基于“奖优罚劣”的区间数多指标灰色关联决策模型

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1、精品论文大全基于“奖优罚劣”的区间数多指标灰色关联决策模型卫贵武1,2，魏宇11.西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031）2.川北医学院数学系，四川南充（637007）E-mail：weiguiwu摘要：针对区间数多指标系统的决策特点，对指标数据初始化处理时，利用“奖优罚劣”原则，提出了一 种易于计算且实用的-1,1线性变换算子，然后定义正、负理想方案，给出了区间数多指标决策问题的灰色关联分析方法。该模型为区间数多指标决策提供了一种科学、实用的方法，并利用现有的实例来证实此方法的科学性与可行性。 关键词：区间数，多指标决策，奖优罚劣，灰色关联分析中图分类号：C934文献标识码：A-7

2、-0. 引言近年来，在实际问题中，决策信息由于估计不 准确或测量的误差常常带有不确定性，导致信息的n且， jj =1为区间数= 1。方案 Ai 在评价指标 G j 下的指标值L , R量化多数以区间的形式出现。于是，区间数多指标aijaij ，区间数决策矩阵 A 为：决策问题的解决方法便成为决策界所关注的课题 a L , a R a L , a RLa L , a R1-10。对于区间数多指标决策问题，由于指标具有 111112121n1n 不同的量纲，难以对它们直接进行比较，需要对原 a21 , a21 a22 , a22La2 n , a2 n LRLRLRA = 始区间数决策矩阵进行初始

3、化处理。而现有的对区 KL L L 间数决策矩阵处理都是采用在0,1区间上的线性变 LR LR LR 换法，这种方法存在只奖不罚的不足。文献11，12am1 , am1 am 2 , am 2 Lamn , amn 给出了确定情形下，把规范化决策矩阵中的数值从 0,1扩充到-1,1上。本文对评价指标的权重确定、 评价指标取值为区间数的多指标决策问题进行了 研究，提出了一种易于计算且实用的-1,1线性变换 算子，该变换把规范化区间数决策矩阵的数据从 0,1区间上拓展到-1,1上,给出了区间数多指标决 策的灰色关联分析方法。最后，进行了实例分析。 区间数的运算请参见文献13。步骤1 区间数决策矩阵

4、的规范化处理。 文献11,12研究了评价指标取值为精确数时，把决策矩阵的规范化方法从0,1上拓展到-1,1上。 本文则是当评价指标取值为区间数的时候，把区间 数决策矩阵的规范化方法从0,1上拓展到-1,1上， 提出了一种易于计算且实用的-1,1区间数线性变 换算子。其基本思想为：LR1. “奖优罚劣”的区间数多指标决策模 型评价指标 G j 区间数ijijm的平均值为aij , aij(i = 1, 2,L, m)假设指标取值为区间数多指标决策问题，有 ma j =1 (a L + a R ), j = 1, 2,L, n.个可行 方案 A1 , A2 ,L, Am， n 个 评价指 标2m

5、i =1现以效益型指标为例加以说明，则以 a j 作为平G1 , G2 ,L, Gn ，评价指标 G j 的权重 j 确定， 并均水平，对那些优于 a j 的 aij 赋予正值，对那些劣1 本课题得到国家自然科学基金资助项目(70501025)的资助。min min + max max 于 a j 的 aij 赋予负值。以体现“奖优罚劣”原则。ij = 1i m 1 j n1i m 1 j nij(6)ij + max max 若评价指标为效益型指标，则 a L aa R a 其中5,6，ij1i m 1 j nijbL , bR= ij j , ij j (1)a ja jij =yj ,

6、yj rij , rij= max( yj rij, yj rij )ijij + +若评价指标为成本型指标，则 = z , z+ r , r+ = max ( z r , z+ r+ ) a a Ra a L ijjj ij ij jijjijijijbL , bR= j a jij ,j ij a j(2)i = 1, 2,L, m ，j = 1, 2,L, n 。式中, 为分辨系数，其中， i = 1, 2,L, m ， j = 1, 2,L, n 。变换后的矩阵记为： B = ( bL , bR ) 0,1 ，一般取 = 0.5 。计算各方案对于正和负理想点的关联度：ijijmn 11

