毕业论文参数线性规划的算法研究24820

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1、I摘摘 要要参数线性规划是约束条件和目标函数中的价值系数、工艺系数、资源限量中含有一个或多个参数的优化模型，是线性规划理论的重要组成部分，线性规划是运筹学的一个重要分支，从解决技术问题的最优化设计，到工业、农业、商业、交通运输、军事、经济等，在许多领域中都有着重要的应用。在生产过程中，由于工艺条件、资源限量、市场需求、市场价格等因素都在不断的变化，因此，最优解也就带有一定程度的不确定性。为了及时根据市场动态及数据资料的变化调整决策方案，运用参数线性规划这一工具，建立参数线性规划模型，可以更好地指导实际工作，适应市场的变化达到增加收益、降低成本的目的。1947 年，Dantzig 针对线性规划提

2、出了单纯形法，为线性规划发展奠定了基础；1954 年，C.莱姆基提出了对偶单纯形法；1954 年，S.加斯和 T.萨迪等人在对偶单纯形法的基础上解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题。近年来，参数线性规划模型在单纯形法和对偶单纯形法的基础上，又产生了搜索法、分块矩阵法、建立神经网络模型法等方法，随着计算机软件的发展，通过建立仿真模型用计算机解决参数线性规划问题也成为一种重要的途径。本文针对价格系数和右端资源数据中同时含有两个参数的复杂情形，对实际问题建立了参数线性规划模型，并分析了最优解不变的情况下，参数的变化区间，找到了最优目标函数的变化规律，并用 Matlab 绘出了三维仿真图，为求解大

3、型参数线性规划问题提供了基础。关键词：参数线性规划；最优解；区间；对偶；决策变量IIAbstractParametric linear programming is one kind of optimal modle with some constraint conditions,which there exist one or more parametrics in the objective function,technology factors,or limited resourses.It is widly applicated to many fields from technica

4、l problems to optimization design,such as industrial,agricalfural,transportation,military,economic and so on.In the producing process,the solution of the parametric linear programming often will be some uncertainties,due to the change of technology conditions,resources,market demands,material prices

5、 and other factons.So in order to adjust decision schem and meet with the market needs,data must be changed timely and immdiatly.Parametric linear programming has play a important role in dealing with such problems.It has been a very useful tool for us to obtain decision plan and to increase value a

6、nd reduce costs.In 1947, Dantzig proposed a important method,simplex method, laying the foundation for solving linear programming; in 1954, C.Lemke proposed dual simplex method; in 1954, S. Gaston and T. Saadi and others solved the parametric programming based on studing dual simplex method to the p

7、roblem of the linear programming. In recent years, many new methods the parameters of linear programming model with the basis of simplex method and the dual simplex method, produced the search method, sub-block matrix method, the establishment of neural network models and other methods. With the dev

8、elopment of computer software, linear programming problem with parameters can be solved by computer through the establishment of simulation computer model. In this paper, a mathematical model is created in accordance with the practical problem which has two parameters,one is in the price coefficient

9、s,anothisin the right resource data.The interval is obtained in the condition of analysis the optimal solution unchanged to provide the fundation to solve complicated parametric linear programming.By solving optimal solution,we have obtained the fuction with two parametrics.At last,the simulations h

10、ave been given by MATLAB.Keywords: Parametric linear programming; the optimal solution; interval; dual; decision variationIII目 录第一章第一章 绪论绪论 .11.1 参数线性规划的研究背景 .11.1.1 什么是线性规划.11.1.2 参数线性规划的内容.11.2 参数线性规划的研究现状 .21.3 参数线性规划研究的意义 .3第二章第二章 参数线性规划的理论参数线性规划的理论 .42.1 参数线性规划研究的常用方法 .42.1.1 目标函数的系数含有参数的线性规划问题

11、.42.1.2 约束条件右端的常数项含有参数的线性规划问题.52.2 线性规划灵敏度分析 .72.2.1 什么是线性规划的灵敏度.72.2.2 价值系数的灵敏度分析.72.2.3 资源限量的灵敏度分析.10第三章第三章 参数线性规划的数学建模参数线性规划的数学建模 .143.1 实际问题的提出 .143.2 实际问题的分析与解决 .143.2.1 获利最大的生产计划模型.143.2.2 A 产品的利润变化区间的确定方法.163.2.3 关于开发新产品的决策研究.163.2.4 购入原材料进行扩大再生产的必要性的理论分析.173.2.5 影子价格的含义及分析.18第四章第四章 两参数线性规划问题

