[理学]线性代数 胡觉亮 习题参考答案

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1、习 题 解 答习 题 一（A）1用消元法解下列线性方程组：（1）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数（2）解 由原方程组得同解方程组所以方程组无解（3）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为（4）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为2用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（1）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：（2）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：（3）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：（4）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：3用初等行变换解下列线性方程组：（1）解 ，得方程组的解为（2）解 ，得方程组无解

2、（3）解 ，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数（4）解 ，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数（B）1当为何值时，线性方程组有无穷多解，并求解解 当时，方程组有无穷多解，且解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数0.5BAC0.20.70.70.20.30.30.13（联合收入问题）已知三家公司A、B、C具有如下图所示的股份关系，即A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外两家公司控制等等 3 现设A、B和C公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成

3、收入试确定各公司的联合收入及实际收入解 A公司的联合收入为309390.86元，实际收入为216573.60元； B公司的联合收入为137309.64元，实际收入为27461.93元；C公司的联合收入为186548.22元，实际收入为55964.47元.习 题 二（A）1利用对角线法则计算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式（5）解 原式2按定义计算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式3利用行列式的性质，计算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式 （5），其中解 原式4利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）解 原式（2）解

4、原式（3）解 原式 （4）解 将行列式按第一行展开，得，则，所以5利用行列式展开定理证明：当时，有证 将行列式按第一行展开，得，则，所以 （1）由关于与对称，得 （2）由（1）与（2）解得6利用范德蒙德行列式计算行列式解 原式7设，试求和解 ； 8利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）解 经计算，得，所以方程组的解为（2）解 经计算，得，所以方程组的解为9试问取何值时，齐次线性方程组有非零解解 方程组有非零解，则又，所以10试问、取何值时，齐次线性方程组有非零解解 方程组有非零解，则又，所以或（B）1选择题：（1）设，则( )（A） （B） （C） （D）解 原式选（A）（2）四阶行列式的值等

5、于（ ）（A） （B）（C） （D）解 将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得选（D）（3）设线性方程组若，则方程组的解为（ ）（A） （B）（C） （D）解 将方程组写成标准形式：有，所以方程组的解为选（C）（4）方程=的根的个数为（ ）（A） （B） （C） （D）解 方法一：将按第1列展开，知为3次多项式，因此有3个根选（C）方法二：有3个根选（C）2计算四阶行列式解 3计算四阶行列式解 4计算阶行列式解 5计算五阶行列式解 方法一：一般地，对于此类阶行列式，将其按第一行展开，得，则，有 ，所以方法二：由习题二（A）的第5题，得当时，有，

6、所以6计算阶行列式解 将行列式按第一行展开，得，则 7已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明能被13整除证 由已知，得后行列式的第4列具有公因子，所以原行列式能被13整除8证明:证 构造5阶行列式，则 （1）将按第5列展开，得 （2）比较（1）与（2）右边的系数，知结论成立9证明：当时，齐次线性方程组有非零解证 方程组的系数行列式，当，即时，方程组有非零解10应用题：（1）1；（2）习 题 三（A）1下列矩阵中，哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵，解 是数量矩阵，也是对角矩阵；、是三角矩阵；都不是2设矩阵（1）计算； （2）若满足，求解 （1

7、）；（2）3设有3阶方阵，且，求解 4计算下列矩阵的乘积：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式（5）解 原式（6）解 原式5已知矩阵，求：（1）与； （2）与.解 （1），；（2），6求与矩阵可交换的所有矩阵解 设与可交换的矩阵由，得令，得，其中为任意常数7利用归纳法，计算下列矩阵的次幂，其中为正整数：（1）解 令，有则（2）解 令，有，则（3）解 令，有则8已知矩阵，令，求，其中为正整数解 9若为阶对称矩阵，为阶矩阵，证明为对称矩阵证 因为，所以为对称矩阵10利用公式法求下列矩阵的逆矩阵：（1）解 ，又，所以（2）解 ，又，所以（3）解 ，又，所以（4）解 ，又，所以11

