平面系的几何组成分析

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1、1 出版社 科技分社 2 出版社 科技分社 土木工程指导性专业规范系列教材本章导读本章导读 基本要求基本要求 掌握几何不变体系、几何可变体系、刚片、自由度、约束、必要约束与多余约束、实铰与虚铰的概念；了解平面体系的计算自由度及其计算方法；掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。重点重点 平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；静定结构与超静定结构的概念。难点难点 灵活运用三个基本组成规则分析平面杆件体系的几何组成性质。3 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学PFq(a) 几何不变体系(b) 几何可变体系PFq2.1 几何组成分析中的一些基本

2、概念几何组成分析中的一些基本概念 如果忽略材料变形所引起的位移，在承受给定的如果忽略材料变形所引起的位移，在承受给定的任意外因（如荷载、支座移动、温度变化等）作用任意外因（如荷载、支座移动、温度变化等）作用后，有唯一确定的几何形状和位置的体系，称为后，有唯一确定的几何形状和位置的体系，称为几几何不变体系。何不变体系。 反之，其几何形状和位置无法唯一确定的体系，反之，其几何形状和位置无法唯一确定的体系，称为称为几何可变体系几何可变体系。 图2.1 几何组成分析4 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 造成体系几何可变的原因可能是内部构造不健全或者造成体系几何可变的原因可能是内部构造不健

3、全或者是外部约束不恰当是外部约束不恰当 PFABCDABCDPFA1B1(a) 原几何不变体系(b) 内部构造不健全ABABFPFPC1AC1B1(a) 原几何不变体系(b) 外部约束布置不当图图2.2 2.2 内部构造不健全造成几何可变内部构造不健全造成几何可变图图2.3 外部约束布置不当造成几何可变外部约束布置不当造成几何可变5 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 2.1.2 刚片刚片 几何组成分析时，杆件体系中的所有构件因忽几何组成分析时，杆件体系中的所有构件因忽略材料变形，而被视作刚体。平面杆件体系中，可略材料变形，而被视作刚体。平面杆件体系中，可以被视作刚体的任一杆件（或

4、几何不变部分），都以被视作刚体的任一杆件（或几何不变部分），都可称之为可称之为刚片刚片。 2.1.3 自由度自由度 体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的称为该体系的自由度自由度。平面上的一个点的自由度为。平面上的一个点的自由度为2（或称作有（或称作有2个自由度），如图个自由度），如图2.4(a)所示。平面所示。平面上一个刚片的自由度为上一个刚片的自由度为3，如图，如图2.4(b)所示所示 6 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材土木工程专业系列教材结构力学结构力学Oxyyx1AA(a) 平面上一点自由度为2y(b) 平面上一刚片自由度为

5、3OAxxyB1AB1图图2.4 平面上一点与一刚片的自由度平面上一点与一刚片的自由度很明显，体系的自由度必然大于或等于很明显，体系的自由度必然大于或等于0 0，且如果体系的自由度为，且如果体系的自由度为0 0，则体系是几何不变体系；若大于零，则体系是几何可变体系。则体系是几何不变体系；若大于零，则体系是几何可变体系。7 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 2.1.4 约束约束 体系中减少自由度的装置称为体系中减少自由度的装置称为约束约束（或（或联系联系）。按约束是）。按约束是否直接与地基相连，可将其分为否直接与地基相连，可将其分为外约束外约束和和内约束内约束。 1）内约束）内约束

6、AB融合为一大刚片增加了内约束A左右AABECD(a) 链杆(b) 单铰(c) 复铰(e) 封闭框格（单刚结点）(d) 单刚结点(f) 复刚结点融合为一大刚片AA图图2.5 内约束的约束效果内约束的约束效果8 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学2）外约束）外约束 支杆、支杆、 固定铰支座、固定铰支座、 定向支座、定向支座、 固定支座。固定支座。 (地基)视 作(a) 支杆（活动铰支座）(b) 固定铰支座(c) 定向支座(d) 固定支座图图2.6 外约束的约束效果外约束的约束效果9 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学（1 1）支杆（活动铰支座）支杆（活动铰支座）将支杆所连

