平面势流的叠加流动

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1、第六节第六节 平面势流的叠加流动平面势流的叠加流动 几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度分量的代数和。数和，速度分量为原有速度分量的代数和。 将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。数，可以用来求解复杂流动。 l 势流叠加原理势流叠加原理l 意义：意义：一、势流叠加原理一、势流叠加原理3210)(3222

2、123212203222122zzzzyyyyxxxx321321321321321321wwwwvvvvuuuu321VVVV重要结论：重要结论：叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个新的复合流动，只要把各原始流动的势函数或流函数简单新的复合流动，只要把各原始流动的势函数或流函数简单地代数相加，就可得到该复合流动的势函数或流函数。该地代数相加，就可得到该复合流动的势函数或流函数。该结论称为结论称为势流的叠加原理势流的叠加原理。 1 1、2 2、3 3、二、点涡和点汇叠加的流动二、点涡和点汇叠加的流动螺旋流螺旋流 ）（rqVln21 ）（ Vqr ln

3、21constrqV ln VqCre1 constqrV ln qVCr e2l 点汇点汇rqVln21 21Vq l 点涡点涡 22 rln22 l 等势线方程等势线方程 l 流线方程流线方程 等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇，等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇，称为螺旋流。流体从四周向中心流动。称为螺旋流。流体从四周向中心流动。研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流。看成是这种螺旋流。rrv 21 rqrv

4、Vr 2 22222224rqvvVVr 222122221118rrqppV）（ l 螺旋流的速度分布螺旋流的速度分布l代入伯努里方程，得流场的压强分布代入伯努里方程，得流场的压强分布）（rqVln21 ）（ Vqr ln21A点（点（a，0）点源点源B点（点（a，0） 点汇点汇叠加叠加l 点汇点汇222ln2rqV 2222 Vq l 点源点源111ln2rqV 1112 Vq 叠加叠加 222221lnln2lnln2yaxyaxqrrqVV ）（）（）（ 2222ln4yaxyaxqV ）（）（ 2221VVqq ）（三、点源和点汇叠加的流动三、点源和点汇叠加的流动偶极流偶极流 l 偶

5、极流定义偶极流定义点源和点汇无限接近的同时，流量无限增大点源和点汇无限接近的同时，流量无限增大( (即即2a00，qv ) )以至使以至使2aqv保持一个有限常数值保持一个有限常数值M的极限情况。在这种极限情的极限情况。在这种极限情况下的流动称为况下的流动称为偶极流，偶极流，M称为称为偶极矩偶极矩或偶极强度或偶极强度l 偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向 常数 常数121cos2 arr 02 a VqMaqV2rrr21021 4321ln432 ）（ )1ln( 21022102cos22limcos21ln2limra

6、qraqVqaVqaVV 2cos22cosrrMrM 22222yxxMrxM l 偶极流速度势偶极流速度势 22121211ln2ln2lnln2rrrqrrqrrqVVV ）（l 偶极流流函数偶极流流函数BCBC为从为从B B点向点向APAP所作的垂线所作的垂线12sin2sinBC ar 02 a0a sin sin2ar 20202sin2sin22lim2limrrMraqqVqaVqaVV 22222yxyMryM 2121244 CMCMyx 2222244 CMyCMx l 偶极流流线方程偶极流流线方程l 偶极流等势线方程偶极流等势线方程单独的偶极流没有什么实际意义，但是它与

7、直线均匀流单独的偶极流没有什么实际意义，但是它与直线均匀流叠加的复合势流非常有用。叠加的复合势流非常有用。四、绕圆柱体无环量流动四、绕圆柱体无环量流动 22221212yxVMyVyxyMyV CyxyMyV 222 012122 yxVMyV 0 y VMyx 222均匀直线流与偶极流叠加均匀直线流与偶极流叠加xV yV l 均匀直线流均匀直线流22222yxyMryM 22222yxxMrxM l 偶极流偶极流l 流函数流函数l 流线方程流线方程0 Cl 零流线方程零流线方程0 y20222rVMyx 四、绕圆柱体无环量流动四、绕圆柱体无环量流动012122 yxVMyV 0 y20222