8、解下列矩阵方程：（1）解 （2）设，其中，解 由，得又，则可逆，且经计算，得所以（3）解 ，则12设，且矩阵满足，求矩阵解 等式两边左乘以，得又，上式两边右乘以，得，即，所以13设都是阶矩阵，证明：可逆的充分必要条件是都可逆证 可逆都可逆14设阶方阵满足，证明可逆，并求证 由，得，即，所以可逆，且15设为阶矩阵，且，证明及都是可逆矩阵证 由，得及，所以及都是可逆矩阵16已知为三阶方阵，且，求：（1）； （2）； （3）解 （1）原式（2）原式（3），有原式17设，求解 ，则18（1）设，证明（2）设，且，求与证 （1）（2）由，得，且又，所以19利用分块矩阵计算下列矩阵的乘积：（1）解 将矩阵

9、进行如下分块：，则原式又，所以原式（2）解 将矩阵进行如下分块：，则原式20利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以（2）解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以（3）解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以21设矩阵，利用分块矩阵计算解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以22设矩阵，利用分块矩阵计算解 将矩阵进行如下分块：，则，所以23（1）设，且阶矩阵和阶矩阵均可逆，试证明（2）设矩阵，其中为非零常数，求证 （1）因为，所以可逆，且（2）将矩阵进行如下分块： ，则又，所以24利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆；如可逆，求其逆矩阵（1）解 因为，所以不可逆（2）

10、解 ，所以可逆，且（3）解 ，所以可逆，且（4）解 ，所以不可逆25利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）解 ，所以（2）解 将方程两边转置，得由，得26求下列矩阵的秩：（1）解 ，所以（2）解 （3）解 （4）解 27设矩阵，且，求的值解 由，得28设矩阵，问取何值时，使得（1）；（2）；（3）解 ，有当且时，；当时，；当时，29设是矩阵，且的秩为，而，求解 ，则30设为阶矩阵，满足，证明：证 由，得，所以.又，所以.31设三阶矩阵，试求与解 因为32求解下列线性方程组：（1）解 方程组的系数矩阵因为，所以方程组只有零解（2）解 方程组的增广矩阵，所以方程组的解为（3）解 方程组的系数矩

11、阵，得方程组的解为令，得方程组的通解，其中为任意常数（4）解 方程组的增广矩阵因为，所以方程组无解（5）解 方程组的增广矩阵，得方程组的解为令，得方程组的通解，其中为任意常数（6）解 方程组的增广矩阵，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数33试问取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解（1）解 方程组的系数行列式当，即且时，方程组有唯一解当时，因为，所以方程组无解当时，因为，所以方程组有无穷多解（2）解 方程组的系数行列式当，即且时，方程组有唯一解当时，因为，所以方程组无解当时，因为，所以方程组有无穷多解34试问取何值时，非齐次线性方程组有解，并求解解 方程组的增

12、广矩阵当时，有，则方程组有无穷多解，且解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数35求平面上三点共线的充分必要条件解 设直线方程为则平面上三点共线有非零解，即（B）1选择题：（1）设为阶矩阵，以下结论正确的是（ ）(A)若、是对称矩阵，则也是对称矩阵 (B)(C)若，且可逆，则 (D)若与等价，则与相等解 选（C）（2）设和均为矩阵，则必有（ ）(A)=+ (B)(C)= (D)解 选（C）（3）设为阶矩阵，是的伴随矩阵，为常数，则（ ）(A) (B) (C) (D)解 由伴随矩阵的定义，知选（C）（4）设和均为阶非零矩阵，且，则和的秩（ ）(A)必有一个等于零 (B)一个等于，一个小于(C)都

13、等于 (D)都小于解 由，得又，知所以，故选（D）（5）对于非齐次线性方程组，若，则（ ）(A)当时，有解(B)当时，有唯一解(C)当时，有唯一解(D)当时，有无穷多解解 当时，故选（A）2设矩阵，试求解 ，则3设矩阵，且，试求解 由，得又，有，两边取行列式，得，所以4设矩阵，且，试求解 ，则5设矩阵，试求解 ，所以6设矩阵，矩阵满足，试求矩阵解 由，得又，有经计算可得，所以7设矩阵，且矩阵满足，试求矩阵解 由，得（注意）又，得方程组的解为令，得为任意常数8设阶矩阵，试求的秩解 当时，为非奇异矩阵，所以；当时，则；当时，的阶子式而，所以9试求取何值时，齐次线性方程组有非零解，并求通解解 方程组