12、的解法两参数线性规划问题的解法 .204.1 两参数线性规划的定义 .204.2 两参数线性规划问题的求解方法 .204.3 两参数线性规划问题的分析与求解 .22第五章第五章 结论结论 .27参考文献参考文献 .28IV谢辞谢辞 .29附录一 .1附录二 .61参数线性规划的算法研究参数线性规划的算法研究第一章第一章 绪论绪论1.1 参数线性规划的研究背景参数线性规划的研究背景1.1.1 什么是线性规划什么是线性规划 线性规划是运筹学的一个基本的，也是成熟的分支。为了解决二次世界大战中的后勤供应问题，早在 20 世纪 30 年代末期康托洛维奇和希奇柯克等在生产的组织和运输问题等方面就开始研究

13、应用这一数学方法。10 多年后 Dantzig 等人提出的单纯形方法给线性规划这一数学方法的成熟与发展奠定了坚实的理论基础。随着时间的推移，能用线性规划解决问题的类型在大量的增加。现在几乎所有的工业领域、商业领域、军事领域及科学技术的研究领域都在不同程度地运用这一方法。正是由于它的应用，全球每年各个领域节省了上亿万美元的资金，而各个生产部门也创造了大量的经济效益。我国在建国初期就开始应用线性规划这一数学方法。线性规划方法是一种重要的数学方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问

14、题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该方法的最大优点是可以处理多品种问题，可解决如运输问题、生产的组织与计划问题、合理下料问题、配料问题、布局问题、分派问题等。1.1.2 参数线性规划的内容参数线性规划的内容 在线性规划的实际应用中，由于某种原因，有时线性规划问题的目标函数的系数c 和约束条件的常数项 b 的数据不是固定的常数，而有所波

15、动。例如在制订生产计划时，一个工厂生产的各种产品的价格，由于原材料的供应价格有所波动，因而也有所波动。这样，代表总利润的目标函数中的价格系数 c 便会随某个参数（即原材料的价格升降百分数）而改变。又例如，在同样的问题中，由于供应原材料的单位的生产发生改变，原材料的限制量产生波动时，那么约束条件右端的常数项 b 也将随某个参数（即原材2料生产增长的百分数）而有所改变。再比如，该工厂的工艺技术条件发生变化，那么原线性规划问题约束条件的系数矩阵的系数就随之改变。这样的一些线性规划问题，便是所谓的“参数线性规划” 。对于这种线性规划，我们所关心的时在参数的可能范围内，求出问题的最优解，即可以用原来数学

16、模型按实际出现的目标函数的系数或约束条件右端的常数项来决策最优方案【2】。在实际的生产或经济活动中，应用线性规划方法解决实际问题时，仅仅求出最优解或最佳决策是不够的，还必须掌握参数变化对最优解或最佳决策的影响，即要做灵敏性分析。依据变化了的情况，采取相应的措施，做好相应预案，争取更好的经济利益。否则，如果事先对这方面的情况没有充分的了解和准确的估计，难免导致决策失误，造成经济上的损失。当线性规划中的工艺系数、价值系数、资源限量中一个量或多个量变成确ijajcib定或不确定区间里的一个参数时，这时线性规划模型就变成一个参数线性规划的模型。当对参数线性规划模型模型里的参数赋予具体的值的时候，这时又

17、变成了线性规划模型。线性规划模型是研究参数线性规划的依据，所有的参数线性规划模型的建立于解决都是建立在线性规划模型的基础上。但现实中市场瞬息万变，变化是绝对的，工艺系数、新产品的加入、市场价格、资源需求等因素都在改变，原生产计划建立的线性规划模型也就不适用于实际生产中去了，这时候就需要建立参数线性规划模型，所以参数线性规划模型较线性规划模型在实际生产中更有实际意义。1.2 参数线性规划的研究现状参数线性规划的研究现状线性规划作为运筹学的一个重要分支，从解决问题的最优化设计到工业、农业、交通运输军事等许多领域都有着重要的应用。参数线性规划是线性规划的重要组陈部分之一，几乎在 Dantzig 的单

18、纯形法出现后不久，就开始了对参数线性规划的研究。参数线性规划的研究源于实际问题的需要，比如运输问题中的单位货物运价的变化（对应目标函数的价值系数的变化） ；资源利用数量的变化（对应约束条件右端的资源限jc量的变化） ；生产工艺改进（对应约束条件的工艺系数的变化） ；甚至其中两者或ibija三者皆变，所以对参数线性规划的研究有其现实意义。所以在 1954 年 S.加斯和 T.萨迪等人在 C.莱姆基提出对偶单纯形法的基础上解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题。3目前，处理参数线性规划的主要方法仍然是单纯形表上作业法，或是从对偶理论出发建立对偶单纯形表进行求解。此类方法属于对参数线性规划求解的传