7、接的地基和刚片分别视作前述分析链杆将支杆所连接的地基和刚片分别视作前述分析链杆约束效果时的刚片约束效果时的刚片和和，则容易类比得到一根支，则容易类比得到一根支杆相当于一个约束。杆相当于一个约束。（2 2）固定铰支座）固定铰支座固定铰支座由两根不共线支杆相交构成，因此相当固定铰支座由两根不共线支杆相交构成，因此相当于两个约束。于两个约束。（3 3）定向支座）定向支座定向支座由两根不共线的平行支杆构成，因此相当定向支座由两根不共线的平行支杆构成，因此相当于两个约束。于两个约束。（4 4）固定支座）固定支座固定支座可以视作定向支座再叠加与该定向支座支固定支座可以视作定向支座再叠加与该定向支座支承方向

8、不同的一根支杆构成，因此相当于三个约束。承方向不同的一根支杆构成，因此相当于三个约束。 10 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学图图2.7 连接多刚片的外约束的处理方法示例连接多刚片的外约束的处理方法示例A自由度为4(a) 连接多刚片的外约束A自由度为5(b) 先将三刚片在A处连接自由度为4(c) 再在处用一根AA（复铰连支杆）（复铰）支杆与地基相连11 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学2.1.5 实铰和虚铰实铰和虚铰A(参照刚片)1(a) 实铰的相对位置固定1OO1(b) 虚铰的相对位置变化虚铰(参照刚片)图图2.8 实铰和虚铰示例实铰和虚铰示例12 出版社 科技分

9、社 土木工程专业系列教材结构力学AA(a) 两刚片用铰结在一起的两链杆相连(b) 两刚片用铰直接相连图图2.9实铰的常见情形实铰的常见情形13 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学ABCDABDCABCD, , , (a) 有限远虚铰情形1(b) 有限远虚铰情形2(c) 无穷远虚铰图图2.10 虚铰的常见情形虚铰的常见情形14 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学ABBACAB(a)(b)(c)图图2.11 必要约束和多余约束必要约束和多余约束2.1.6 必要约束和多余约束必要约束和多余约束如果在体系中增加或者去掉某个约束，会导致体系如果在体系中增加或者去掉某个约束，会导致

10、体系的自由度数目发生改变，则此约束为的自由度数目发生改变，则此约束为必要约束必要约束。如。如果在体系中增加或者去掉某个约束，并未改变体系果在体系中增加或者去掉某个约束，并未改变体系的自由度数目，则此约束为的自由度数目，则此约束为多余约束多余约束。15 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学2.2.1 平面体系的实际自由度平面体系的实际自由度S和计算自由度和计算自由度W2.2.2 平面体系计算自由度平面体系计算自由度W的求法的求法注意以下几点：注意以下几点：因因W的计算以地基为参照系，因此地基刚片不计入的计算以地基为参照系，因此地基刚片不计入m中；中；体系中的复刚结点或复铰，应先折算为相

11、当个数的单刚结体系中的复刚结点或复铰，应先折算为相当个数的单刚结点或者单铰；点或者单铰；组合结点可以按先刚结、再铰结的处理方法，等效为对应组合结点可以按先刚结、再铰结的处理方法，等效为对应个数的单刚结点和单铰后，分别计入个数的单刚结点和单铰后，分别计入g与与h中；中；体系中的固定铰支座、定向支座和固定支座，按上节所述体系中的固定铰支座、定向支座和固定支座，按上节所述方法等效为相应个数的支杆后，计入方法等效为相应个数的支杆后，计入r中。中。3(32)Wmghr16 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学【例例2.1】试求图】试求图2.12所示体系的计算自由度。所示体系的计算自由度。m1m

12、2m3m45mm6m97m8mh11g2hg2g1h2h11h2r1r【解】在图【解】在图2.12中，用中，用m1m9代表组成该体系的各刚片，代表组成该体系的各刚片，因此刚片总数因此刚片总数m=9。在各结。在各结点处，标明其等效的单刚结点处，标明其等效的单刚结点（用点（用g表示）或单铰（用表示）或单铰（用h表示）的个数，用表示）的个数，用g或或h前的前的数字表示，因此数字表示，因此g=4，h=7。在各支座处，标明其等效的在各支座处，标明其等效的支杆个数，用支杆个数，用r前的数字表示，前的数字表示，因此因此r=3。最终该体系的计算。最终该体系的计算自由度由式（自由度由式（2-4）计算为）计算为3

