基于MATLAB的FIR数字低通滤波器设计

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1、*实践教学*兰州理工大学计算机与通信学院2014年春季学期信号处理课程设计题 目： FIR数字低通滤波器 专业班级： 通信工程二班 姓 名： 姚奇 学 号： 11250211 指导教师： 何继爱/朱宁宁 成 绩： 摘 要FIR数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分，由于FIR数字滤波器具有严格的线性相位，因此在信息的采集和处理过程中得到了广泛的应用。本文介绍了FIR数字滤波器的概念和线性相位的条件，分析了窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器的思路和流程。在分析三种设计方法原理的基础上，借助Matlab仿真软件工具箱中的fir1实现窗函数法中的哈明窗设计FIR低通滤波器。关键词

2、：FIR数字滤波器；线性相位；窗函数法；哈明窗；Matlab目 录前言1一 基本原理21.1 FIR数字滤波器概述21.2 FIR数字滤波器线性相位定义31.3 FIR数字滤波器线性相位时域条件3二 系统设计52.1 FIR数字滤波器的窗函数设计方法52.1.1 窗函数法的设计思路52.1.2 常见窗函数介绍62.1.3 吉布斯效应82.2 FIR数字滤波器频率采样设计法92.3 FIR数字滤波器等波纹逼近设计法10三 详细设计123.1 程序设计流程123.2 Matlab简介123.3窗函数法的Matlab实现133.3.1 fir1函数介绍133.3.2基于fir1函数的窗函数法FIR滤

3、波器设计14总结17参考文献18附录19致谢21 前 言随着信息科学和计算机技术的不断发展，数字信号处理(DSP，Digital Signal Processing)的理论和技术也得到了飞速的发展，并逐渐成为一门重要的学科，它的重要性在日常通信、图像处理、遥感、声纳、生物医学、地震、消费电子、国防军事、医疗方面等显得尤为突出。在我们面临的信息革命中，数字信号处理几乎涉及了所有的工程技术领域1。数字信号处理是一种将信号以数字形式进行处理的一种理论和技术，它的目的是将真实世界中的一些信号进行分析并滤波，最后得出其中的有用的信号。数字滤波器是数字信号处理的一种，一般根据单位脉冲响应h(n)分为无限脉

4、冲响应(IIR)和有限脉冲响应(FIR)系统。IIR数字滤波器的设计方法简单，特别是采用双线性变换法来设计的数字滤波器不存在频域混叠的现象，但是IIR滤波器存在一个较为明显的缺憾，就是它的相位响应一般都是非线性的，而在传输频带内的相位响应如果不是线性的，就会造成有用信号的传输失真，而FIR数字滤波器不仅可以设计成任意的幅度响应，而且可以设计成在通频带内具有良好的线性相位响应2。FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)有限长，所以FIR数字滤波器是稳定的，不存在稳定性的问题，且可以通过快速傅里叶变换(FFT)的算法来实现信号滤波，大大的提高的运算效率。因此，FIR数字滤波器日益引起了人们的关注。F

5、IR数字滤波器的设计方法有很多，比较常用的有窗函数设计法、频率采样设计法、等波纹逼近法等。本课题通过运用窗函数设计FIR数字低通滤波器，并实现对给定的信号进行滤波。窗函数设计法是最基本的数字滤波方法，是利用傅里叶反变换(IDTFT)计算给定的频响的理想单位脉冲响应，再加以窗函数进行截断和平滑 3。Matlab软件的信号处理工具箱提供了FIR数字滤波器设计的子函数，运用Matlab软件设计可以避免繁杂的数学运算，而且具有丰富的绘图功能，可以方便地查看所设计的数字滤波器的幅度响应和相位响应是否满足设计要求。因此，本课题在理论分析各种FIR数字滤波器设计方法的基础上，运用Matlab软件进行仿真分析

6、。一 基本原理1.1 FIR数字滤波器概述一般来说一个经典的数字滤波器是一个线性时不变系统，其数学模型可以用Z域系统函数来表示： （1-1）其中均为滤波器参数。在式（1-1）中，当值不全为零值时，Z域系统函数必定含有一个或一个以上的极值点，此时单位脉冲响应为无限长，对于一个稳定的数字滤波器来说，Z域系统函数必须在单位圆内，因而把含有极值点的Z域系统函数的数字滤波器称为无限脉冲响应数字滤波器(Infinite Impulse Response)，即IIR数字滤波器4。而当值全为零时，Z域的系统函数只有一个零点，式（1-1）表示的系统函数可以写成： （1-2）公式（1-2）表明，FIR滤波器的系统