19、统方法，如当参数线性规划的决策变量和约束条件都比较多的时候，也就是所谓的规模比较大的时候，单纯形表上作业法的缺点就十分突出，处理起来非常困难，甚至求解失败，得不到最优决策。随着计算机软件功能的日渐增强，新的算法设计思想的日益活跃，给计算工作带来了更多的便利。经过许多科学家的努力，现在参数线性规划在以单纯形表法的基础上得到许多新的算法。如当参数、约束条件、决策变量都比较多的时候，也就是大型参数线性规划模型求解时，可以用搜索法确定参数变化区间，从而确定最优决策；分块矩阵方法求解参数线性规划；利用进化策略和神经网络模型建立参数线性规划的数学模型，采用精英保留策略的方法求的最优解。但是以上各种方法都存

20、在局限性，局部使用，没有完整的理论体系，所以参数线性规划的算法研究还有很地方需要改进和努力。1.3 参数线性规划研究的意义参数线性规划研究的意义线性规划应用于工业、农业、商业、行政、军事、公用事业等各个领域，从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。在实际生产、经营、管理等活动中会因各种因素的变化而导致最优决策而改变，所以一般的线性规划模型为企业管理提供了理论基础，但该线性规划下建立的数学模型不适合应用于实际生产活动中去，所以用一些不确定的参数来代表目标函数或约束条件中的不确定因子，从而引出了参数线性规划的概念。参数线性规划，在实际工作中有较广泛的应用

21、价值，解决了参数连续变化时，最优解的变化规律，确定了最优解发生变化的各个的取值，最终解决实际工作中的各类问题。4第二章第二章 参数线性规划的理论参数线性规划的理论2.1 参数线性规划研究的常用方法参数线性规划研究的常用方法2.1.1 目标函数的系数含有参数的线性规划问题目标函数的系数含有参数的线性规划问题一般地，假定线性规划问题的目标函数的系数向量 C 变成，其中*CCC 2-1RcccCn，),(*2*1*这时，可行域一般不变化，故原问题的最优解还是新问题的基本可行解。但是，需要修改目标行。新检验数为，*1jjjjBjCaBC其中；新目标函数值为。要使原问题的最优解还是新问题的*1*jjBj

22、CaBCbBCB1最优解，则要求。0j 若，则等价于；0*j0j*jj 若，则等价于。0*j0j*jj 令), 2 , 1(00|max*njjjjjB， 2-2B), 2 , 1(00|min*njjjjj，则要使成立，便要。0jBB 与分别称为 B 的下特征数和上特征数，而闭区间称为 B 的最优区间。BB,BB 因此对于 B 的最优区间中的每个所对应的解都是新问题的最优解，目标函bB15数的最大值为，其中。即对于 B 的最优区间中每个所对应*00fffbBCfB1*0的最优解是相同的，但目标函数的最大值为的函数【1】。 现在考察对于最优区间外的值，最优解的变化情况。 首先，当（为一有限数）

23、时，求解所给线性规划问题。BB 假设 j=s 时，则。于是当时，得。这时，如果单纯*ssB0*sB0s形表中对应的列没有正数，则目标函数无上届，新问题无最优解，否则用单纯形方sx法进行换基迭代,从而得到一个新的最优解。 其次，当（为一有限数）时，求解所给线性规划问题。BB 假设 j=t 时，则。于是当时，得。同上面一样用单*ttB0*tB0t纯形方法进行换基迭代，从而得到一个新的最优解，或判明此问题无最优解。2.1.2 约束条件右端的常数项含有参数的线性规划问题约束条件右端的常数项含有参数的线性规划问题 假定线性规划问题的约束条件的右端常数项 b 变成，其中*bbb。这时，只需修改右端一列，便

24、可得到新问题的单纯形表，新Rbbbbm),(*2*1*表右端一列为 2-31bBbbCfB0检验数均不改变，故仍然有。要使原问题的最优基还是新问题的最优基，则要0j求 2-40*iiibbb如果，那么等价于；0*ib0*iiibbb*iibb如果，那么等价于。0*ib0*iiibbb*iibb6令 ), 2 , 1(00|max*mibbbbiiiiB， 2-5), 2 , 1(00|min*mibbbbiiiiB，那么要使成立，便要0*iiibbbBB与分别称为 B 的上特征数与下特征数，而闭区间称为 B 的最优区间。BB,BB因此对于最优区间中的每个所对应的解 2-6TmmbbbbbbX)

25、,(*22*11都是最优解，这时目标函数的最大值为 2-7*00fff其中 2-8*1*0bBCfB与前一种参数线性规划不同，这里，对于 B 的最优区间中每个，不但目标函数的最大值是的函数，而是最优解也是的函数。现在我们考察对于最优区间外的其他值，最优解的变化情况。首先，考察的情形。假设是在时达到的，即BBri 2-9)0(*rrrBbbb于是由得*rrBbb 2-100*rrbb即 2-110*rrrbbx这时如果单纯形表中第 r 行没有负数,则当时，问题无最优解；如果有负数，则B用对偶单纯形方法进行换基迭代，从而可得时的一个新的最优解。B7其次，考察的情形。假设是在时达到的，即BBti 2

