（推荐）大纲版高二数学下§6.1不等式性质(修改稿共11页)

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1、第六章 不等式* 6.1 不等式的性质 *魔法石核心知识归纳：1、等价性质： 此性质是比较两式大小的一种常用方法：作差、判断与0的大小关系2、基本性质：对称性：传递性：可加性：可乘性： 注意：只有对称性是双剪头，其余都只能从左推出右，可乘性必须考虑C的符号，这是最易忽视的。3、拓展性质：移项法则：加法法则：减法法则：乘法法则：除法法则：乘方法则：开方法则：以上法则均是从左至右单向变换，在解不等式时用得较多。找捷径难点疑点突破：1必须注意同向只能相加，不能相减例1：设f (x)=ax2+bx，且5f (1)7，-3f (-1)-1，则a、b的取值范围是。解： f (1)= a+b f (-1)=

2、 a-b5a+b7-3a-b-1由+得1a3由得1b- a3由+得3b4点评：为了求出b值。不能用-得出。只能化为式，再同向相加，否则是错误的。2、同向相乘必须注意两式均大于0。例2：已知sin+cos，-sin-cos-，求cos2的取值范围。解：-sin-cos- cos- sin 由得cos2- sin2 即cos2点评：这里式为非正数，不能直接与式对应相乘，必须转化为大于0再相乘。3注意各性质之间的充分性和必要性。例3：a+b2，ab1是a1且b1成立的什么条件？ a+b2，(a-1)(b-1)0是a1且b1成立的什么条件？解：必要条件；充要条件当a=3，b=时，ab=1且a+b2，而

3、a1且b1显然有ab1且a+b2(a-1)(b-1)0，则a-1与b-1同号，又a+b2 (a-1)+ b-10a1且b1，反过来显然成立。点评：这里实际说明同向不等式相加、相乘都是单向变换，而非双向变换。金钥匙解题方法与技巧：例1：判断下列命题的真假，并说明理由：解题规律： 由于ac2bc2 中没有等号，故c20，若有等号，则c2=0是有可能的，若是，则c20（1）（2）（3）对于字母a、b小于0的不等式问题，一般都转化为大于0来分析，这里抓住了ab0，问题还可以作如下转化：ab0化为-a-b0。（4）（5）若ab0，则 和 均成立。解析：、正确。 ab a+(-c)b+(-c) a-cb-

4、c 在利用不等式的性质判断不等式的真伪时，关键在搞清楚不等式性质的条件与所研究问题条件的一致性，而否定一个结论只需举一个反例即可。、错误。 若c0时 ac0, 则 若ab0，则abab ba例2：比较大小：已知：a1， 和 ，试比较M与N的大小。解析：比较大小的依据就是利用不等式的等价性，作差或作商都可。解题规律：两数比较大小可以作差比较，(分解因式或配方)，也可以作商比较，但是作商比较时，需注意两个式子的值是大于0还是小于0，它适应于单项式。如： 但-2-3，对于无理差式一般地转化为无理和式，这样可以判定与0的大小关系。a1 a-1, a, a+1 均为正数，且a-1a+1 即 MN点金术思

5、维拓展发散例3：不等式性质与函数二次函数。已知二次函数y=f (x)的图象过原点，且 1f (-1)2, 3f (1)4，求f (-2)的范围。思维互动：生： f (-2) = 4a-2b，又 1f (-1)2 1a-b2 ，3f (1)4 3a+b4，则：+得2a3由得-2b-a-1，+得，由、分别可得 84a12 所得结果与前面结果不同。师：此范围较正解范围偏大，原因是变形过程中多次运用了不等式性质,扩大了变量的取值范围。解析：可设f (x)=ax2+bx的图象过原点，则f (-2) = +4a-2b，若能求出a、b，用f (-1)和f (1)表示则问题获得。 f (1)=a+b f (-

6、1)=a-b 又：f (-2)= 4a-3b= f (-1) +f (1) 且 1f (-1)2, 3f (1)4 6 f (-2) 10也可用待定系数法：设f (-2)=m f (1) + n f (-1)方法规律：利用不等式求变量范围时，尽量减少同向相加和同向相乘的次数，方法是先用已知变量来表示要求变量，再用不等式代入。例4：证明不等式已知：，求证：解析：这是一个有条件的不等式的证明问题，故需从条件入手进行分析，由条件能得出一些什么结论。证明：由 且 且ba故有：又：而 方法规律：这里的大小比较采用了放缩法（如）、及命题转化法（如平方差），一般地无理式比较大小，通常将它转化为有理式。例5：

7、不等式性质与三角函数。已知函数f (x)=tan x, x（0， ），若x1x2(0, )，且x1x2，比较 与 的大小。解析：要比较的两个式子都较抽象，首先应具体化，再作差解决。思维互动：生：由两式可以看出两式的分子与分母均为大于0的数。故只需比较分母大小关系就行。而式分母02cosx1cosx2=cos(x1+x2)+cos(x1-x2)0, 可得上述大小结论。师：这个方法很好，用到了不等式的可乘性，只是注意大于0的这个条件。f (x1)+f (x2)=+=f ()=tan=f (x1)+f (x2)-f ()=sin(x1+x2)-=x1x2(0，)，且x1x2 x1x2(-，)，且x1