14、的系数矩阵当时，方程组有非零解，且，得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数10试求取何值时，非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多解，并在有无穷多解时求方程组的通解解 方程组的系数行列式当且时，方程组有唯一解当时，因为，所以方程组有无穷多解，且通解为，其中为任意常数当时，方程组无解11设矩阵，为三阶非零矩阵试求常数，使得解 有非零解又，所以12证明：（1）设为矩阵，则有意义的充分必要条件是为同阶矩阵（2）对任意阶矩阵，都有，其中为单位矩阵证 （1）设为矩阵，为矩阵，则有意义，即为同阶矩阵（2）设，则的主对角线上元素之和为，而的主对角线上元素之和为，所以13证明：任意阶矩阵都可表示为

15、一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和证 设为任意阶矩阵，则，其中为对称矩阵，为反对称矩阵（你是否能联系到函数可以表示为奇函数与偶函数之和）14已知阶矩阵满足，试证可逆，并求证 由，得，所以可逆，且15设为元素全为1的阶方阵，证明：证 又，故，所以16设阶矩阵与等价，且，证明证 与等价，则存在阶可逆矩阵与，使得，有注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性17设为阶方阵，且，证明证 因为，所以又，所以18设是矩阵，是矩阵，其中若，其中为阶单位矩阵证明方程组只有零解证 由，得又，得，所以方程组只有零解习 题 四（A）1设，求和解 ，2求解下列向量方程：（1），其中解 （2），其中解 3试问向量可否由

16、向量组线性表示？若能，求出由线性表示的表达式（1）解 设由，得，所以可由向量组线性表示，且，得表达式（2）解 设由，得，所以可由向量组线性表示，且，得表达式4讨论下列向量组的线性相关性：（1）解 向量组所含向量个数大于向量的维数，所以该向量组线性相关（2），其中全不为零解 对应的分量成比例，则线性相关，所以该向量组线性相关（3）， ，解 因为，所以该向量组线性无关（4）解 因为，所以该向量组线性相关5（1）设，证明：线性相关当且仅当（2）设，证明：线性相关当且仅当它们对应的分量成比例证 （）线性相关（2）线性相关，其中不全为零不妨设，则线性相关，即对应的分量成比例6任取，又记，证明必线性相关证

17、 显然，即，所以必线性相关7若向量组由向量组线性表示为试将向量组由向量组表示解 由解得8设为一组非零向量，按所给的顺序，每一都不能由它前面的个向量线性表示，证明向量组线性无关证 用数学归纳法证明时，则线性无关设时成立，即线性无关当时，若线性相关，则可由线性表示，矛盾，所以向量组线性无关9设非零向量可由向量组线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组线性无关证 可由向量组线性表示则表示法唯一有唯一解线性无关10设，证明：向量组线性无关当且仅当任一维向量均可由线性表示证 必要性：线性无关，任取，则线性相关，所以可由线性表示充分性：任一维向量均可由线性表示，则单位坐标向量可由线性表示，有，所以，即线性

18、无关11求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示（1）解 ，所以，本身为一个极大无关组；（2）解 ，所以，为一个极大无关组，且，（3）解 ，所以，为一个极大无关组，且，12 设A：和B：为两个同维向量组，秩分别为和；向量组的秩为证明：证 先证显然组与组分别可由组线性表示，则，且，所以次证设为组的一个极大无关组，为组的一个极大无关组，则组可由线性表示，有13设为阶可逆阵，与均为矩阵，且试证明证 由，知的列向量组可由的列向量组线性表示，则因为可逆，则，知的列向量组可由的列向量组线性表示，则所以14设为矩阵，证明：当且仅当证 必要性显然，下证充分性：设为的任一列向量，