26、-12*ttBbb)0(*tb于是由得*ttBbb 2-130*ttbb即 2-140*tttbbx这时再用对偶单纯形方法进行换基迭代，或判明无最优解。2.2 线性规划灵敏度分析线性规划灵敏度分析2.2.1 什么是线性规划的灵敏度什么是线性规划的灵敏度当线性规划问题数据比较准确，约束条件比较完整时，得到的解对指导实际管理的可靠性就大。事实上，在生产过程中，工艺条件、资源数量、市场需求、市场价格等因素都在不断地变化，有些数据也是通过估计或预测得到的，带有不确定性，这时得到的解也就带有一定程度的不准确性。有些数据在一定范围内变化时，最优解可能改变也可能不变。例如，产品 A 市场价格为 6 元/件，

27、一个月降到 5 元/件，这时产品A 的生产量就有可能变化或者由于利润太低而不生产产品 A。又如，原材料供应量变化或者改变工艺、增加新的产品等因素的变化，原决策方案就要随之改变。这些现象都是客观存在的。做为企业决策者必须随时掌握市场动态及数据资料的变化情况，及时调整决策方案，有效的利用线性规划这一工具，更好地指导实际工作，达到增加效益、降低成本的目的。线性规划的灵敏度分析（Sensitive Analysis）也称为敏感性分析，它是研究和分析参数的波动对最优解的影响程度，主要研究下面两个方面：),(ijijabc（1） 参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变；（2） 模型发生变化（增减约束

28、、变量，参数变化）时，最优解或最优基有何变化。当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新求解，直接在原线性规划取得的最优结果的基础上进行分析或求解，既可减少计算量，又可根据参数的变化范围，及时对原决策做出正确的调整和修正。82.2.2 价值系数的灵敏度分析价值系数的灵敏度分析为使最优解不变，求的变化范围。jc设线性规划max0ZCXAXbX其中线性规划存在最优解，设最优基矩阵为m nA 2-1511212(,),(,)miiimiB 检验数为 2-161,1,2,jjBcC B P jn要使最优解不变，即当变化为后，检验数仍然是小于等于零，即jcjjjccc 2-1710jjBjcC

29、B P这时分是非基变量和基变量的系数两种情况讨论。jc（1）是非基变量的系数jcjx1110jjBjjjBjjBjjjjcC B PccC B PcC B Pcc即，当时最优解不变，否则最优解就要改变。jjc jjcc （2）是基变量的系数icjx因，当变化为后后同时变化，令iBcCiciiccj11111_12_()(0,0,0,0)(,)0jjBjjBBjjBjBjjBjTjjmjjiijjicC B PcCCB PcC B PC B PC B Pcaaac a9当时有，当时有。_0ija _jija _0ija _jiijca令 2-18_1_2_max|0min|0jijjijjijj

30、ijaaaa要使得所有，有0j12ic 只要求出上限及下限就可以求出的变化区间。因，故，21ic0j10。具体计算，时可以按的符号分成两部分，分别求比值，然后在比值为2012_ija负号中取最大者就是，比值为正号取最小者就是，当出现时，可能无上12_0ija ic界或无下界。问题 1.已知线性规划12312312323123max324022015,0Zxxxxxxxxxxxx x x（1）求最优解（2）分别求，的变化范围，使得最优解不变1c2c3c解 （1）加入松弛变量，用单纯形法求解最优表如表 2-1 所示。4x5x6x表 2-1jC113000BCBX1x2x3x4x5x6xb10013

31、4x1x3x010-2110011000100015515j0-300-1-2最优解为，最优值 Z=50。(5,0,15)TX （2）为非基变量，为基变量，则2x1x3x223c 变化范围是或2c222()1 34cc 2(,4c 对于：表 2-1 中对应行的系数只有一个负数，有两个正数及1c1x_2 ja_261a _221a，则有_251a521_222562_2631max,max.1112min21aaa 的变化范围是，或1c11112ccc103c10,3c 对于：表 2-1 中对应行，而，则有3c3x_321a_361a_350a621_323632max,max,211aa 无上

32、界，即有，的变化范围是或。3c32c 3c31c 31,c 对的变化范围，也可以直接从表退出，将写成。分别计算非基3c33c 333ccc变量的检验数并令其小于等于零111222331555363321 (0,1,3)13011(0,1,3)1101(0,1,3)1201BBcC B PcccC B Pccc ，要使，同时小于等于零，解不等式组得，同理，510 26333020cc 32c 用此方法可求出和的变化区间。2c1c2.2.3 资源限量的灵敏度分析资源限量的灵敏度分析 为了使最优基不变，求的变化范围。设的增量为，的增量Brbrbrbb,原线性规划的最优解为 X，基变量。(0,0,0,

