二圆锥曲线的参数方程

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1、 前几节课我们学习了圆前几节课我们学习了圆的参数方程是的参数方程是 那么，对于椭圆那么，对于椭圆 ，它的参数方程用什么来表示呢？，它的参数方程用什么来表示呢？221xy cossinxy 22221xyab 导入新课导入新课 教学目标教学目标知识与能力知识与能力1.了解椭圆的参数方程的概念了解椭圆的参数方程的概念.2.培养同学们培养同学们分析曲线的能力分析曲线的能力.过程与方法过程与方法 情感态度与价值观情感态度与价值观1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律培养学生探究现实生活中大量存在的规律.2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法让学生意识到同一问题可有多种求解方法.1.掌握用参数方程的

2、思想方法来认识问题掌握用参数方程的思想方法来认识问题.1.分析椭圆的参数方程的几何意义分析椭圆的参数方程的几何意义.2.椭圆的参数方程椭圆的参数方程.1.根据问题的条件引进适当的参数根据问题的条件引进适当的参数.2.选择适当的参数写出椭圆的参数方程选择适当的参数写出椭圆的参数方程.3.体会椭圆的参数方程的意义体会椭圆的参数方程的意义.重点重点难点难点 从几何变换的角度看，通过伸缩变换从几何变换的角度看，通过伸缩变换 椭圆椭圆 可以变成可以变成圆圆 ，利用圆的参数方程，利用圆的参数方程 可以得到可以得到椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：为：11xxayyb 22221xyab 221xy coss

3、inxy cossinxayb 为为离离心心角角 1.如图如图,以原点以原点O为圆心，为圆心， 分别以分别以a,b（ab 0）为半径，作两个同心圆，）为半径，作两个同心圆， 点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过点与小圆的交点，过点A作作 ，垂足为，垂足为N.过点过点B作作 ，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径 OA绕点绕点0旋转时旋转时,点点M的的 轨迹的参数方程轨迹的参数方程.OA OX BMAN MOxyABN 解：设点解：设点M的坐标为（的坐标为（x,y），）， 是以是以 为始边为始边,OA为终边的正角，取为终边的正角，取 为参数为参数. 那么那么, 即所求点即所求点M的轨迹

4、参数方程为的轨迹参数方程为. Ox| cos,| sinxO NO AyN MO B cos(sinxayb 为为参参数数）这是中心在原点这是中心在原点O，焦点在，焦点在X轴上的椭圆轴上的椭圆 2.求椭圆求椭圆 上的点上的点P到直线到直线 的最大距离及此时的最大距离及此时P P点的坐标点的坐标. .2cos ,(0)sinxy 2214xy40 xy 解：由已知，可得椭圆的参数方程为解：由已知，可得椭圆的参数方程为椭圆上的点椭圆上的点 到直线到直线 的距离的距离 (2cos ,sin )(0)P 4 0 xy |5sin()4|21.sin,cos.555 其其中中sin()1,2 时时 即即

5、当当max54,52cossin,514 55sincos,(,).555dP 此此时时2cossin5d 1.在椭圆在椭圆 上求一点上求一点P,P,使使P P 到直线到直线 的距离最小的距离最小. .2288xy:40lxy 课堂练习课堂练习P P的坐标为的坐标为81(,)33 解：由已知得，解：由已知得，(2 2cos ,sin )P 则点则点P P到直线的距离为：到直线的距离为：221cos,sin.33 其中其中当当时，时， 取最小值取最小值cos()1 d222 2coscos()cossin()sin,3 此时此时1sinsin()coscos()sin.3 |2 2cossin4

6、|2d 时，时， 类似于探究椭圆参数方程的方法我们类似于探究椭圆参数方程的方法我们来探究双曲线来探究双曲线 的参数方程的参数方程.22221(0,0)xyabab 导入新课导入新课 教学目标教学目标知识与能力知识与能力1.了解双曲线的参数方程的概念了解双曲线的参数方程的概念. .2.培养同学们培养同学们分析曲线的能力分析曲线的能力.过程与方法过程与方法 情感态度与价值观情感态度与价值观1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律培养学生探究现实生活中大量存在的规律.2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法让学生意识到同一问题可有多种求解方法.1.掌握用参数方程的思想方法来认识问题掌握用参数方程的思

7、想方法来认识问题.重点重点难点难点1.分析双曲线的参数方程的几何意义分析双曲线的参数方程的几何意义.2.双曲线的参数方程双曲线的参数方程.1.根据问题的条件引进适当的参数根据问题的条件引进适当的参数.2.选择适当的参数写出双曲线的参数方程选择适当的参数写出双曲线的参数方程.3.体会双曲线的参数方程的意义体会双曲线的参数方程的意义. 如图如图, ,以原点以原点O为圆心，为圆心，a,b（a0,b0）为半径为半径分别作同心圆分别作同心圆C1,C2.设设A为圆为圆C1上任意上任意一点，作直线一点，作直线OA, ,过点过点A作圆作圆C1的的切线切线 与与X轴交于轴交于点点 ，过圆，过圆C2与与x轴的交点