7、nn + = + , = , i = 1, 2,L, m. ，(7)这样得到的 bL 有可能小于-1， bR 有可能大于inijinijijijj =1j =11，可用下面的变换将矩阵 B 规范化，得到规范化步骤 5 计算各方案对于正理想点的相对关联度。决策矩阵 C = ( c L , c R )，其中C = + + +(8)ijijmn ii(ii ) Lbc L , cR = ijbR,ij (3)按 Ci 由大到小的顺序排序，相应地，排在前面ijijijij max( bL , bR ) max( bL , bR ) 的方案最优。 iijijiijij2. 应用举例易知 cL , c R

8、 1,1 。步骤 2 求区间数加权决策矩阵 R = (r L , r R )。为开发新产品，拟订了 5 个投资方案 A1A5 ，L , R L ,R L ,ijijmn R4 个评价指标 G1G4 （指标分别为投资额、期望rijrij= wj cijcij= wj cijwj cij净现值、风险盈利值和风险损失值），各指标的单i = 1, 2,L, m ， j = 1, 2,L, n 。(4)位为万元，其中，G 和 G 为成本型指标，G 和 G1423步骤 3 确定正理想点和负理想点。为效益型指标14。指标区间数决策矩阵为正理想点为： y =y L , y R= max r L , max r

9、 R 5, 74, 6 4, 6 0.4, 0.8jj iijiij 负理想点为： z =z L , z R= min r L , min r R 10,12 6, 85, 71, 2 jj iijiij A = 5, 64, 63, 50.4, 0.8 步骤 4 计算各方案对于正理想点和负理想点的关 联度。 计算各方案对于正和负理想点的关联系数： 9,115, 75, 71,1.5 6, 83, 43, 40.5,1 ijijmin min + + max max +评价指标 G1 , G2 , G3 , G4 的权重为： + = 1i m 1 j n1i m 1 j n(5)ij+ + m

10、ax max + = 0.15,= 0.2,= 0.2,= 0.45 。ij1i m 1 j nij1234步骤 1 由式(1)(3)得决策矩阵 B 和规范化决策矩阵 C 0.114, 0.367 -0.245, 0.132 -0.184, 0.224 0.149, 0.574 -0.519,-0.266 0.132, 0.509 0.020, 0.429 -1.128,-0.064 B = 0.241, 0.367 -0.245, 0.132 -0.388, 0.020 0.149, 0.574 -0.392,-0.139 -0.057, 0.321 0.020, 0.429 -0.596,

11、-0.064 -0.013, 0.241 -0.434,-0.245 -0.388,-0.184 -0.064, 0.468 0.220, 0.707 -0.481, 0.259 -0.429, 0.524 0.132, 0.509 -1.000,-0.512 0.259, 1.000 0.048, 1.000 -1.000,-0.057 C = 0.463, 0.707 -0.481, 0.259 -0.905, 0.048 0.132, 0.509 -0.756,-0.268 -0.111, 0.630 0.048, 1.000 -0.528,-0.057 -0.024, 0.463 -0

12、.852,-0.481 -0.905,-0.429 -0.057, 0.415步骤 2 由式(4)得到加权规范化决策矩阵 R 0.033, 0.106 -0.096, 0.052 -0.086, 0.105 0.059, 0.229 -0.150，-0.077 0.052, 0.200 0.010, 0.200 -0.450,-0.025 R = 0.070, 0.106 -0.096, 0.052 -0.181, 0.010 0.059, 0.229 -0.113,-0.040 -0.022, 0.126 0.010, 0.200 -0.238,-0.025 -0.004, 0.070 -0

13、.170,-0.096 -0.181,-0.086 -0.025, 0.187步骤 3 确定正理想点 y 和负理想点 zy = 0.070，0.106 0.052，0.200 0.010，0.200 0.059，0.229z = -0.150，-0.077 -0.170，-0.096 -0.181，-0.086 -0.450，-0.025步骤 4 由式(5)(8)得到各方案对于正理想点的相 对关联度C1 = 0.539 , C2 = 0.472 , C3 = 0.529C4 = 0.479 , C5 = 0.429步骤 5 按 Ci 排序得方案的优先次序为：A1 f A3 f A4 f A2