33、0)Trbb 10BXB b 3-1911111()BBXB bBbbB bBbXBb 3-20mrrrrmbbbB21211),( 3-210_22_11_21_2_1_mrrmrrrrmrrrmBbbbbbbbbbbX既要满足 3-22_0,1,2,irirbbim当时有，当时有。令0ir_irirbb0ir_irirbb12 3-23_1_2max|0min|0iriiririirbb因而要使得所有，必须满足0ix rb12rb 这个公式与求的上、下限的公式类似，比值的分子都小于等于零，分母是ic中第 r 列的元素，大于等于比值小于零的最大值，小于等于比值大于零的最小1Brb值。当某个时

34、，可能无上界或无下界。0irrb问题 2.已知线性规划12312312323123max324022015,0Zxxxxxxxxxxxx x x求，分别在什么范围内变化时，原最优基不变。1b2b3b由表 2-1 知，最优基，分别为B1BBX1112131413212223313233_1_2_31 1 2111(,)0 1 1,0110 0 1001555,51515BBBpp pBbXbXb 对于：比值的分母取的第一列，这里只有，而，则1b1B11121310_11115max51b 13无上界，即，因而在内变化时最优基不变。1b15b 1b35, 对于：比值的分母去的第二列，则2b1B12

35、0220_2122_121225max515min5155bbb 即在上变化时最优基不变。2b15,25 对于：比值的分母取的第三列，有3b1B_1231323335515,5,5, 15111bbb故有，在上变化时最优基不变3155b 3b0,20上述及的最大允许变化范围是假定其他参数不变的前提下，单个参数的变化jcib范围，当几个参数同时在各自范围内变化时，最优解或最优基有可能改变。14第三章第三章 参数线性规划的数学建模参数线性规划的数学建模3.1 实际问题的实际问题的提出提出根据市场要求，某生产单位可生产 A、B、C 三种产品，其所需专业技人员，材料等有关数据见表 3-1。表 3-1

36、产 品资 源A B C可用量（单位）技术力量材料 6 3 5 3 4 54530产品利润（万元） 3 1 4根据表 3-1 的资料，要求计算确定：1）获得利润最大的产品生产计划；2）产品 A 的利润在什么范围内变动，前面计算出的最优生产计划不发生变化；3）如果开发一种新产品 D，单位技术力量消耗是 8，材料消耗 2 单位，每件新产品可获利 3 万元，如果从经济效益考虑，那么，这种新开发的产品是否值得生产；4)该生产单位的技术力量数量是固定不变的,但生产材料不足时可以从市场购买,每单位购入价为 0.4 万元,那么,该单位要不要购入生产材料扩大生产,以购入多少最为15适宜？这是一个实际生产的决策问

37、题，下面按要求分别计算最优解，获取量化的最优决策。3.23.2 实际问题的分析与解决实际问题的分析与解决3.2.13.2.1 获利最大的生产计划模型获利最大的生产计划模型首先，根据表 3-1 的资料建立数学模型，设A 产品生产件1xB 产品生产件2xC 产品生产件3x那么，最优生产计划的数学模型可以写成如下形式：0,305434553643max321321321321xxxxxxxxxxxxz其次，将上述数学模型化为标准形式，以便利用单纯形法进行解算。加入松弛变量，得到以下标准形式：0,30543455363max5432153214321321xxxxxxxxxxxxxxxxz用单纯形法求

38、出上述线性规划问题的最优解。见表 3-2表 3-2jcBC基ib31x12x43x04x05x004x5x4530633455100096minjjcz3140016044x3x156335-1450110-1155min10jjcz351150045341x3x53101310113151325jjczjjcz00-233d0015435d35835d经过用单纯形法计算求得最优解,即能够获利润最大的生产计划:A 产品生产 5 件,B 产品不生产,C 产品生产 3 件。这样，可以获得最大利润，最大利润为 maxZ=35+43=27(万元)3.2.2 A 产品的利润变化区间的确定方法产品的利润变

39、化区间的确定方法产品 A 的利润在什么范围内变化,使得前面求出的最优生产计划(最大利润)不变呢?设 A 产品的利润为 d，将 d 带入表 3-2 中，把的系数换成，很显然，如果检1x验数，则说明仍为最优解，换而言之，的变化区间求出来了，问题就解0jjCZ决了，仍利用原单纯形表重新计算检验数。见表 3-2 最下面一行。根据计算出的检验数，有下列结果，如果30340358035ddd则最优解不变。解上式得3,934412,35355824,355ddddddd 17于是，得到这样的结论：第一临界值为，第二临界值为，产品 A 利润在125245范围内变化时，不会对原最优生产计划产生影响。12 24,