7、函数是的阶多项式，在有限平面上有个零点，而在平面原点处有阶极点。公式（1-2）表示的系统，其单位脉冲响应可以表示为： （1-3）在式（1-3）中，只有当，才有非零值，所以数字滤波器的脉冲响应是有限长的，因此在数字信号处理中把这种数字滤波器称为有限脉冲响应数字滤波器(Finite Impulese Response)，即FIR数字滤波器。FIR数字滤波器最突出的两个优点是：（1）只要对附加一定的条件，就很容易获得严格的线性相位。（2）由于的极点位于原点处，所以FIR数字滤波器不存在稳定性问题。1.2 FIR数字滤波器线性相位定义设FIR数字滤波器脉冲响应的长度为N，则其频率响应可以表示为： （1

8、-4）上式通过欧拉恒等式展开可得到的相位特性，有两种线性相位特性，通常称为第一类线性相位和第二类线性相位。第一类线性相位特性： 是一个与无关的常数第二类线性相位特性： 是起始相位严格地说第二种情况时的是不具有线性相位特性的，但上述两种情况都满足群延迟是一个常数，仍可以视为具有线性相位的，在第二类线性相位中是常用的一种情况5。1.3 FIR数字滤波器线性相位时域条件对于第一类线性相位，即，通过一系列的运算整理之后可得到一个三角函数求和公式： （1-5）式中正弦函数为奇对称，当时，对称中心为，需要满足关于偶对称，即要求： ， （1-6）对于第二类线性相位，即时，通过运算得到公式： （1-7）函数为

9、偶对称，当时，对称中心也为。若要使上式成立，则要使关于奇对称，即要求：， （1-8）从上述分析看来，线性相位FIR数字滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时对的约束条件，对于第一类线性相位，冲激响应满足（1-6）式；对于第二类线性相位，冲激响应h(n)满足（1-8）式。二 系统设计FIR数字滤波器的设计方法主要有窗函数设计法、频率采样设计法以及等波纹逼近设计法三种，其中窗函数设计法是最常用的，其次是频率采样法，但这两种方法在设计中还会存在一些不足之处，所以需要优化的设计方法，而等波纹逼近法很好的弥补了窗函数法和频率采样法的不足6。2.1 FIR数字滤波器的窗函数设计方法2.1.1 窗函数法的设

10、计思路窗函数设计法是FIR数字滤波器里最简单的一种设计法，又叫傅里叶级数法，为了设计简单方便，通常选择所希望逼近的滤波器的频率响应函数为具有片段常数特性的理想滤波器，寻找一组，确定其频率响应，然后用来逼近1。窗函数法设计FIR滤波器是在时域中进行的，那么可以通过傅里叶反变换得到得到频率响应，即： （2-1）在实际中，一般是处于逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，因而单位脉冲响应是无限长的非因果序列，不能直接作为FIR数字滤波器的单位脉冲响应，因此需要对进行截断，转换为有限长的一段因果序列，也就是用一个有限长度的窗函数序列来截取，即，并将非因果序列转变为一个因果序列。截取的长度和加权窗函数的形状

11、都直接影响到逼近精度。以截止频率为，相位为零的理想低通滤波器为例，其频率特性为： （2-2）通过傅里叶反变换得到对应的为： （2-3）此时的是一个无限长的非因果序列，我们需要对其进行截断，变成一个有限长的因果序列。可以先把向右平移个点，得到为： （2-4）相应的传输函数为： （2-5）然后对截取从0到的N个点，N为窗函数的长度，所得的结果表示为： （2-6）表示窗函数，一般用下标来表示窗函数的类型，矩形窗记为。2.1.2 常见窗函数介绍常见的窗函数有矩形窗（Rectangle Window）、三角形窗（Bartlerr Window）、汉宁（Hanning）窗升余弦窗、哈明（Hamming）窗

12、改进的升余弦窗、布莱克曼（Blackman）窗、凯塞贝塞尔窗（Kaiser-Basel Window）7。矩形窗的窗函数为： （2-7）其频谱的幅度函数为 （2-8）矩形窗的主瓣宽度为，用矩形窗设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度近似为。三角形窗的窗函数为： （2-9）其频谱的幅度函数为 （2-10）三角窗的主瓣宽度为。汉宁窗窗函数为： （2-11）汉宁窗的频谱的幅度函数为 （2-12）汉宁窗的主瓣宽度为，汉宁窗在其两个端点都为零，实际中这两个端点的数据是不可用的。哈明窗的窗函数为 （2-13）其幅度函数为 （2-14）哈明窗是一种改进的余弦窗，能量更加集中在主瓣，是一种高效的窗函数，主瓣宽度与