19、则，所以由的任意性知15设（1）求由向量组生成的向量空间的一组基与维数；（2）求向量在此组基下的坐标解 由，得（1）为由向量组生成的向量空间的一组基，且维数为2；（2）向量在此组基下的坐标为16设证明向量组是的一组基，并求向量在这组基下的坐标证 由，得是的一组基，且在这组基下的坐标为17在中取两组基：； （1）求由基到基的过渡矩阵 （2）若向量在基下的坐标为，求向量在基下的坐标解 设由 ，得（1）由基到基的过渡矩阵（2）在基下的坐标为18在中求一向量，使其在下面两组基：；下有相同的坐标解 由，得，即令由，得取，得19求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解（1）解 由，得令，得方程组的一个基础

20、解系，通解为，其中为任意常数（2）解 由，得令，得方程组的一个基础解系，通解为，其中为任意常数（3）解 由，得令，得方程组的一个基础解系，通解为，其中为任意常数（4）解 由，得令，得方程组的一个基础解系，通解为，其中为任意常数20 判断下列非齐次线性方程组是否有解，若有解，并求其解（在有无穷多解的情况下，用基础解系表示全部解）（1）解 方程组的增广矩阵因为，所以方程组有唯一解，且解为（2）解 方程组的增广矩阵，因为，所以方程组有无穷多解，且令，得通解为其中为任意常数（3）解 方程组的增广矩阵因为，所以方程组有唯一解，且解为21设三元非齐次线性方程组，矩阵的秩为2，且,是方程组的两个特解，试求此

21、方程组的全部解解 由已知得导出组的基础解系含个解向量，设为，则可取所以方程组的通解为，其中为任意常数22设是齐次线性方程组的基础解系，求证也是的基础解系证 显然是的解，只需证明它们线性无关由，得，所以线性无关23设是阶方阵证明：存在一个阶非零矩阵，使的充要条件是证 存在，使得有非零解24设是阶方阵，为矩阵，且证明： （1）若，则； （2）若，则证 （1），则又（2）由（）得（B）1设向量组线性相关，而线性无关，问： （1）能否由线性表示？为什么？ （2）能否由线性表示？为什么？解 （1）线性无关，则线性无关；又线性相关，则可由线性表示；所以可由线性表示（2）若可由线性表示，又可由线性表示，则可

22、由线性表示，有线性相关，矛盾，所以不能由线性表示2若向量组，其中的第个分量为，余皆为试讨论该向量组的线性相关性解 当且时，向量组线性无关；当或时，向量组线性相关3设向量组线性无关，试讨论的线性相关性若向量组线性相关呢？解 ，且（1）若线性无关，则当为偶数时，有，此时线性相关；当为奇数时，有，此时线性无关（2）若线性相关，则，此时线性相关4设为维非零向量，为阶方阵，若 ，试证明线性无关证 设该式两边左乘以，得依此类推，得由，得同理可证所以线性无关5设，其中为3阶方阵，为3维向量，且，证明线性无关证 设 （1）（1）式两边左乘以，得 （2）（2）减去（1），得 （3）（3）式两边左乘以，得 （4）

23、（4）减去（3），得因为，所以代入（），得，所以代入（1），得，所以所以线性无关6设为阶方阵，为维列向量证明：若存在正整数，使，而，则线性无关证 设，该式两边左乘以，得因为，所以同理可证所以线性无关7设向量组的秩与向量组相同，且组可由组线性表示，证明组与组等价证 设，为组的一个极大无关组，为组的一个极大无关组由组可由组线性表示，得.又，则，即为可逆矩阵，有，即可由线性表示，所以组可由组线性表示.故组与组等价8设向量组：线性无关，向量组：能由线性表示为 ，其中，证明：向量组线性无关当且仅当的秩证 向量组线性无关只有零解 只有零解 只有零解9设都是矩阵，试证明：证 先证显然的列向量组可由的列向量组

