到 4.2动量算符的
6、对易关系 (4.2.1) 同理可得； (4.2.2) (4.2.3) 4.3角动量算符的对易关系 (4.3.1) 同理可得： 4.3.2) 可以推出 4.4角动量算符和动量算符的对易关系 (4.4.1) 来讨论角动量算符和动量算符的对易关系 同理可得 (4.4.2) 4.5角动量算符和坐标算符的对易关系 （4.5.1） （4.5.2）4.6角动量算符和角动量平方算符的对易关系 (4.6.1) （4.6.2）5 对易关系的物理意义若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则这两个算符是对易的。设 和依次是和的本征值，由于 组成完备系，所以任意态函数 y(x) 可以按展开： 则 因为 y(x)
7、是任意函数所以 6测不准关系测不准关系也叫测不准原理，它是Heisenberg量子力学距阵表述的基本原理。根据这个原理，微观客体的任何一对互为共轭的物理量，如坐标和动量，都不可能同时具有确定值，即不可能对它们的测量结果同时作出准确预言。只要在经典力学中引进测不准关系，经典力学便从根本上改变了量子力学。在经典物理学中宏观物体的位置和动量是可以同时准确测定的。测不准关系是微观粒子具有波粒二象形的必然结果。只要微观粒子具有波粒二象形，就必然导致测不准关系。因此，并不是我们测量仪器不精密，或者说测量仪器“干扰了粒子有序的经典运动出现了测不准，而是微观世界的客观规律本身就是如此。测不准是一种客观存在，靠
8、改进仪器和测量手段是不可能消除测不准关系所加的限制的。若两个算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不能同时具有确定值。两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？6.1 坐标和动量的测不准关系测不准关系 （6.1.1） （6.1.2）表明：坐标与动量的偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大经典理论概念；一个粒子的位置和动量可以同时精确的测定量子理论的概念；要同时测出微粒的位置和动量，其精密度有一定的限制精密度的极限为 测不准关系 能量和时间的测不准关系 （6.1.4）相对论性能量为 测不准关系是普遍原理，是物质的客观规律不是测量技术
9、和主管能力的问题是波粒二象性的必然结果。6.2 角动量的测不准关系 (6.2.1) 6.3力学量完全集合为完全确定状态所需要的一组相互对易的力学量算符的本征值的最小数目称为力学量完全集合。有些情况5下力学量本征值是全部简并或部分简并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以的本征值不足以完全确定波函数。这时必定存在和独立而又和对易的其它力学量算符。如果、的共同本征函数仍然有简并，则必定还存在独立于 而又和、均对易的其它力学量算符，,而又均对易的其它力学量算符,的共同本征函数是否还有简并? 一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同本征函数系是非简并的，即这一组本征值完垒确定一个共同
10、本征函数，刚这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度。7 结论本文讲了算符，算符和算符之间的对易关系和测不准关系，对易关系的物理意义，对易关系和测不准关系的证明。通过这种内容我们可以得到算符之间的关系对易关系和不对易关系，如果算符对易则同时有确定值；若不对易，不存在共同本征函数，不能同时具有确定值。那么，必然导致有些力学量不能同时确定。参考文献：1 曾瑾言 量子力学 卷 M. 北京：，2007.2 曾瑾言 量子力学教程 M. 北京：科学出版社，2004.3 鹏程量子力学 M. 北京：高等教育出版社，2003.4 周世勋量子力学教程 M. 北京：高等教育出版社，2005.5 曾心愉,宋宇辰,裴文杰 量子力学自学辅导之六力学量算符之间的关系 j 大学物理, 1994年2月第13卷第2期.
物理实验专业毕业论文27664