13、汉宁窗的相同。布莱克曼窗窗函数为 （2-15）其频谱的幅度函数为 （2-16）该窗函数位移不同，幅度函数也不同，会使旁瓣进一步抵消，主瓣宽度为。凯塞窗是一种最优窗函数，不同于前面五种窗函数，凯塞窗是一种参数可调的窗函数，其函数形式如下： （2-17）其中 （2-18） （2-19）一般取15-25项可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般越大，主瓣越宽，而旁瓣幅度会随之减小，典型的数据在4到9之间。2.1.3 吉布斯效应 用窗函数对进行直接截断，得到有限长序列，并以代替，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯(Gibbs)效应。对于一个在有限区间分布的信号，其连续频谱在频域上分布往

14、往是无限的，而在实际信号处理时，我们通常只能在有限的区间内做傅里叶分析，也就是说，我们只能用有限区间来代替理论分析中的无限区间，多数情况下，我们总是选择信号的低频部分，而舍弃高频部分。而信号的高频部分往往是反应信号快速变化特征，如果信号本身是连续的，这样做一般不会引起信号的显著变化，但实际中的信号往往是比较丰富的，特别是信号本身存在剧烈变化的，这样做必定会引起一些误差。该误差引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动。为了减小吉布斯效应带来的影响，需要调整窗口的长度来控制过渡带的宽度，但要减小带内的波动以及增大阻带衰减，还需要从窗函数的形状上寻找解决方法8。为了减少序列因截断而产生的Gibbs效应，

15、窗函数在设计时需要注意：(1)频率特性的主瓣要尽可能的窄，并且尽量把能量都集在主瓣内。(2)窗函数频率特性的旁瓣趋于的过程中，其能量迅速减小为零。虽然窗函数设计法设计思路简单，但是它的边界频率不容易控制，而且窗函数还有吉布斯效应，需要选择不同的窗函数来减小吉布斯效应对结果的影响，但无论哪种窗函数，都无法很好的解决这一问题，所以我们需要通过其他的设计方法来进行滤波，便于满足实际工程中的不同要求。2.2 FIR数字滤波器频率采样设计法窗函数设计法是从时域出发来设计FIR数字滤波器的，而频率采样法是从频域出发设计FIR数字滤波器的。和窗函数设计法相同，频率采样法也需要预先构造一个希望逼近的滤波器频率

16、响应函数，对其加以等间隔采样后，作为FIR数字滤波器的频率响应。对在到之间等间隔采样点，得到频率采样值： （2-20）再对进行点IDFT，得到： （2-21）将作为所涉及的FIR数字滤波器的单位脉冲响应，其系统函数为为 （2-22）由于滤波器频率响应是理想的，即有间断点，那么其单位冲激响应是无限长的。这样，由于时域混叠，引起所设计的h(n)和有偏差。因此，采样点处与相等，逼近误差为0，而在采样点之间，由有限项的之和形成。其误差和特性的平滑程度有关，特性愈平滑误差愈小；特性曲线间断点处，误差越大。误差表现形式为间断点用倾斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻带衰减减小，往往不能满足实际工程中的

17、技术要求。当然，增大N值，可以减小逼近误差，但间断点附近误差仍然最大，且N太大会增加滤波器级数与成本。提高阻带衰减最有效的方法是在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡。过渡带采样点个数与阻带最小衰减的关系以及使阻带最小衰减最大化的每个过渡带采样值求解都要用优化算法解决。其基本思路是将过渡带采样值设为一个自由量，用一种优化算法改变它们，最终使阻带最小衰减最大。2.3 FIR数字滤波器等波纹逼近设计法窗函数设计法和频率采样设计法虽然设计方法简单，但都存在滤波器边缘频率不易精确控制缺点，且这两种设计方法设计出来的滤波器的通带和阻带的波动幅度都是相等的，两种设计方法都不能

18、分别控制通带和阻带的波动幅度，而现实工程中往往对二者都有不同的要求，需要分别进行控制。等波纹逼近法是一种优化设计方法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺陷，是最大误差最小化设计方法，并在整个逼近频段上均匀分布。设为希望逼近的幅度特性函数，且要求设计线性相位的FIR数字滤波器时，必须满足线性相位约束条件。用表示实际设计的幅度特性函数，定义加权误差函数为 （2-23）式中，被称为误差加权函数，是由设计者定义的，用来控制不同频段的逼近精度。经过推导可把统一标示为： (2-24)式中，是系数不同的余弦组合式，记；是不同的常数，在设计FIR滤波器时存在四种线性相位，当且奇对称时，N为奇数，为1；N为偶