24、和的列向量组线性表示，则此证设，与分别为与的列向量组的一个极大无关组，则的列向量组可由与线性表示，有，即10设是的一组基， （1）证明是的一组基； （2）求由基到基的过渡矩阵； （3）若向量在基下的坐标为，求向量在基下的坐标证 （）（）由，得，则线性无关，所以是的一组基（2）由（）式，得由基到基的过渡矩阵（3）在基下的坐标11当为何值时，齐次线性方程组只有零解？有非零解？在方程组有非零解时，求其全部解解 方程组的系数行列式当，即时只有零解.当，即时有非零解，且通解为，其中为任意常数12设是的三个特解，则（）也是的解（A）； （B），；（C）；（D)解 B实质上，一般地有：若为的解，则也是的解1

25、3考虑线性方程组问取什么值时有解？当有解时，求它的通解解 方程组的增广矩阵，则当时方程组有解，且，所以方程组的通解为，其中为任意常数14设矩阵，其中线性无关，且向量试求方程组的通解解 由线性无关，且，得是的一个极大无关组，则，即，从而的基础解系含个线性无关的解向量，设为由，得，则是的解，故可取由，得是的一个特解所以的通解为，其中为任意常数15设为矩阵，为矩阵，且求证： （1）的各列向量是齐次线性方程组的解； （2）若，则； （3）若，则的各列向量线性相关证 （1）令由，得，即，所以的各列向量是齐次线性方程组的解（2）若，则只有零解，所以（3）若，则有非零解，所以的各列向量线性相关16设为阶方阵

26、（），证明： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，证 （1）当时，所以（2）当时，由，得有又中至少有一个阶子式不为零，则，所以（3）当时，则中所有一个阶子式全为零，有习 题 五(A)1求下列矩阵的特征值和特征向量：（1）解 的特征多项式，所以的特征值为当时，解特征方程组由，得，令，得属于的线性无关的特征向量，全部特征向量为当时，解特征方程组，得，令，得属于的线性无关的特征向量是，全部特征向量为（2） 解 的特征多项式，所以的特征值为当时，解特征方程组由，得令，得属于的线性无关的特征向量是，全部特征向量为当时，解特征方程组，得令，得属于的线性无关的特征向量是，全部特征向量为（3） 解 的

27、特征多项式，所以的特征值为当时，解特征方程组由，得，令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为不全为零）当时，解特征方程组由，得令，得属于的线性无关的特征向量是，全部特征向量为（4） 解 的特征多项式，所以的特征值为当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为（5） 解 的特征多项式，所以的特征值为，当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为当时，解特征方程组

28、由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为（6）解 的特征多项式，所以的特征值为当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为不全为0当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为2 已知矩阵的特征值为，求的值 解 由，得，则3 已知矩阵 的特征值为，求x的值解 由，得，解得4 已知三阶方阵的三个特征值分别为，矩阵求矩阵的特征值及的行列式解 令，则的特征值分别为，且5已知3阶矩阵的特征值为，求及的伴随矩阵的特征值解 令，则的特征值为又，则特征值为6设，求： （1）的特征值与特征向量；（2）的特征值；（3）的特征值

29、解 （1）的特征多项式，则的特征值为；属于特征值全部特征向量为，、不全为0；属于特征值全部特征向量为，（2），则的特征值为（3）令，则的特征值为，7设矩阵满足等式，试证明的特征值只能取值或4解 设为的特征值由，得满足，解得或8设方阵满足，其中是的转置矩阵，为单位阵试证明的实特征向量所对应的特征值的模等于1解 设为的实特征向量，对应的特征值为，则由，得，即，有又，则，所以9已知，且与相似，求常数解 显然的特征值为与相似，则的特征值为由，解得10已知矩阵与矩阵相似，求常数与解 与相似，则 （1）又，由，得，代入（1）式，得所以11 设矩阵问为何值时，矩阵可相似对角化解 显然的特征值为对，可相似对角

30、化由，得12已知是矩阵的特征向量 （1）求参数及特征向量所对应的特征值； （2）问能否相似对角化？并说明理由解 （1）设特征向量所对应的特征值为.由，得.（2）的特征多项式 ，则的特征值为所以能相似对角化，即显然，所以不能相似对角化.13判断下列矩阵是否与对角矩阵相似；若与对角矩阵相似，求一个可逆矩阵，使为对角矩阵（1）解 的特征多项式，则的特征值为当时，解方程组由，得，所以不能与对角矩阵相似（2）解 的特征多项式，则的特征值为当时，解方程组由，得，所以与对角矩阵相似，且令，得属于特征值的线性无关的特征向量为当时，解方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为令，则（3）解 的特征多项式