40、553.2.3 关于开发新产品的关于开发新产品的决策研究决策研究按照前面的材料及要求，如果生产新产品 D，要消耗单位技术力量 8，材料消耗 2单位，每件产品利润为 3 万元，从经济效益考虑是否值得生产？针对这种问题，可以重新建立数学模型，求出最优解，与原最优解对比。以确定是否生产新产品。但实际工作中，尤其是比较复杂的生产决策问题，如果用下面的方法处理，似更简单直观。其原理和结果都是一样的。设：增加新产品 D 生产件，则，根据原最终表6x63C 6(8,2)TP 681313()2555 上式中的是原最终表检验数的相反数。13()551661128334122535PBP 据此，在原最终表上增加

41、一列，继续迭代：表 3-3jC314003BC基ib1x2x3x4x5x6x341x3x53101310113151325245jjcz0-20153515346x3x525124101613150116115164151018jjcz1105930073017300根据上述计算结果,代入数学模型,得到以下结论:如果增加新产品 D(万元)1236max34327.5Zxxxx而增加产品 D 获得利润为 27.5 万元，大于原最大生产利润 0.5 万元（原最大利润27 万元） ，从经济效益考虑，是值得生产的。3.2.4 购入原材料进行扩大再生产的购入原材料进行扩大再生产的必要性的理论分析必要性的

42、理论分析由于问题提出的前提是技术力量不变，如果需要时可以增加购买原材料，单位价格 0.4 万元，这一问题的实质是确定是否增加投入，购买原材料，扩大生产，那么购买多少最适宜。仍利用原最终表，并将参数直接反映到最终表上，采用对偶单纯形法计算见表 3-4。表 3-4jCBC基ib31x12x43x04x05x341x3x53103110131513152jjZC 0-205152（将参数直接反映到最终表）341x3x315523103110131513152jjZC 0-205153045x3x159-35615301-15110 jjZC 5957054019原最终表中最后一列检验数“”是影子价格

43、，绝对值为 0.6 万元，而350.60.4（万元） ，故购入原材料是合算的。关于影子价格的含义在后面专门介绍。经过上述计算，得到的结果是：材料市场价格低于影子价格，故可购入，用参数规划计算，确定购 15 个单位最佳。3.2.5 影子价格的含义及分析影子价格的含义及分析关于影子价格，仍用前例来说明。在表中技术力量可用量为 45（单位） ，材料可用量为 30（单位） 。从广义上理解，45 和 30 代表的是不同资源的拥有量，它的对偶变量则代表对第 种资源的估价。这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中iyi产生贡献所作出的估价，它是生产单位的产品所存在的一种特殊的估计价格，在经济学中称之

44、为影子价格（shadowprice）【3】。（1）资源的市场价格是已知数，相对而言，是比较稳定的，而影子价格直接受到资源利用情况的影响，因此是未知数。从前面的例子可以知道，如果生产单位的生产任务、产品结构等情况发生变化时，资源的影子价格也会随之改变。（2）影子价格是一种边际价格。由对偶问题的性质可知，在利用单纯形法每步迭代中，恒有，由于，故。WZ njjjxcZ1miiiybW1miiiybZ1如果原问题中的，都不发生变化，而中只有发生变化，可jcija), 2 , 1(mibikb以预见，若限定在某一范围内变化时，原问题的最优基 B 可能保持不变，这里若把kb最优解对应的目标函数值，看成是的

45、函数，则偏导数miiiybZ1mbb,1 3-1kkybZ即为增加一个单位时所引起的最优值的改变量。kb（3）资源的影子价格又是一种机会成本。仍以前例来说明，如果购买原材料，其市场价格是 0.4 万元，而计算出的影子价格是 0.6 万元，当然买进时合算的。鉴此，可以得出这样的结果：在生产决策中，资源的市场价格低于影子价格，即可买进，反之又可以卖出这种资源。影子价格与市场价格保持同等水平，则处于平衡状态【3】。20（4）由于对偶问题的互补松弛性质中有“当时，当时njijijbxa10iy01y有” ，这表明生产中若某种资源的拥有量未得到充分利用时，该资源的影njiiijbxa1ib子价格为 0

46、时，表明该种资源在生产中以耗尽。（5）影子价格的计算可以反映出产品的隐含成本， （生产单位产品消耗资源的影子价格的总和即产品的隐含成本） 。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该种产品有利，反之，说明利用该资源生产其他产品会更有利。此即单纯形法中各个检验数的经济意义。（6）一般来说，对线性规划原问题求解是确定资源的最优配置，而对于对偶问题的求解则是对资源的恰当估价，这种估价对合理利用资源，控制成本，计算最低利润等都是实用有效的。第四章第四章 两参数线性规划问题的解法两参数线性规划问题的解法4.1 两参数线性规划的定义两参数线性规划的定义两参数线性规划定义为如下形式的线性规划（记为）),(21LP