8、轴的交点B作切线作切线 与直线与直线OA交于点交于点 .Ox）MBAyBAAA ABB Box）MBA Ay yBBAA 过点过点 分别作分别作y轴轴,x轴的平行线轴的平行线 交于点交于点M. 设设OX为始边，为始边，OA为终边的角为为终边的角为 ，点，点M的坐的坐标为（标为（x,y），那么），那么点点 的坐标为（的坐标为（x,0）点点 的坐标为（的坐标为（b,y）.BA, MBMA,AB 因为点因为点A在圆上，所以点在圆上，所以点A的坐标为的坐标为 所以所以 因为因为 所以所以从而从而( cos ,sin )aa (cos,sin),OAaa (cos ,sin )OAAAxaa OAAA

9、0OAAA 2cos (cos )( sin )0axaa ox）MBAyBA 这是中心在原点，焦点在这是中心在原点，焦点在X轴上的双曲线，轴上的双曲线， 通常规定参数通常规定参数 的范围是的范围是 且且0, 2 3,22 解得解得1seccosxaa 因为点因为点 在角在角 的终边上，的终边上，所以所以tan,tanyybb 所以点所以点M的参数方程为：的参数方程为：s e ct a nxayb 为离心角B 1.设设M为双曲线为双曲线上任意一点上任意一点，O为原点，为原点，过过M作双曲线两渐渐线，作双曲线两渐渐线，分别与两渐渐线交于分别与两渐渐线交于A,B两点，两点，求平行四边形求平行四边形

10、MAOB的面积，的面积，由此得出什么结论？由此得出什么结论？22221( ,)xya boab y yoxMBA A 解：双曲线的渐渐线方程为解：双曲线的渐渐线方程为设设M M为双曲线右支上一点，为双曲线右支上一点，其坐标为其坐标为 ，其直线其直线MA的方程为的方程为将将 代入此方程，解得点代入此方程，解得点A的横坐标为，的横坐标为，y yoxMBA Abyxa (sec,tan)ab tan(sec )by bx aa xaby (sectan )2Aax(sectan)2Aax 同理可得，点同理可得，点B的横坐标为的横坐标为 设设 则则 因此平行四边形因此平行四边形MAOB的面积为的面积为

11、 因此，平行四边形的面积恒为定值，因此，平行四边形的面积恒为定值， 与点与点M在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关. .y yoxMBA A(sectan )2Bax AOX ta nba 2222| |sin2sin2coscos(sectan)sin24cos2ABxxSOAOBaab 1.设双曲线设双曲线 （a0,b0）的渐近线与抛物线的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的相切，则该双曲线的离心率等于（离心率等于（ ）A、 B、2 C、 D、22221xyab 356C 课堂练习课堂练习 2.求证：双曲线求证：双曲线上任一点上任一点P到两渐近线距离之积为定值到两渐近线距离之

12、积为定值22221xyab XOPAB 解：设解：设P（asec ,btg ） 两渐近线方程为：两渐近线方程为：bx+ay = 0, 则则 （定值）（定值） 122222secsecabtgabtgd dabab =2222a bab 前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻t t作参数的抛物线的参数方程作参数的抛物线的参数方程: : （ 为参数为参数且且 ） 想想对于一般的抛物线，建立想想对于一般的抛物线，建立怎样怎样相应的相应的参数方程呢？参数方程呢？210015002xtygt t100(0)tg 导入新课导入新课 教学目标教学目标知识与能力知识与能力1.了解抛物线的参数方程的概念了解抛物线

13、的参数方程的概念.2.培养同学们培养同学们分析曲线的能力分析曲线的能力.过程与方法过程与方法 情感态度与价值观情感态度与价值观1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律培养学生探究现实生活中大量存在的规律.2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法让学生意识到同一问题可有多种求解方法.1.掌握用参数方程的思想方法来认识问题掌握用参数方程的思想方法来认识问题.重点重点难点难点1.分析抛物线的参数方程的几何意义分析抛物线的参数方程的几何意义.2.抛物线的参数方程抛物线的参数方程.1.根据问题的条件引进适当的参数根据问题的条件引进适当的参数.2.选择适当的参数写出抛物线的参数方程选择适当的参数写出抛物线