31、，则的特征值为当时，解方程组由，得，所以与对角矩阵相似，且令，得属于特征值的线性无关的特征向量为当时，解方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为令，则14设矩阵求可逆矩阵，使为对角矩阵，并计算，其中为正整数解 的特征多项式，则的特征值为属于特征值的线性无关的特征向量为属于特征值的线性无关的特征向量为令，则且又，所以15设3阶方阵有特征值，对应特征向量依次为，求解 有3个不同的特征值，则能相似对角化令，则，有又，所以16设矩阵与相似，试证：（1）与相似；（2）当可逆时，与相似证 与相似，则存在可逆矩阵，使得（1）因为也可逆，所以与相似（2），所以与相似17设向量，求的长度及它们的夹角解

32、 ,，18已知三元向量，试求一个非零向量，使为正交向量组 解 显然正交令，要使为正交向量组，只需由，得取，得19已知向量，试求与向量都正交的向量解 设，依题意，得由，得令，所以，其中、为任意常数20.用施密特正交化方法将下列向量组化为标准正交向量组：（1）解 正交化，得，单位化，得，（2）解 正交化，得，单位化，得,21试求一个正交矩阵，使为对角阵：（1）解 的特征多项式，则的特征值为属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得令正交矩阵，则（2）解 的特征多项式，则的特征值为属于特征值的线性无关的特征向量

33、为；显然正交，单位化，得属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得令正交矩阵，则（3）解 的特征多项式，则的特征值为属于特征值的线性无关的特征向量为；正交化，得；单位化，得属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得令正交矩阵，则（4）解 的特征多项式，则的特征值为属于特征值的线性无关的特征向量为；正交化，得；单位化，得属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得令正交矩阵，则22设3阶实对称矩阵的特征值为6、3、3，与特征值6对应的特征向量为，求与特征值3对应的特征向量解 设为属于特征值3的特向量，有，即，其基础解系为 所以属于特征值3的特征向量为，、不全为023设三阶实对称矩阵的特征值为

34、，对应的特征向量为，求解 设对应的特征向量为，有所以属于特征值的线性无关的特征向量为令，则所以24设三阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值若，,都是的属于特征值6的特征向量 （1）求的另一特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵解 （1）因为是的二重特征值，故的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个由题设知，为的属于特征值6的线性无关特征向量又的秩为2，于是，所以的另一特征值设所对应的特征向量为，则有，即 得基础解系为，故的属于特征值全部特征向量为，（2） 令矩阵，则，所以25设都是阶实对称矩阵，证明与相似的充要条件是与有相同的特征值证 必要性：与相似，则存在可逆阵，使得有，所以与有相同的特征多

35、项式，即有相同的特征值充分性：若实对称矩阵与有相同的特征值，设为它们的特征值令则与相似，与相似，所以与相似（B）一、选择题：1设，则以下向量中是A的特征向量的是（ ） （A） （B） （C） （D）解 当时，有选（A）2设为阶方阵，且（为某一正整数），则（ ）(A) (B)有一个不为零的特征值 (C)的特征值全为零 (D)有个线性无关的特征向量解 设为的特征值，则，有选（C）3设为阶矩阵，且与相似，则（ ） （A） （B）与有相同的特征值与特征向量 （C）与都相似于对角矩阵 （D）对于任意常数，相似解 由与相似，知存在可逆阵，使，由此，故与相似选（D）4设，且的特征值为，则（ ）(A) (B)

36、3 (C)4 (D)解 由，得选（C）5设为阶可逆阵，为的一个特征值，则的伴随阵的一个特征值是（ ）(A) (B) (C) (D)解 选（B）6设为阶方阵，以下结论中成立的是（ ） （A）若可逆，则矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量 （B）的特征向量为方程的全部解 （C）的特征向量的线性组合仍为特征向量 （D）与有相同的特征向量解 选（A）7当满足( )时，方阵与相似 (A)且 (B)或 (C) (D)解 选（A）8设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（ ） （A） （B） （C） （D）解 由于，即矩阵属于特征