47、 4-1其中是给定的价值向量，是给定的变化向量，),(21nCCCC),(21nCCCC是给定的右端系数向量， 是变化向量，为Tmbbbb),(21Tmbbbb),(2112未知参数。显然，当时，变成，这就是通常的线性规划021),(21LP)0 , 0(LP问题。对于，如果改变参数的值，将引起全体价值系数的变化，如果改变参),(21LP1数的，将约束方程右端系数同时发生变化。我们来讨论随着，取值的变化，最212优解将发生什么变化【10】。0),()(),(min221121XbbAXLPXCCZ214.2 两参数线性规划问题的求解方法两参数线性规划问题的求解方法首先需要用分块矩阵将的单纯形法

48、进行简化。为如下的线性规划：)0 , 0(LP)0 , 0(LPCXZ min 4-20)0 , 0(XbAXLP设，则矩阵形式为：)(,)(DBDBCCCXXXDBA 4-30,)()(minDBDBDBDBXXbXXDBXXCCZ若是最优基，则单纯形法的实施步骤可简化如下B 4-411111111_100BDBDDBBDBBDbIB DB bIB DB bC CZCCZCC B DZC B bIB DB bCZC B b其中 I 为单位阵，为非基变量的检验数，它是非负的。由DBCCCBDD1_DX得最终表 4-4 可以看出，最优解。)0 , 0(LPbBCZbBXB11*min,0下面我们

49、来讨论的求解方法。同前一样，的单纯形法可简化),(21LP),(21LP如下：11221111112111112()()0()()()()BDBDBDBDDBBDBBBDbbIB DBbbCCCCZCCCCZIB DBbbCC B DCC B DZCCBbb22 ， 4-5112_111()0()()DDBBIB DBbbCCZCCBbb其中同前所述，。DC_1DBCCC B D下面我们分四种情况来讨论：情形 当，且时，与有相同的最优基，_10DDCC0)(21bbB),(21LP)0 , 0(LP其最优解为：，0)(21*bbBX)(),(min_121BBCCZ 。12()Bbb情形 当，

50、且，用单纯形法继续换基_1120()0DDCCBbb且0)(21bbB即可。具体步骤如下：1）求的最终表 4-5、最优基及。)0 , 0(LPB1B 4-6bBCZCbBDBIBD1_1102）在 4-5 的末行添加，末列添加得到一个新的分),(11DBCC1212bBCbBB块矩阵 4-71211_1211)(bBCbBCZCCCbbBDBIBBDDB对此矩阵试行行的初等变换即得 4-7。3）对 4-7 施行单纯形法，继续换基就可得最优解、最优值。情形 当且时，用对偶单纯形法继续换基即可。_10DDCC0)(21bbB情形 当且时，这就需要引进人工变量，用大法求_10DDCC0)(21bbB

51、M解。4.3 两参数线性规划问题的分析与求解两参数线性规划问题的分析与求解讨论当，时，下列参数线性规划问题的最优解：0150223211121)21 ()2(),(minxxZ0,21025210212222121xxxxxx解 将上述模型化为标准型)5 , 2 , 1(021025210)21 ()2(),(min2522421231211121ixxxxxxxxxxZi1）求的最终表)0 , 0(LP301020010100105111001000101200021010100) 1 (0150111010001010001215100102501011100010) 1 (ZZZ由的最终

52、表可得)0 , 0(LP2212221216252102252212100111001100111001bBCbBBB2）由的最终表可得如下：)0 , 0(LP211222630102221010010551110021000101Z24。)210)(3(210200210100005511100210001012111222Z3）a当且即，021021102100550210222201102，。TX)0 ,55 , 0 ,210,210(222*)210)(3(min21Zb.当，时，用对偶单纯形法求解，分两种情况讨2015120552论：当时，此时以为主元进行换基运算如下：3101112

53、21125a)210)(3(210200210100005511100210001012111222Z。21211122282035021310021001110551110021000101Z此时，最优解为，TX)55 , 0 , 0 ,315,210(222*。212182035minZ当时，以为主元换基运算如下：231121221123a)210)(3(210200210100005511100210001012111222Z 。2121112227454013200021010010551110031511001Z此时，最优解为，TX)0 , 0 , 55 ,210,315(222*2

54、5 。212174540minZc.当，时，这时以为主元进行换基运算如下：21102021113a) 12)(210(2100022101001031511001210001011211222Z此时，最优解为，TX)0 ,315,210,210, 0(222*。) 12)(210(min12Zd.当，时，用大法求解如下：215120210552M)210)(3(210200210010010551111002100001012111222ZM0212002100100105511111021000010111222MMM2121111222745402132000210010010551111

55、00210111001ZM212111222422010120002210010010210000101315111001ZM其中。MMZ5530261022121此时，最优解为，TX)0 ,315,210,210, 0(222*。2121422010minZ 综上，得出该两参数线性规划的优化结果是分片函数：261212121212min1212122112121212(3)(102)02 0113520801531405472 053(102)(21)2 01102024215Z ，其部分仿真结果如图 4-1，4-2。00.511.5200.51-60-55-50-45-40-35-30优