14、f A5 。 因此最优投资方案为 A1 。3. 几种规范化方法的比较分析为了说明本文的基于“奖优罚劣”区间数规范化方 法提高了分辨精度，我们将在本文实例分析的基础 上，同时用几种一般的0，1上的区间数规范化方 法来进行对比分析。选用的规范化方法有文献1 的规范化公式(4.13)和(4.14)；文献2-4的规范化方 法和文献14的规范化方法。为了突出可比性，用 这三种规范化方法来替换本文的步骤 1 的“奖优罚 劣”的规范化方法，其它的计算步骤保持不变，最 后计算出对方案进行排序的相对关联度。同时，由 于在灰色关联分析中，灰色分辨系数是直接影响灰色关联分析分辨率的一个因子。分辨系数 在一般的文献中

15、取 = 0.5 。文献15通过论证灰色关联分析中分辨系数对灰色关联系数的影响，认为当 = 0.05 时，可以使灰色关联系数的取值区间的长度达到 0.95。这样既符合统计数据分析领域的 0.95原则，又可以提高灰色关联分析的分辨率。因此本文的分 析也 取 = 0.05 进行了 分析， 为了 和 = 0.05 进行对比，同时也取了 = 0.95 进行分析。为此，下面我们用四种规范化方法在 = 0.05 、 = 0.5 和 = 0.95 时的对比分析情况。从表 1-表3 可以看出本文的“奖优罚劣”区间数规范化方法与参考文献1,2-4,14的区间数规范化方法相比,确实提高了分辨精度，并且在 = 0.0

16、5 时的分辨精度非 常明显，在 = 0.5 时的分辨精度比较明显，在 = 0.95 时的分辨精度一般。表 1 在 = 0.05 时，5 种方案在 4 种规范化方法下的相对关联度方案 A1方案 A2方案 A3方案 A4方案 A5本文的“奖优罚劣”规范化的方法0.6480.4870.6500.4970.210文献1的规范化的方法0.5170.4330.5200.3630.249文献14的规范化的方法0.5630.4580.5650.3720.212文献2-4的规范化的方法0.5540.4580.5650.4570.239表 2 在 = 0.5 时，5 种方案在 4 种规范化方法下的相对关联度方案

17、A1方案 A2方案 A3方案 A4方案 A5本文的“奖优罚劣”规范化的方法0.5390.4720.5290.4790.429文献1的规范化的方法0.5300.4470.5250.4370.450文献14的规范化的方法0.5310.4510.5240.4350.431文献2-4的规范化的方法0.5290.4510.5240.4650.453表 3 在 = 0.95 时，5 种方案在 4 种规范化方法下的相对关联度方案 A1方案 A2方案 A3方案 A4方案 A5本文的“奖优罚劣”规范化的方法0.5280.4760.5210.4840.459文献1的规范化的方法0.5250.4610.5220.4

18、560.473文献14的规范化的方法0.5250.4630.5210.4550.461文献2-4的规范化的方法0.5240.4630.5210.4760.4774. 结 论本文对区间数指标规范化方法进行了研究，提 出了一种易于计算且实用的-1,1线性变换算子，并 且对于评价指标权重确定，评价指标取值为区间数 的多指标决策方法进行研究，给出了基于“奖优罚 劣”区间数多指标决策问题的灰色关联分析方法。 最后，进行了实例分析。该方法提高了分辨精度， 突出了“奖优罚劣”原则，物理概念更加清晰。参考文献1 徐泽水.不确定多属性决策方法及应用M.北京:清华大 学出版社,2004.2 张吉军,刘家才.区间数

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26、 Mathematics, North Sichuan Medical Coll. , Nanchong,China （637007）AbstractWith respect to the decision character of multiple attribute decision making with interval numbers, in initializing theattribute data, a new linear changing operator in -1,1, which is easy to compute and be applied, is propos

27、ed. Then the positive ideal point and negative ideal point are defined. A new decision making model was proposed for multiple attribute decision making with interval numbers, which is based on the method of Grey Relational Analysis (GRA). All of the above provide a scientific and applied decision me

28、thod for multiple attribute decision making with interval numbers. Lastly, this method is demonstrated to be scientific and effective with a practical example.Keywords: interval number; multiple attribute decision making ; rewarding good and punishing bad; Grey RelationalAnalysis (GRA)作者简介：卫贵武（1973-），男，副教授，博士研究生，从事决策分析，应用统计，公司理财及金融工程 等研究。