一道竞赛试题的多种解法

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一道不等式竞赛题的多种解法唐 作 明（永州市教育科学研究院）不等式对于一切正数恒成立则实数的最小值为（第17届“希望杯”全国数学邀请赛）一、几种解法1分离参数法解：原不等式可化为：令，则有而，当且仅当时，取等号则，故所以，的最小值为22三角换元法解：令，则可设，其中原不等式可化为：，即令，（其中）显然，所以的最小值为23基本不等式法解：原不等式可化为：因为，不等式可化为，即有令，则有显然，只有当时，所以，解得，故的最小值为24构造函数法解：原不等式可化为：，不等式可化为令，当时，要使恒成立若，显然不合题意；若，则或（无解）当时，解得故的最小值为2二、推广及证明推广：不等式对于一切正数恒成立则实数证法一：令，则可设，其中原不等式可化为：，即令（等号显然可以成立）所以，证法二：原不等式可化为令，则，当，且时，即时，所以，三、两道变式题的解法设，满足，求（浙江省高中数学夏令营）解：由于，所以，同理可得故于是，即2已知，若恒成立，则的取值范围是解法一：构造，使则原不等式可化为即而（当且仅当时，取等号）故解法二：令，则有而（当且仅当时，即取等号）注：本文发表在数学竞赛之窗。4