8、+x2(0，)cosx10，cosx20，1-cos(x1+x2)0，1+cos(x1+x2)0，sin(x1+x2)0f (x1)+f (x2)-f ()0 f (x1)+f (x2)f ()方法规律：对三角函数不等式问题的证明，要善于利用正、余弦函数的有界性来判定符号。例6：我们知道：在ABC中，若c2=a2+b2，则ABC是直角三角形。现在请你研究：若cn=an+bn(n2)，问ABC是何种三角形，为什么？解析：本题条件较为抽象，可先考虑n=3，试探结论。取a=b=1 则 ， 画草图可知：ABC为锐角，这就有了目标，证ABC为锐角三角形。cn=an+bn(n2) ca, cb由c是ABC

9、的最大边，故要证ABC为锐角三角形，只需证明cos c0只需证明 a2+b2c2 即证（ a2+b2）cn-2cn ca, cb n2 cn-2an-2, cn-2bn-2即：cn-2-an-20, cn-2-bn-20-从而：（ a2+b2）cn-2- cn=（ a2+b2）cn-2-an-bn = a2（cn-2- an-2）+ b2（cn-2- bn-2）0 a2+b2c2 即cos c0 c是锐角，ABC为锐角三角形。方法规律：对于与n有关的探索性问题，可以从特殊值来找规律，确定解题的方向与目标。根据不等式的等价性，通常将要证不等式转化为比较大小，即作差或作商，这是证明不等式的常用方法

10、。要说明某个多项式大于0，可考虑1分解因式，2配方，3说明每个单项式均大于0。试试看潜能挑战测试：基础知识1、a、b是任意实数，且ab，则（ ）A、a2b2B、 C、lg (a-b)0D、2、若x+y0，a0，ay0, 则xy的值为（ ）A、大于0B、小于0C、等于0D、符号不确定3、设ab，则下列不等式成立的是：（ ）A、B、C、D、2a2b4、已知命题：a1且b1，则与此命题等价的命题是：A、a+b2且ab1 B、a2且b0 C、a0且b0 D、a-10且b-105、已知：a0，b0则下列各式成立的是（ ）A、B、C、D、a+b6、已知三个不等式：ab0， ，bcad，以其中两个作为条件，

11、余下一个作为结论，则可以组成 个真命题。7、若角、满足，则2-的取值范围 。8、若ab0，比较大小.9、在等比数列a n和等差数列b n中，a1=b10, a3=b30，a1a3，试比较a5b5。思维拓展10、已知f (x)= ax2- c 且 - 4f (1)- 1, - 1f (2)5, 求f (3)的取值范围。11、设a、b、m、n是正数，且m+n=1，比较与的大小。12、设f (x)= x2+1，g(x)=f f (x)，令F (x)=g (x) -f (x) 问是否存在，使 F (x)在区间上是减函数，且在区间上是增函数。13、已知函数f (x)= ax2+4x+b(a, bR, a

12、0)，设关于x的方程f (x)= 0的两实根为x1和x2，f (x)=x的两实根为、，若12 求证：x1x22应用创新14、4支郁金香和5支丁香的价格之和小于22元，6支郁金香和3支丁香的价格之和大于24元，则2支郁金香与3支丁香比较：在付款时哪种情况付款多？15、一间房子的地面平方为a，窗子的平方为b，如果地面平方a与窗子平方b同时增m平方，问房子采光的效果与原来相比是变好了还是变差了？16、甲、乙二人沿同一条路，同时从A地出发走向B地，甲用速度V1与V2（V1V2）各走全程的一半，乙用速度V1与V2各走全程所需时间的一半，试判定甲、乙两人谁先到达B地。17、甲、乙、丙三种食物的维生素A、B

13、的含量及成本如下表：某食物营养 研究所用xkg甲种食物，ykg乙种食物，zkg丙种食物配成100kg的混合食物，并使混合物中至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B。（1）用x、y、z表示混合物的成本C（元）。（2）确定x、y、z之值，使混合物的成本最低。标准答案与提示1、D （点拨：函数 ,为减函数ab f (a)f (b) a0ay02、A （点拨： y0，x+y0 xyx+y0 ） 3、D （点拨：由f（x）=2x为增函数可知。）4、D（点拨：, ）5、A （点拨：可用特值法：令a=b=1代入验算）6、3个（点拨：成立 成立，成立成立，成立成立）7、（点拨：, -2，相加2

14、-，但)8、 又 9、设等比数列a n的公比为q，等差数列b n的公差为d。 且已知 而 10、由11、作平方差：12、，假设存在实数的值使F(x)满足题设，则任取x1x2F(x2) 即 而，故3当x1，x2（- ，0 ）时，F(x)单调递增则F(x1)F(x2) 即 而 故3综合可知：当=3时，F(x)符合题意。13、a0且 12由可得：14、解：设每支郁金香为x元，每支丁香为y元4x+5y226x+3y24则 设2x3y=a(4x+5y)=b(6x+3y) 2x3y22+24=0故2支郁金香贵于3支丁香15、解：本题实为比较与的大小。故采光效果变好了。16、解：设全程为2S，则甲走全程所需时间为 ，乙走全程所需时间为2t，则 乙先到达B地。17、解析：（1）（2） 而 此时 x=50kg，y=20kg，z=30kg 李读华友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！10 / 10