19、数时，为；而当偶对称时，不管N为奇数还是偶数，都取。利用等波纹逼近法设计FIR滤波器，其误差均匀分布在频带中，可以得优良的滤波特性，它在同样过渡带较窄的情况下，通带最稳定，阻带有最大化的最小衰减。三 详细设计3.1 程序设计流程采用窗函数法设计FIR数字低通滤波器程序设计流程如图3-1所示。 图3-1 窗函数法设计FIR滤波器流程3.2 Matlab简介Matlab是MATrixLABoratory（“矩阵实验室”）的缩写，是由美国MathWorks公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的，功能强大、操作简单的语言。Matlab是国际公认的优秀数学应用软件之一。它集中了日

20、常数学处理中的各种功能，包括高校的数值计算、矩阵运算、信号处理和图像生成等功能。在Matlab环境下，用户可以进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。除此之外，Matlab易于扩充。除内部函数外，所有Matlab的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可修改源文件和加入自己的文件，它们可以与库函数一样被调用。Matlab是一种矩形运算为基础的交互式程序语言，着重针对科学计算、工程计算和绘画的需求，与其他机器语言相比，其特点是简单和智能化，适应科技专业人员的思维方式和书写习惯，使得编程和调试效率大大提高。Matlab由一系列工具组成。这些工具方便用户使用Matla

21、b的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括Matlab桌面、命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着Matlab的商业化以及软件本身的不断升级，Matlab的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。Matlab自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。Matlab具有功能强大的工具箱，工具箱可分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、图示建模仿真功能、文字处理功能以及与硬件实时交互的功能。而学

22、科性工具箱是专业性比较强的，如优化工具箱、统计工具箱、控制工具箱、小波工具箱、图象处理工具箱、通信工具箱等。3.3窗函数法的Matlab实现3.3.1 fir1函数介绍Matlab信号处理工具箱提供了基于加窗的线性相位FIR滤波器设计函数fir1。fir1调用格式为：b=fir1(n, Wc,ftype,window)函数参数说明如下：1.n表示滤波器的阶数。2. Wc为滤波器的归一化截止频率，它是一个大于0小于1的一个数。3.ftype表示所设计滤波器的类型，如果ftype=high，则表示高通滤波器，如果ftype=stop，则表示带阻滤波器，如果此时没有参数，就表示低通滤波器。4.win

23、dow表示的是指定的窗函数，如矩形窗为rectwin(n)，三角窗为bartlett(n)，如果缺省window参数，则fir1默认为是哈明窗hamming(n)。3.3.2基于fir1函数的窗函数法FIR滤波器设计下面利用fir1函数的哈明窗法设计数字低通滤波器。利用fir1函数进行设计，这种设计方法只需要给出滤波器的阶数、截止频率、窗函数等参数，Matlab即可自行完成设计，并可通过freqz函数查看滤波器的幅频响应和相频响应。要求采样频率为2000Hz，通带截频为0.1，阻带截频为0.17，通带衰减小于等于0.1dB，阻带衰减大于等于50dB。程序参见附录。图3-1和图3-2为哈明窗法设

24、计的数字低通滤波器幅频、相频曲线图以及滤波器的增益响应图。图3-1哈明窗FIR滤波器幅频和相频特性曲线图3-2哈明窗FIR低通滤波器增益响应曲线从参考程序及图3-1和图3-2可以得到所设计的滤波器的参数为：滤波器的采样频率为2000Hz，滤波器阶数为266，滤波器的通带截频为0.1，阻带截频为0.17，过渡带宽为0.07，通带衰减为0.019dB，阻带衰减为53dB。图3-3和图3-4分别为信号滤波前的时域和频域图以及信号滤波后的时域和频域图。 图3-3 信号滤波前的时域和频域图图3-4 信号滤波后的时域和频域图从图3-3和图3-4的图像中可以看到：输入信号是由两个不同频率的正弦信号叠加而成信

25、号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，符合设计要求。总 结本次设计主要分析了FIR数字滤波器的基本理论，讨论了FIR数字滤波器的线性相位种类及其约束条件，分析了窗函数设计法、频率采样设计法、等波纹逼近法三种不同的设计方法，并借助Matlab软件对窗函数法进行了分析与仿真。窗函数设计法对信号加窗之后会使不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。在处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少，改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，其相对比例由窗函数形状决定。窗函数