14、的参数方程.3.体会抛物线的参数方程的意义体会抛物线的参数方程的意义.如图，设抛物线的普通方程如图，设抛物线的普通方程 y=2px , P点表示焦点到点表示焦点到准线的距离准线的距离,设设M（x,y）为抛物）为抛物线除顶点外的一点，以射线线除顶点外的一点，以射线OM为终边的角记为为终边的角记为由三角函数由三角函数 定义可得：定义可得：解得，解得， 这就是抛物线的参数方程这就是抛物线的参数方程.M（x,y）x xy y0 tanxy 22ta n2ta npxpy 令令 ，则有则有, ,抛物线抛物线y2=2pxy2=2px的参数方程为的参数方程为 （ 为参数）为参数） 当当t=0t=0，此参数方

15、程表示抛物线的顶点（，此参数方程表示抛物线的顶点（0 0，0 0）, ,因此，当因此，当 此参数方程表示整条抛物线，此参数方程表示整条抛物线，参数参数t t 表示抛物线上除顶点外的任意一点表示抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数与原点连线的斜率的倒数. . 1,(,0)(0,)tantt 222xptypt t(,)t 1.如图，如图， A,B是抛物是抛物上异于顶点的两动点，上异于顶点的两动点，且且 ,并与并与AB相交于点相交于点M，求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.y0 xBAM22(0)ypx p OAOB OMAB x xy y0BAM 解：根据条件，设点解：根据条件，设点M

16、,A,B的坐标分别为的坐标分别为则则因为因为 所以所以即即所以所以221122( , ),(2,2),(2,2),x yptptptpt1212(,0)tt tt 211( , ),(2,2)OMx y OAptpt 222(2,2),OBptpt 222121(2 (),2 ()ABpttptt OAOB O AO B 221 21 2(2)(2 )0pt tp t t 121tt （2009年全国）年全国）1.已知椭圆已知椭圆 的右焦点为的右焦点为 , ,右准线为右准线为 ，点，点 ，线段，线段 交交C C于点于点若若 , ,则则 = =（ ）A、 B、2 C、 D、322:12xCy F

17、lAl AF3FAFB |A F 23A 解解: :过点过点B作作 于于M,并设右准线并设右准线 与与X轴的交点为轴的交点为N，易知，易知FN=1.由题意由题意, 故故 .又由椭圆的第二定义又由椭圆的第二定义,得得: ,故选故选ABMll3FAFB 2|3BM 2 22|233BF |2AF 2.设双曲线设双曲线 （a0,b0）的渐近的渐近线与抛物线线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率相切，则该双曲线的离心率 等于（等于（ ）A、 B、2 C、 D、22221xyab 356C （2009年全国）年全国） 解：设切点解：设切点 ，则切线的斜率为，则切线的斜率为 . .由题意有由题意

18、有 又又 解得解得, ., .00(,)P xy00|2xxyx 0002yxx 2001yx 2201,2,1( )5bbxeaa 3.已知直线已知直线与抛物线与抛物线 相交于相交于A,B两点，两点，F为为C的焦点，若的焦点，若 则则 （ ） A、 B、 C、 D、 20yk xk （2009年全国理）年全国理） 2:8Cyx |2|FAFB k 1323232 23D2009年（理工农医类）（北京卷）年（理工农医类）（北京卷）4.已知双曲线已知双曲线 的离心率为的离心率为 右准线方程为右准线方程为 （）求双曲线的方程；）求双曲线的方程； （）设直线）设直线 是圆是圆 上动点上动点 处的切线

19、，处的切线， 与双曲线交于不同的两点与双曲线交于不同的两点 ， 证明的证明的 大小为定值大小为定值. . 2222:1(0,0)xyCabab 333x 22:2O xy l0000(,)(0)P xyx y A , BlAOB 解解: :（）由题意，得，）由题意，得， 解得，解得， , 所求双曲线的方程为所求双曲线的方程为2333acca 1,3ac 2222bca 2212yx （）点点 在圆在圆 上，上， 圆在点圆在点 处的切线方程为处的切线方程为 化简得化简得 由由 0000,0Pxyx y 222xy 00,P xy 0000 xyyxxy 002x xy y 2200122yxx

20、xy y 及及 得，得，切线切线 与双曲线与双曲线C C交于不同的两点交于不同的两点A A、B B， 且，且， 且且设设A A、B B两点的坐标分别为两点的坐标分别为则，则，又又22002xy 2220003448 20 xxx xx 2002x l20340 x 222000164 34820 xxx 1122,xyxy20012122200482,3434xxxxx xxx cos| |OA OBAOBOAOB 所以所以 的大小为的大小为90且且1212120102201(2)(2)OA OBx xy yx xx xx xy 2120120122014 22x xxxxx x xx 222

21、20000222200008 28 28143423434xxxxxxxx 22002200822803434xxxx AOB 4.如图，已知抛物线如图，已知抛物线 与圆与圆 相交于相交于 A、B、C、D四个点四个点 （I）求）求r的取值范围；的取值范围；（II）当四边形的）当四边形的 面积面积 最大时，求对角线最大时，求对角线AC、BD的交点的交点P的坐标的坐标.A AB BC CD DP PM MX Xy yo o（2009年全国）年全国）2:Eyx 222:(4)(0)Mxyr r ABCD解解：（：（I）将抛物线将抛物线 与圆的方程与圆的方程 联立，消联立，消去去 ，整理得，整理得 .