37、值的特征向量为选（B）9设是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ） （A） （B） （C） （D）解 有特征值选（B）10设，且的特征值为，则有（ ） (A) (B) (C) (D)解 选（B）11如果阶矩阵任意一行的元素之和都是，那么有一个特征值（ ）（A） （B） （C）0 （D）解 取，有选（A）12若阶矩阵的特征值全为零，则不正确的结论是（ ） （A） （B） （C） （D）解 取，但的特征值全为零，而选（C）13已知（为非零向量），为可逆矩阵，则（ ）（A）的特征值为，其对应的特征向量为（B）的特征值为，其对应的特征向量为（C）的特征值为，其对应的特征向量为（D）的特征值

38、为，其对应的特征向量为解 由, 得，故是P-1AP的特征值，其对应的特征向量为选（D）14设，且的特征值为，则的值为（ ）（A）2 （B） （C）4 （D）解 ，得选（B）15已知矩阵有一个特征向量，则等于（ ）(A) (B) (C) (D)解 由，得 ，选（B）16设矩阵与相似，则（ ）（A） （B） （C） （D）解 选（B）17设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是（ ）(A) (B) (C) (D)解 由于，则，线性无关，即选(B)18设为3阶矩阵，的特征值为，那么齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D

39、)3解 注意，则的基础解系所含解向量的个数等于的属于特征值0的线性无关的特征向量的个数选(B)19设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解 注意：若与对角阵，则中不为零的个数由3阶矩阵的特征值互不相同，且行列式，知只有一个特征值等于零，则选（C）20设是4阶实对称矩阵，且。若，则相似于（ ） (A) (B) (C) (D)解 设为的特征值，由，得，所以的特征值只能是或是4阶实对称矩阵，知能相似对角化；，知有3个不为零的特征值；所以的特征值为选（D）二、计算题：1设，其中为三阶可逆矩阵，求解 又,所以2. 设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量,

40、是的二重特征根（1）求；（2）求可逆矩阵，使得为对角矩阵解 （1）因为有三个线性无关的特征向量,是的二重特征根，所以由，得（2），其特征多项式，得的特征值为属于的线性无关的特征向量为属于的线性无关的特征向量为令，则3. 设矩阵（1）求的特征值；（2）利用(1)中结果求的特征值，其中为三阶单位矩阵解 （1）的特征多项式，得的特征值为（2）令，得的特征值为4设有三个线性无关的特征向量，求和应满足的条件解 的特征多项式（1）当时，A有3个不同的特征值，从而必有3个线性无关特征向量（2）当时，A有特征值对于要有二个线性无关的特征向量，则有由，得综上，当时或时，有三个线性无关的特征向量5设为3阶矩阵，为

41、的分别属于特征值的特征向量，向量满足（1）证明线性无关； （2）令，求证 （1）设， （1）（1）式两边左乘以，得（2）（1）-（2），得显然线性无关，则代入（），得，有，所以线性无关（2） ，即由第一部分知可逆，所以6设3阶实对称矩阵的各行元素之和都为3，向量都是齐次线性方程组的解（1）求的特征值和特征向量；（2）求正交矩阵和对角矩阵，使得解 （1）的各行元素之和都为，则有特征值，且是其对应的特征向量又，且线性无关，知有特征值，且是其对应的线性无关的特征向量因此，有的特征值为属于的线性无关的特征向量为；属于的线性无关的特征向量为（2）将正交单位化，得，；将单位化，得令正交矩阵，有7已知矩阵与

42、相似 （1）求之值； （2）求可逆矩阵，使为对角矩阵；（3）求解 （1）与相似，则，即将代入有，将代入有（2）显然的特征值为属于的线性无关的特征向量为；属于的线性无关的特征向量为；属于的线性无关的特征向量为令，有（3）又，所以8设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，求的特征值解 线性无关，则可逆，有，即与相似而的特征多项式，所以的特征值为，故的特征值为9设3阶对称矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量记，其中为3阶单位矩阵（1）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（2）求矩阵解 （1）设为的属于特征值的特征向量，即，则，即为的特征值，为相应的特征向量所以是矩阵的特征向量令，则的特