8、rVMyx 均匀直线流与偶极流叠加均匀直线流与偶极流叠加l 零流线方程零流线方程l 流函数流函数 sin112202220rrrVyxryV 22202212yxrxVyxxMxV cos1220rrrV l 势函数势函数以上两式中，以上两式中，rr0，这是因为，这是因为rr0的圆柱体内的流动没有的圆柱体内的流动没有实际意义。实际意义。l 速度分布速度分布l 极坐标速度分布极坐标速度分布 2sin)(22cos1)()(1220222202202222220rrVyxxyrVyvrrVyxyxrVxu sin11cos1220220 rrVrvrrVrvr 22201yxrxV u 在在 ，

9、处，处， ， 。这表示，在离开圆柱体无。这表示，在离开圆柱体无穷远处是速度为穷远处是速度为V的均匀直线流动的均匀直线流动u A点（点（-r0，0），）， A点为点为前驻点前驻点u B点（点（r0，0），），B点为点为后驻点后驻点xyVu0v sin11220 rrVrvl 沿包围圆柱体圆周的速度环量为沿包围圆柱体圆周的速度环量为 202200dsin1drrrVsv sin20 Vvvru 均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的。均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的。u 速度为速度为v的均匀直线流绕半径为的均匀直线流绕半径为r0的圆柱体无环量的平的圆柱体无环量的平面流动，可以用由

10、这个均匀直线流与偶极矩的偶极流叠加面流动，可以用由这个均匀直线流与偶极矩的偶极流叠加而成的平面组合流动来代替。而成的平面组合流动来代替。0rr l 在圆柱面上在圆柱面上u 流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生分离。分离。0 180 0 v90 Vv2max sin20 Vvvrl 不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布222121Vpvp)sin41 (2122Vpp22121 VvVppCp 222sin

11、41)180(sin41sin41pC无穷远处无穷远处流流体的压强体的压强 sin20 Vvvrl 无量纲的压强系数无量纲的压强系数理论线 超临界 5107 . 6Re亚临界 51086. 1Re222sin41)180(sin41sin41pC这种流动在圆柱面上的压强分布上下、前后都是对称的，因此流体作用在圆柱面这种流动在圆柱面上的压强分布上下、前后都是对称的，因此流体作用在圆柱面上的压强合力等于零。由于流体作用在圆柱面上的压强合力可分为与来流方向垂上的压强合力等于零。由于流体作用在圆柱面上的压强合力可分为与来流方向垂直的升力和与来流方向平行的阻力。因此，无黏性的理想流体绕圆柱体无环量流直的

12、升力和与来流方向平行的阻力。因此，无黏性的理想流体绕圆柱体无环量流动时，圆柱体上既不承受升力，也不承受阻力。不承受升力与实际情况是相符合动时，圆柱体上既不承受升力，也不承受阻力。不承受升力与实际情况是相符合的，但是不承受阻力则与实际情况大不相符，这就是著名的的，但是不承受阻力则与实际情况大不相符，这就是著名的达朗伯疑题达朗伯疑题。事实上，有黏性的实际流体绕圆柱体无环量流动时，在圆柱面上流动方向的压强分布是不对称的。这是由于实际流体存在着黏性，当流体绕流圆柱体时，从前驻点开始在圆柱面上逐渐形成一层边界层（在第五章中讲述）。流体在圆柱体的前半部的流动是降压增速，边界层处于较稳定状态。到圆柱体的后半部变为升压减速流动，容易发生边界层分离，在圆柱体后面形成尾涡区，压强下降。破坏了圆柱体面上前后压强分布的对称性，使圆柱体前后产生压强差，形成压差阻力。图4-22中所示的实验所得的亚临界雷诺数下（层流）的压强分布曲线（虚线）比超临界雷诺数下（紊流）的压强分布曲线（点划线）更远离理论曲线。根据实验所得，在亚临界雷诺数下层流边界层的分离和超临界雷诺数下紊流边界层的分离分别发生在大约 和附近。84120