26、设计法设计FIR数字滤波器是傅里叶变换的典型运用，而频率采样法设计的指导思想是通过频域采样点实现的，而等波纹逼近法可以使误差均匀分布，对于相同的技术指标，这种逼近法所需要的阶数最少，而对于相同的滤波器阶数，等波纹逼近法的误差可以达到最小。设计一个FIR滤波器不管是哪种方法，需要完成大量的计算和图形绘制工作，而且从上面的设计过程中可以看到，设计中只用到两个技术指标，也就是通过截止频率和阻带截止频率，其他指标：带内允许最大衰减，带外允许最小衰减指标，无法体现在设计过程中来，所以，设计结果通常不可能一次计算得到，往往需要反复多次处理，对比才能最终得到符合各项技术指标的设计结果，利用Matlab软件，

27、可以减少设计中的工作量，从而使FIR滤波器的设计变得简单快捷。参考文献1丁玉美, 高西全.数字信号处理 M.第三版. 西安:西安电子科技大学出版社, 2008, 6. 2余成波,陶红艳,杨菁等.数字信号处理及Matlab实现M.第二版.清华大学出版社,2008,1.3郑国强,傅江涛,彭勃等.数字信号处理理论与实践M.第一版.西安电子科技大学出版社,2009,8.4 闫胜利. FIR滤波器及设计原理J. 长春工程学院学报(自然科学版), 2003, 6, 4.5杨永昌,李晨辉,王凯. FIR数字滤波器的设计方法J. 桂林航天工业高等专科院校学报, 2006, 11.6李寿柏, 胡业林. MATL

28、AB在FIR滤波器设计中的应用J. 机电工程技术, 2007, 12.7 朱敏. MATLAB数字信号处理工具箱的开发和应用J. 信息与电脑, 2010, 2.8 张小虹, 黄忠虎, 邱正伦等. 数字信号处理M.北京：机械工业出版社, 2008, 9.附 录f1=100;f2=200;%待滤波正弦信号频率fs=2000;%采样频率m=(0.3*f1)/(fs/2);%定义过度带宽M=round(8/m);%定义窗函数长度N=M-1;%定义滤波器的阶数b=fir1(N,0.5*f2/(fs/2);%使用fir1函数设计滤波器%输入参数分别为滤波器的阶数和截止频率figure(1)freqz(b)

29、;%输出滤波器的幅频和相频曲线figure(2)h,f=freqz(b,1,512);%滤波器的幅频特性图%H,W=freqz(B,A,N)当N是一个整数时函数返回N点的频率向量和幅频响应向量plot(f*fs/(2*pi),20*log10(abs(h)%参数分别是频率和幅值xlabel(频率/赫兹);ylabel(增益/分贝);title(滤波器的响应增益);figure(3)subplot(211)t=0:1/fs:0.5;%定义时间范围和步长s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%滤波前信号plot(t,s);%滤波前的信号图像xlabel(时间/秒);yla

30、bel(幅度);title(信号滤波前时域图);subplot(212)Fs=fft(s,512);%将信号变换到频域AFs=abs(Fs);%信号频域图的幅值f=(0:255)*fs/512;%频率采样plot(f,AFs(1:256);%滤波前的信号频域图xlabel(频率/赫兹);ylabel(幅度);title(信号滤波前频域图);figure(4)sf=filter(b,1,s);%使用filter函数对信号进行滤波subplot(211)plot(t,sf);%滤波后的信号图像xlabel(时间/秒);ylabel(幅度);title(信号滤波后时域图);axis(0.2 0.5

31、-2 2);%限定图像坐标范围subplot(212)Fsf=fft(sf,512); AFsf=abs(Fsf); %滤波后的信号频域图及信号频域图的幅值f=(0:255)*fs/512;%频率采样plot(f,AFsf(1:256);%滤波后的信号频域图xlabel(频率/赫兹);ylabel(幅度);title(信号滤波后频域图);致 谢这次课程设计终于顺利完成了，在设计中遇到了很多专业知识问题，最后在老师的辛勤指导下，终于迎刃而解，我们学也到很多实用的知识，学到了很多课内学不到的东西，比如独立思考解决问题，出现差错的随机应变，和与人合作共同提高，都受益非浅。经过一个星期的努力和完善，这次课程设计终于顺利完成了。 在这里首先感谢我的课程设计指导教师何继爱与朱宁宁老师，在这段时间一直给我的支持与鼓励。认真负责的监督我们课程设计的进度，耐心的指导我们使我们能够按时的完成任务。还有感谢学校为我们提供的良好实验环境以及充足的实验设备，为我们的设计和调试提供了很大的方便。在这段时间学到了很多，虽然由于自身的不足没有能够为系统提出更好的解决方案。但这对我来说绝对是一个非常宝贵的历练。从中我切身体会到了理论和现实的差距，只有真正动手去做才能发现问题。最后，感谢所有对我提供过帮助的人。谢谢。21