13、 9(34273)2W 图2.12 例题2.1图17 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学常见的仅由全铰结点、链杆和支杆组成的体系，称常见的仅由全铰结点、链杆和支杆组成的体系，称为为铰结链杆体系铰结链杆体系。这类特定体系的计算自由度也可采用。这类特定体系的计算自由度也可采用以下更为简捷的公式计算以下更为简捷的公式计算2()Wjbr18 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学【例例2.2】试求图】试求图2.13所示铰结链杆体系的计算自由度。所示铰结链杆体系的计算自由度。r21rj1j2j3j45j6jj78jb11b1bb11bb11b1bb11bb1b11b【解】在图【解】在

14、图2.13中，用中，用j1j8表表示体系中的各个全铰，因此示体系中的各个全铰，因此j=8。在链杆和支杆旁，分别。在链杆和支杆旁，分别用数字与用数字与b或或r的组合来表示的组合来表示链杆和支杆的个数，因此链杆和支杆的个数，因此b=13、r=3。最终该体系的计。最终该体系的计算自由度为算自由度为2 8(133)0W 图2.13 例题2.2图19 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学2.2.3 计算自由度计算自由度W与几何组成性质之间的关系与几何组成性质之间的关系0(a) W0(b) W图图2.14 W0的体系的几何组成性质的体系的几何组成性质W=0且几何不变(b) W=0且几何可变(a)

15、图图2.15 W=0的体系的几何组成性质的体系的几何组成性质(a) W0且几何不变(b)0且几何可变W图图2.16 W0，则体系必为，则体系必为几何常变体系。若几何常变体系。若W0，还需按以下步骤进行分析，以确定体，还需按以下步骤进行分析，以确定体系是否几何不变。本步骤一般可略去。系是否几何不变。本步骤一般可略去。第第2步：简化体系。常采取以下简化方法：若整体中有二步：简化体系。常采取以下简化方法：若整体中有二元体，则可依次去除；检查体系是否简支支承；将只通过两个元体，则可依次去除；检查体系是否简支支承；将只通过两个铰与体系其余部分相连的刚片等效为链杆。铰与体系其余部分相连的刚片等效为链杆。第

16、第3步：选取刚片。从简化后的体系内部选取合理的刚片，步：选取刚片。从简化后的体系内部选取合理的刚片，这些刚片应符合几何组成规则的要求。这些刚片应符合几何组成规则的要求。第第4步：应用组成规则判定简化后的体系的几何组成性质，步：应用组成规则判定简化后的体系的几何组成性质，其结果也就是原体系的几何组成性质。若本步骤出现无法应用其结果也就是原体系的几何组成性质。若本步骤出现无法应用基本组成规则的情况，则说明第基本组成规则的情况，则说明第3步中选取的刚片不合理，应步中选取的刚片不合理，应重做第重做第3和第和第4步。步。第第5步：下结论。结论应明确为下列四种结果之一：步：下结论。结论应明确为下列四种结果

17、之一：43 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学n无多余约束的几何不变体系几何不变体系有 个多余约束的几何不变体系几何常变体系几何可变体系几何瞬变体系44 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学2.5 体系的几何组成与静力特性的关系体系的几何组成与静力特性的关系2.5.1 无多余约束的几何不变体系（静定结构）无多余约束的几何不变体系（静定结构）静定结构从几何特征上定义为无多余约束的几何不变体静定结构从几何特征上定义为无多余约束的几何不变体系。正因为没有多余约束，导致静定结构在静力特性上表现系。正因为没有多余约束，导致静定结构在静力特性上表现为：全部反力和内力均可由静力平衡条件

