x数形结合常见例题

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1、数形结合例题分析实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。一、联想图形的交点如等式 ( x2)2( y1)24例 1.已知 0 a1，则方程 a|x|log ax|的实根个数为 ( )A. 1个B. 2 个C. 3个D. 1 个或 2 个或 3 个分析： 判断方程的根的个数就是判断图象ya |x| 与y|log a x|的交点个数，画 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2 个实根，选（B）。例 2. 解不等式 x

2、 2 x令 y1x2， y2x，则不等式x2x的解，就是使y1x2的图象在y2 x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为 x|xAx xB 而 xB 可由 x 2x，解得， x B2， xA2，故不等式的解集为 x| 2 x 2 。R 函数 f ( x)lg x 1x12 ( x)bf ( x) c 0 有 7 个不同实数解练习 ：设定义域为0x，则关于 x 的方程 f1的充要条件是（）A.b 0, c0B.b 0,c0C.b 0,c 0D .b0,c0答案 C二、联想绝对值的几何意义例 1、已知 c0，设 P ：函数 yc x 在 R 上单调递减， Q ：不等式 xx2c1的解集为

3、 R ，如果 P 与 Q有且仅有一个正确，试求c 的范围。因为不等式xx2c1 的几何意义为： 在数轴上求一点P( x) ，使 P 到 A(0), B(2c) 的距离之和的最小值大于 1，而 P 到 AB 二点的最短距离为AB2c1，即 c1 而 P ：函数 y c x 在 R 上单调递减，即 c 12由题意可得：0c1 或 c 12三、联想二次函数例 1、已知关于 x 的方程 x24 x5m 有四个不相等的实根，则实数 m 的取值1范围为分析：直接求解，繁难！ 。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。设 y x 24x5,y2m11 m51。又 y 为偶函数，由图可知四、联想

4、反函数的性质例 1、方程 2 xx 3, log 2 xx 3的实根分别为 x1 , x2，则 x1x2 =解：令 y12x , y2log 2 x, y33xy1 , y2 互为反函数，其图象关于yx 对称，设A( x1,3 x1 ), B( x2 ,3 x2 )x13 x2 即 x1x23六、联想斜率公式例 1.求函数 ysin x2 的值域。cos x2ysin x2 的形式类似于斜率公式yy2y1cos x2x2x1ysin x2 表示过两点 P0 (2，2) ， P(cos x， sin x)的直线斜率cosx2由于点 P在单位圆 x2y 21上，如图 ,显然， k P AykP B

5、00设过 P0 的圆的切线方程为 y2k( x2)则有 |2k2|，解得k4 7即 kP A47 ， kP B47k 21333100 47y47函数值域为 47，437333例 2、实系数方程x 2ax2b0 的一根在0 和 1 之间，另一根在1 和 2 之间，求 b2 的取值范围。a1解：数形结合由b2 的结构特征，联想二次函数性质及b2 的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。a1a1f (0)0b0令 f (x)x2ax2b ，则由已知有f (1)0 得到 1a2b0f (2)02ab0这个二元一次不等式组的解为ABC 内的点 (a,b) 的集合由 b2 的几何意义为过点a1(a,b)

6、 和点 D (1,2) 的直线的斜率2由此可以看出：1k ADb2k BD1即 b2 的取值范围是 (1 ,1) 。4a1a1y4练习 ：如果实数 x、y满足 x2y2，则的最大值为答案 D(2)3x()A. 1B.3C.3D .3232五、联想两点间的距离公式例 1、设 f ( x)1x 2 ,a,bR且 ab ，求证： f (a)f (b)ab解：a b, 不妨设 ab ，构造如图的Rt OAP ，其中 OP 1,OAa,OBb则 PA1a 2f ( a), PB1b 2f (b), ABab在 RtOAP 中，有 PAPBABf (a)f (b)ab六、联想点到直线的距离公式例 1、已知

7、 P 是直线3x4 y80上的动点， PA, PB 是 x2y 22 x2 y10 的两条切线， A, B 是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。解：SPACB2S PAC2 1PAACPAPC212要使面积最小，只需PC 最小，即定点 C 到定直线上动点P 距离最小即可即点 C (1,1)到直线3x4y80 的距离，而 d3 14283(SPACB ) min321223242七、联想函数奇偶性例 1、设 yf ( x)是定义在 R 上的奇函数，且yf (x) 的图象关于直线x1对称，则2f (1)f ( 2)f (3)f ( 4)f (5)解：本题由于 yf ( x) 不明确，

8、 故 f (x) 的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知f (0)0 ，又且 yf ( x) 的图象关于直线 x1 对称，f (1)02则奇函数可得： f (1)0 ，则又由对称性知： f (2)0 同理： f (3)f (4)f (5)0f (1) f (2)f (3)f (4)f (5)0八、其它简单方法：例 1. 若关于 x的方程 x 22kx3k0的两根都在1和3之间，求 k的取值范围。3解： 令 f ( x) x 22kx 3k，其图象与 x轴交点的横坐标就是方程 f ( x) 0的解，由 yf (x)的图象可知，要使二根都在1，3

9、之间，只需 f ( 1)0，f (3)0 ，f (b )f ( k)0 同时成立，解得1 k0，故 k ( 1，0)2a4课后练习：1.方程 lg xsin x 的实根的个数为（） A. 1个B. 2 个 C. 3个 D. 4 个2.函数 ya| x|与yxa 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（）A.(1，)B.(1，1) C.(， 1 1，)D. (，1) (1，)3.设命题甲：0x3，命题乙： |x1|4 ，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 不充分也不必要条件4.若方程lg(x2xm)lg(x) 在 ， 上有唯一解，求m的取值范围。330

10、35.设 a0且a1 ，试求下述方程有解时k 的取值范围。 log a ( x ak)log2( x2a 2 ) 。a练习答案 1. C2. D提示：画出ya| x|与yxa 的图象情形 1：a0a1a0a1a1情形 2：a13. Ax 23xm0x 23xm03x04. 解：原方程等价于0x 30x3x 24x3mx 23xm3x令 y1x24 x3，y2m ，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意0x 3，当且仅当两函数的图象在 0 ， 3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或 3m0 时，原方程有唯一解，因此 m的取值范围为 3， 01 。5.解：将原方程化为：log a ( xak)log ax 2a 2， x akx2a2 ，且 x ak0，x 2a 20令 y1xak ，它表示倾角为45的直线系， y10令 y2x2a 2，它表示焦点在x 轴上，顶点为（ a，0）（ a，0）的等轴双曲线在 x 轴上方的部分，y20原方程有解，两个函数的图象有交点，由下图，知aka或aak0 k1或 0k1 k 的取值范围为 (，1) (0，1)5