广东省珠海市高三5月综合测试(二)理科数学试题及答案

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1、2013年5月珠海市高三综合测试（二）理科数学 本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合则等于AB CD 2设为虚数单位，则复数的虚部为 A4 B4i C4 D4i3已知非零向量，满足，则函数是 A.偶函数 B. 奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数4设随机变量服从正态分布，若，则等于A. B. C. D. 5已知变量满足，则的值域是A B C D6已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为第7题A B C或D. 或77如图是某几何体的三视图，其中

2、正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 A B. C. D. 8已知是R上的偶函数，若的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，那么的值为A1 B0 C-1D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分第9题（一）必做题（913题）9某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 10. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因为，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性最高为 专业性别非统计专业统计专业男1310女720P(K

3、2k)0.0500.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82811 展开式中的常数项的值是 (用数字作答)12在中，则_13在等比数列中，若是互不相等的正整数，则 有等式成立.类比上述性质，相应地，在等差数列中,若是互不相等的正整数，则有等式 成立.（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图，圆内的两条弦， 相交于圆内一点，已知，则的长为 .15（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点，是极点，则的面积等于 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，的部分

4、图像如图所示(1)求的解析式；(2)且，求17（本小题满分12分）某公益活动分别从A、B两个单位招募9名和11名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图，将身高180cm及以上的人组成甲队，不足180cm的人组成乙队（1）根据志愿者身高茎叶图指出A、B两个单位志愿者身高的中位数（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取人，再从这人中选人，那么至少有人是甲队的概率是多少（3）若只有B单位的志愿者能够胜任翻译工作，现从甲队中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能够胜任翻译工作的人数，试写出的概率分布列，并求数学期望18（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形，且（1）求证：；（2）求证：

5、；（3）求二面角的余弦值19（本小题满分14分）数列的前项和记为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）求和：；（3）设各项均为正整数的等差数列的公差为1，并且满足：试问数列最多有几项？并求这些项的和20（本小题满分14分）已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为（1）求椭圆的离心率；（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为?若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由AF2F1yBxO21（本小题满分14分）已知函数(1) 若时，恒成立，求的取值范围；(2) 若

6、时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围2013年5月珠海市高三综合测试（二）理科数学参考答案及评分标准 本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合则等于CAB CD 2设为虚数单位，则复数的虚部为 （ ）AA4 B4i C4 D4i3已知非零向量，满足，则函数是 ( )AA.偶函数 B. 奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数4设随机变量服从正态分布，若，则等于BA. B. C. D. 5已知变量满足，则的值域是DA B C D6已知实数构成一个等比

7、数列，则圆锥曲线的离心率为（ C ）A B C或D. 或77如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 ( A ) A B. C. D. 【答案】A8已知是R上的偶函数，若的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，那么的值为（ ）CA1 B0 C-1D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 。410. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因

8、为，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性最高为 。（5%(或0.05)） 专业性别非统计专业统计专业男1310女720P()0.0500.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82811 展开式中的常数项的值是 (用数字作答)2812在中，则_113在等比数列中，若是互不相等的正整数，则 有等式成立.类比上述性质，相应地，在等差数列中,若是互不相等的正整数，则有等式_成立. （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图，圆内的两条弦， 相交于圆内一点，已知，则的长为 .15（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，

9、点，是极点，则的面积等于 4三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，的部分图像如图所示（1）求的解析式；（2）且，求解：(1)由图像知，（2分）， （4分）又得 （6分）(2) （8分）= （10分）（12分）17（本小题满分12分）某公益活动分别从A、B两个单位招募9名和11名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图，将身高180cm及以上的人组成甲队，不足180cm的人组成乙队（1）根据志愿者身高茎叶图指出A、B两个单位志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取人，再从这人中选人，那么至

10、少有人是甲队的概率是多少（3）若只有B单位的志愿者能够胜任翻译工作，现从甲队中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能够胜任翻译工作的人数，试写出的概率分布列，并求数学期望。解：(1)A单位中位数是180cm，B单位中位数是173cm 2分(2)总人数是20人，甲单位8人，乙单位12人，设甲、乙各抽人和人，则，得，甲队抽2人，乙队抽3人 4分设“5人中选2人，其中至少有1人是甲队的”为事件A，则 答：从这人中选人，至少有人是甲队的概率是 6分(3)甲队中B单位有3人，这3人能胜任翻译工作，故 7分的概率分布列; ; 11分的期望是 12分18（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形，且.（1）求证

11、：；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点.又FA=FC，所以. 2分因为，所以. 3分（2）证明：因为四边形与均为菱形，所以因为所以又，所以平面又所以. 6分（3）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以由（）知 ，故 . 法一：由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=2因为四边形ABCD为菱形，则BD=2，所以OB=1，.则 8分 所以. 设平面BFC的法向量为则有 所以取，得. 12分易知平面的法向量为. 由二面角A-FC-B是锐角，得. 所以二面角A-FC-B

12、的余弦值为.14分法二：取的中点，连接，四边形与均为菱形，且，设为为、中点， （8分）， 是二面角的平面角 （10分），又（12分）二面角A-FC-B的余弦值为（14分）19（本小题满分14分）数列的前项和记为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）求和：；（3）设各项均为正整数的等差数列的公差为1，并且满足：试问数列最多有几项？并求这些项的和19解：（1）由得，相减得，即又，得，数列是以1为首项2为公比的等比数列，4分（2）由（1）知9分（3）由已知得又是连续的正整数数列，上式化为11分又，消得，由于，时，的最大值为9.此时数列的所有项的和为14分20（本小题满分14分）已知椭圆的方程为，点分

13、别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；（1）求椭圆的离心率；（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由AF2F1yBxO解：（1）由，得直线的倾斜角为，则点到直线的距离，故直线被圆截得的弦长为，直线被圆截得的弦长为，（3分）据题意有：，即，（4分）化简得：，（5分）解得：或，又椭圆的离心率；故椭圆的离心率为（6分）（2）假设存在，设点坐标为，过点的直线为；当直线的斜率不存在时，直线不能被两圆同时所截；故可设直线的方程为，则点到直线的距离

14、，由（1）有，得=，故直线被圆截得的弦长为， （8分）则点到直线的距离，故直线被圆截得的弦长为， （10分）据题意有：，即有，整理得，即，两边平方整理成关于的一元二次方程得，（12分）关于的方程有无穷多解，故有：，故所求点坐标为（1，0）或（49，0） （14分）（注设过P点的直线为后求得P点坐标同样得分）21.（本小题满分14分）已知函数(1) 若时，恒成立，求的取值范围；(2) 若时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围解： (1) 因为时，所以令，则有，当时恒成立，转化为，即在上恒成立， 2分令p (t)t，则，所以p (t)t在上单调递增，所以，所以，解得 6分(2) 当时，即，7分 当时，即时，； 当时，即，；8分当时，令，则 ，10分 当，即时，； 当，即时，在开区间上单调递减，无最小值；12分综合与，所以当时，即，函数；当时， ，函数无最小值；当时， ，函数无最小值13分综上所述，当时，函数有最小值为；当时，函数无最小值14分理科数学第19页，共19页