56、优 1优 优 2优 优 优图 4-1020004000600080001000012345-4-3-2-10 x 105优 优 1优 优 2优 优 优图 4-227第五章第五章 结结论论参数线性规划理论从提出至今已有五十多年的历史，期间大量的数学家共同努力研究出许多关于参数线性规划的算法，针对实际问题建立参数线性规划模型并求得最优解，解决了大量生产管理和科学技术中的问题。参数线性规划的研究意义重大，实际处理时可将参数线性规划模型与线性规划理论密切联系，并运用到实际生产活动中，为实际生产活动提供理论指导，达到了增加收益、降低成本的目的。目前参数线性规划还有许多问题需要进一步的研究。比如当 A,C

57、,b 同时变化时如何有效快捷地求出最优解的特征区间；如何解决参数、约束条件都非常多的大型参数线性规划模型问题等，还有许多工作要做。参数线性规划的理论研究还需要进一步深化。由于实际问题影响因素的日益复杂化，参数线性规划问题的规模也在逐渐增大。28参数线性规划的算法还需要进行更加深入的研究和改进。应用计算机软件，利用计算机快速求解参数线性规划问题。还需要进一步完善理论研究成果，使参数线性规划模型在跟踪市场动态，准确快速提供决策方面发挥更加积极的作用。参考文献1 卢开澄，卢华明.线性规划M.清华大学出版社，2009. 2 利奥尼德尼森瓦泽斯坦，克里斯托弗卡特利尔伯恩.线性规划导论（英文版）M.机械工

58、业出版社，2005.3 张干宗.线性规划M.武汉大学出版社，2005.4 希利尔.运筹学导论M.清华大学出版社，2007.5 熊伟.运筹学M.武汉理工大学出版社，2005. 6 简金宝，韦小鹏.变量有界单参数线性规划的灵敏度分析J.河南师范大学学报，2007，35(3).101105. 7 朴凤华，张永.二层参数线性规划的灵敏度分析J.通化师范学院学报，2005，26(6).29258261. 8 靖新，缪淑贤，陈仲堂，徐厚生，戚中.求解大型参数线性规划问题的搜索算法J.沈阳建筑工程学院学报，2004，20(3).180182. 9 熊洪斌，叶祥企.一类新的参数线性规划最优解研究J.江西师范大

59、学学报，2006，30(4).156157. 10 申芸，吕咏梅，周永权.用进化策略和神经网络求解参数线性规划J.计算机应用与软件，2009，26(2).124126. 11 饶区琴，叶祥企，邹腊英.一类关于运输问题的参数线性规划最优解的研究J.物流科技，2007，30(12).157159.12 刘桃凤.用分块矩阵法求解参数线性规划J.电力学报，2000，15(1).7879.谢辞谢辞经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。在论文

60、写作过程中，得到了 xxxx 的亲切关怀和耐心的指导。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成,xxxx 都始终给予我细心的指导和不懈的支持。多少个日日夜夜，xxx 不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，除了 xxx的专业水平外，她的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。在此谨向 xxxx 致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 30在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢

61、意！最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们！最后我还要感谢理学院 xxxx 和我的母校xxxxxxxx 四年来对我的栽培。ag an employment tribunal clai Emloyment tribunals sort out disagreements between employers and employees. You may need to make a claim to an employment tribunal if: you dont agree with the disciplinary action your employer has taken

62、against you your employer dismisses you and you think that you have been dismissed unfairly. For more informu, take advice from one of the organisations listed under Further help. Employment tribunals are less formal than some other courts, but it is still a legal process and you will need to give e

63、vidence under an oath or affirmation. Most people find making a claim to an employment tribunal challenging. If you are thinking about making a claim to an employment tribunal, you should get help straight away from one of the organisations listed under Further help. ation about dismissal and unfair

64、 dismissal, see Dismissal. You can make a claim to an employment tribunal, even if you havent appealed against the disciplinary action your employer has taken against you. However, if you win your case, the tribunal may reduce any compensation awarded to you as a result of your failure to appeal. Re

65、member that in most cases you must make an application to an employment tribunal within three months of the date when the event you are complaining about happened. If your application is received after this time limit, the tribunal will not usually accept i. If you are worried about how the time lim

66、its apply to you If you are being represented by a solicitor at the tribunal, they may ask you to sign an agreement where you pay their fee out of your compensation if you win the case. This is known as a damages-based agreement. In England and Wales, your solicitor cant charge you more than 35% of your compensation if you win the case.youre clear about the terms of the agreement. It might be best to get advice from an experienced adviser, for example, at a Citizens Advice Bureau. To find your n