18、唯一确定。为：全部反力和内力均可由静力平衡条件唯一确定。2.5.2 有多余约束的几何不变体系（超静定结构）有多余约束的几何不变体系（超静定结构）超静定结构从几何特征上定义为有多余约束的几何不变超静定结构从几何特征上定义为有多余约束的几何不变体系。由于存在多余约束，导致超静定结构在静力特性上表体系。由于存在多余约束，导致超静定结构在静力特性上表现为：全部反力和内力无法仅由静力平衡条件唯一确定，必现为：全部反力和内力无法仅由静力平衡条件唯一确定，必须补充变形协调条件才能唯一确定。须补充变形协调条件才能唯一确定。2.5.3 几何瞬变体系及其静力特性几何瞬变体系及其静力特性如如2.4节所述，几何瞬变体

19、系属于几何可变体系中的一种，节所述，几何瞬变体系属于几何可变体系中的一种，常由约束布置不当所致。其静力特性为：在有限大小的任意常由约束布置不当所致。其静力特性为：在有限大小的任意荷载作用下，体系会出现无穷大的内力，因此不能用作结构。荷载作用下，体系会出现无穷大的内力，因此不能用作结构。45 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学本章小结本章小结（1）平面杆件体系分为几何不变体系和几何可变体系。）平面杆件体系分为几何不变体系和几何可变体系。进行几何组成分析的目的主要是：在一个体系被视作刚体体系进行几何组成分析的目的主要是：在一个体系被视作刚体体系的前提下，研究如果保证这个体系成为几何不变

20、体系，从而确的前提下，研究如果保证这个体系成为几何不变体系，从而确保它能被作为结构使用；同时，根据结构的几何组成，可以判保它能被作为结构使用；同时，根据结构的几何组成，可以判定结构是静定结构或超静定结构，以便正确选择相应的静力分定结构是静定结构或超静定结构，以便正确选择相应的静力分析方法和程序，这一点，以后各章经常会用到。析方法和程序，这一点，以后各章经常会用到。（2）几何不变且无多余约束体系的组成，一般遵循一条）几何不变且无多余约束体系的组成，一般遵循一条总规则总规则“三角形规则三角形规则“（“铰结三角形是内部无多余约束铰结三角形是内部无多余约束的几何不变体系的几何不变体系”），由此可导出三

21、个基本组成规则），由此可导出三个基本组成规则二元二元体规则、两刚片规则（含两个表述）和三刚片规则。进行几何体规则、两刚片规则（含两个表述）和三刚片规则。进行几何组成分析时，常采用组成分析时，常采用“简化体系简化体系扩展局部扩展局部应用规则应用规则作出作出结论结论”的步骤。的步骤。“三角形规则三角形规则”对于分析常规体系非常适用，对于分析常规体系非常适用，但它们只是构成几何不变体系的充分条件，而不是必要条件，但它们只是构成几何不变体系的充分条件，而不是必要条件，因为有些复杂体系并不符合这些几何组成规则，但却也是几何因为有些复杂体系并不符合这些几何组成规则，但却也是几何不变体系。对于复杂体系，可以

22、采用其他的分析方法（如零载不变体系。对于复杂体系，可以采用其他的分析方法（如零载法、矩阵分析法等）来判断确定。法、矩阵分析法等）来判断确定。46 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学（3）结构的几何组成和静力特征之间的关系）结构的几何组成和静力特征之间的关系几何不变且无多余约束几何不变且无多余约束静定结构；静定结构；几何不变但有多余约束几何不变但有多余约束超静定结构；超静定结构；几何可变（包括几何常变体系和几何瞬变体系）几何可变（包括几何常变体系和几何瞬变体系）不能用作结构。不能用作结构。（4）能灵活地运用三个基本组成规则分析平面杆件体系）能灵活地运用三个基本组成规则分析平面杆件体系的几何组成性质，是本章的重点，也是本章的难点所在。的几何组成性质，是本章的重点，也是本章的难点所在。“三角形规则三角形规则”看似浅显，但运用却灵活多变，初学者往往看似浅显，但运用却灵活多变，初学者往往难于下手，为此，由浅入深地多做一些练习，逐步提高分析难于下手，为此，由浅入深地多做一些练习，逐步提高分析能力是十分必要的。能力是十分必要的。47 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材 出版社 科技分社