43、征值为的属于的线性无关的特征向量为，全部特征向量为设的属于的特征向量为为对称矩阵，显然也是对称矩阵，则，方程组的基础解系为，就是的属于的线性无关的特征向量，全部特征向量为不全为零（2）令，有，所以又，则10设向量都是非零向量，且满足条件记阶矩阵，求：（1）； （2）矩阵的特征值和特征向量解 （1）（2）设为的任一特征值由，得，有，即的特征值全为零不妨设向量中分量，考虑齐次线性方程组由，得基础解系，即属于特征值0的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数11设4阶方阵满足条件试求方阵的伴随矩阵的一个特征值解 由，得为的特征值由，得又，则所以有特征值12设已知线性方程组有无穷多解，试求：（1）的值

44、； （2）正交矩阵，使得为对角矩阵解 （1）对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换：，方程组有无穷多解（2），的特征多项式，得矩阵的特征值为对应的特征向量分别为将单位化，得令, 则有13设三阶矩阵的三个特征值分别为，对应特征向量依次为（1）将用向量组线性表示；（2）求解 （1）设由，得，所以（2） 14设矩阵的特征多项式有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化解 的特征多项式（1）若是特征多项式的二重根，则，解得此时的特征值为对，由，得，所以可相似对角化（2）若不是特征多项式的二重根，则，解得此时的特征值为对，由，得，所以不能相似对角化15某生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然

45、后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培养及实践至年终考核有成为熟练工设第年1月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量（1）求与的关系式，并写成矩阵形式；（2）验证，是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当时，求解 （1）由题设，得即所以 ， （1）其中（2）由，得是的属于特征值的特征向量，是的属于特征值的特征向量；又，所以,线性无关（3）由（1）式，可得由（2）知可相似对角化令，有所以又，有，从而16设矩阵（1）k为何值时，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵？（2）求出和相应的对角矩阵解 的特征多项式，所以的特征值为（1）对，由，得

46、时，此时可相似对角化（2）的属于的线性无关的特征向量为；的属于的线性无关的特征向量为令，有17已知是的特征向量（1）确定常数；（2）确定特征向量对应的特征值；（3）能否相似对角化？并说明理由解 （1）设是的特征向量对应的特征值由，解得（2），其特征多项式，所以对应的特征值为（3）对，由，的，所以不能相似对角化18设矩阵，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵解 设的特征值对应的特征向量为，则有于是有.，即为的特征值，对应的特征向量为的特征多项式，所以的特征值为，的属于特征值的线性无关的特征向量为，的属于特征值的线性无关的特征向量为由，得，令，则的特征值分别为，且对应于特征值的全

47、部特征向量为，其中是不全为零的常数；对应于特征值的全部特征向量为，19设，存在正交矩阵，使得为对角矩阵若的第一列为，求常数、正交矩阵及对角矩阵解 由题意，得的第一列是的特征向量，即存在数，使得，解得，其特征多项式，所以的特征值为属于的正交单位化的特征向量为；属于的正交单位化的特征向量为；属于的正交单位化的特征向量为令正交矩阵，有三、证明题：1设均为阶方阵，且试证：有公共的特征向量证 考虑方程组，其系数矩阵的秩，则方程组有非零解，即，故，即是的公共特征值，是属于特征值的公共的特征向量2设是阶方阵，且满足试证:证 设（1） 若，则，即，有（2）若，则，即，有（3）若，则的基础解系就是的属于特征值的线性无关特征向量；又，则的基础解系就是的属于特征值1的线性无关特征向量；从而有个线性无关特征向量：，所以能相似对角化令，有，则，所以3阶矩阵满足，证明不是的特征值证 由，得，所以可逆，有，所以不是的特征值习 题 六（A）1写出下列二次型的矩阵（1）解 （2）解 （3）解 （4）解 2已知二次型的秩为2，求