22、（1）抛物线抛物线 与圆与圆 相交于相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根即可有两个不相等的正根即可. .由此得由此得, ,2:Eyx 222:(4)(0)Mxyrr2y227160 xxr 2:Eyx 222:(4)(0)Mxyrr221221274 16070160()()rxxx xr 解得解得 , ,又又 所以所以 215164r 0r 1 5(, 4 )2r （IIII）设）设E E与与M M的四个交点的坐标分别为：的四个交点的坐标分别为： 、 、 、 则直线则直线AC,BD的方程分别为的方程分别为 解得点解得点P P的坐标为的坐

23、标为11(,)A xx11(,)B xx 22(,)Cxx 22(,)Dxx212111112121(),()xxxxyxx xyxx xxxxx 12(,0)x x将将 代入上式，令代入上式，令 得得 设设 由由 及（及（I I）知）知 由于四边形为等腰梯形，因而其面积由于四边形为等腰梯形，因而其面积12tx x tr216702t 2112211212|() |()2Sxxxxxxxx 2212121212()4 (2)Sxxx xxxx x 121 27,xxxxt 2( )ftS 27( ) (7 2 )(7 2 )(0)2f tttt ( )2(7 2 ) (67)f ttt 令令

24、，解得，解得 （舍去）（舍去） 当当 时，时， ； 时，时， ； 时，时， ; ; 故当且仅当故当且仅当 时，时， 有最大值，有最大值， 即四边形即四边形ABCD的面积最大，故所求的的面积最大，故所求的 点点P P的坐标为的坐标为( )0ft 77,62tt 706t ( )0ft 76t ( )0ft 7762t ( )0ft 76t ( )f t7(, 0 )6 1.解：因为解：因为2a=15565,2b=15443,所以所以a=15565， b=7721.5 ,所求的椭圆参数方程为所求的椭圆参数方程为 （ 为参数）为参数）7782.5cos7721.5sinxy 2.解：设解：设 因为因

25、为P,Q分别为分别为BM1,BM2与与x轴的交点，所以轴的交点，所以KB1P=KB1M,KB2Q=KB2M,由斜率公式并计算得由斜率公式并计算得所以所以 （定值）（定值）coscos,1sin1sinPQaaxx ( cos , sin ),(,0),(,0)PQM abP xQ x2| | |PQOPOQxxa 3.证明证明：设等轴双曲线的普通方程为设等轴双曲线的普通方程为 ，则它的参数方程为，则它的参数方程为 （ 为参数）为参数） 设设 是双曲线上任意一点，是双曲线上任意一点，则点则点M到两渐渐线到两渐渐线y=x及及y=-x的距离之积为的距离之积为 （常数）（常数）222(0)xya a

26、c o st a naxya (, tan )cosaMa 222222222|tan | |tan |tan|coscoscos221111aaaaaaa 4.证明：设点证明：设点A,B的坐标分别为的坐标分别为 （2pt12,2pt1）,（2pt22,2pt2），则点），则点C的坐标为的坐标为（2pt22 ,2pt2）直线）直线AB的方程为的方程为 所以点所以点D的坐标为（的坐标为（-2pt1t2,0），直线），直线AC的方程为的方程为 所以所以E的坐标为（的坐标为（2pt1t2,0）,因为因为DE的中点的中点为原点为原点O（0,0），所以抛物线的顶点），所以抛物线的顶点O平分平分线段线段DE.2111212(2)yptxpttt 2111212(2)yptxpttt 5.解：直线解：直线OA的方程为的方程为直线直线OB的方程为的方程为解方程组解方程组 ，得点，得点A的坐标是的坐标是解方程组解方程组 ，得点，得点B的坐标是的坐标是 设点设点M的坐标为的坐标为 ，则，则ykx 1yxk 22ykxypx 222(,)ppkk212yxkyp x 2(2, 2)pkpk (,)xy所以，线段所以，线段AB的中点的中点M的的轨迹的方程是轨迹的方程是 （ 为方程）为方程） 222222222222,22pppkpkppkkxpk ypkkk 22,pxp kkpyp kk k