第二十二章概率统计

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1、概率统计22.1知识清单1.离散型随机变量分布列（ 1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量；所取值可以一一列举的随机变量叫离散型随机变量（2）一般地，假定随机变量X 有 n 个不同的取值，它们分别是x1,x2 ,.,xn， 且 P（ X=x i） =pii=1,2,.,n,则称上式为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列Xx1x2.xnPpp.pn12我们将上表称为随机变量X 的概率分布表显然，这里 pi （ 1,2,.,n）满足条件 _, _离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值概率之和2.超几何分布若有一批产品共 N 件，其中有 M 件

2、不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的概率分布如下表所示X012.lPCM0 CNnMCM1 CNn 1MCM2 CNn 2M.CMl CNn lMC nCnCnC nNNNN其中 l=min （n， m）一般的，若一个随机变量X 的分布列为P( X r )CMr CNnrM , r0,1,2,3,l , lmin( n,m) ，则称 X 服从超几何分布，记为CNnX H (n, M , N ), 并将 P( X r )CMr CNn rM 记为 H（r；n，M，N）CNn其中 r ：样品中不合格品的个数，n 样本容量， M，不合格品总数，N 总体中的个体总数。知识清单答案 Pi

3、0 p1 p2pn1突破方法方法如何求离散型随机变量的分布列与期望例（ 2013 江苏通州中学月考，24,10 分） 2013 年第十二届全运会将在沈阳举行，乒乓球比赛会产生男子个人，女子个人， 男子团体，女子团体共四枚金牌，保守估计福建男队获得金牌的概率是3/4，福建女队得金牌的概率是4/5，（1）记福建乒乓球男队获得金牌总数为X ，求 X 的分布列，和数学期望（2）求福建乒乓球女队比男队多获得一枚金牌的概率解题思路（ 1）求出X 取每个值的概率，列出分布列，进而求数学期望，（ 2）列出所有可能的情况，分别计算概率，再利用互斥事件概率公式进行求解解析 （ 1） X 的所有可能取值为 0,1,

4、2P( X 0)(13)21 , P( X 1) C 21 (13)33 ,则416448339P( X2)4416则 X 的分布列是X012P1/163/89/16所有 X 的期望 EX 011 3293168162（ 2）设事件 A= 福建乒乓球男队获得 0 个金牌， 女队 1 个金牌 ，事件 B= 男队获得 1 个金牌，女队获得 2 个金牌 P( A) C21 (13)2 414550P( B) C 21 3 (13)( 4)2644525由事件 A ，为互斥事件，所以 P( A B)13P(A) P( B)50【方法点拨】求解此类问题的步骤，首先需深刻理解背景，列出X 所有可能的取值；

5、其次求出 X 取每个值时的概率，就可以得到随机变量的概率分布列；再次，利用随机变量数学期望的定义进行计算；最后，利用互斥事件的概率公式求概率，注意在已知随机变量分布的情况下， 一般利用随机变量的均值定义求解，对于这些实际问题中的随机变量，如果能判断它服从的典型分布，则随机变量的期望可利用这种分布期望的公式进行计算（如X B(n, p), EXnp ），因此，熟记常见典型分布的期望公式，可加快解题速度。22.2知识清单1.若 P（ B ）0 则在事件已发生的条件下，事件A 发生的条件概率是P（A|B ）=_2.相互独立事件及同时发生的概率（1）若事件 A,B 满足 P（ A|B ）=P（ A ）

6、，则称事件 A ，B 独立，若 A ，B 独立，那么 B，A也独立，因此可称 A 与 B 相互独立（ 2）事件 A ， B 是相互独立事件，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生概率的积，即 P（AB ） = _一般地，如果事件A1 , A2An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P( A1A2An ) _3.独立重复试验如果在一次试验中，某事件发生的概率为p，那么在 n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生 k 次的概率为 Pn (k) _4.二项分布 :如果在一次试验中,某事件发生的概率是p,那么在 n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生 k

7、次的概率是 P(k ) C nk pk qn k ,k0,1,2,3,n, q1 p .于是得到随机变量的概率分布如下01.k.nPCn0 p0qnCn1 p1 qn 1.Cnk p k qn k.Cnn pn q0由于 Cnk p k qn k 恰是二项展开式(q p)nCn0 p0qnC nk pk qn kCnn pnq 0 中的第 k+1 项（k=0,1,2,3,.,n ）的值，故称随机变量服从二项分布，记_【知识拓展】1.解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质，等可能事件，互斥事件，独立事件，n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种。第二步，判断事件概率的运算，和事

8、件，积事件，即至少判断一个发生，还是同时发生，确定运用加法或乘法原理第三步，运用公式求概率等可能事件 P（ A ） =m/n互斥事件 P( AB) P( A)P( B), P( AB)0独立事件 P( AB)P( A) P(B)n 次独立重复试验P( X k )C k p k(1 p) nkn条件概率 P（ B|A ） =P（AB ） /P(A)2.方程思想在概率运算中的运用在概率运算过程中， 会经常遇到求两个或三个事件的概率或确定某个参数值的问题，此时可考虑方程（组）的方法，借助题中条件列出含有该未知量的方程（组），进而求解。知识清单答案P（ AB ） /P(B) P(A)P(B) P( A

9、1) ? P(An )C nk pk (1 p)nk B( n, p)突破方法离散型随机变量的概率应用题解法例 （ 2013 苏北四市， 24,10 分）现有 4 人去参观某娱乐活动，该活动有甲乙两个游戏供选择，为增加趣味性， 他们约定每人通过投掷一个均匀的骰子来决定自己去参加哪个游戏，点数 1 或 2 的人去参加甲游戏，点数大于2 的人去参加乙游戏（ 1）求 4 个人中恰有两个人去参加甲游戏的概率（ 2）求 4 个人中去参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率（3）用 X， Y 分别表示这4 个人中去参加甲乙游戏的人数，记=|X-Y| ，求随机变量的分布列和数学期望E解题思路 （ 1）利用

10、二项式分布概率公式求出P（X=2 ）；（ 2）要求这 4 个人中去参加甲的人数大于去参加乙的人数的概率，即求P(X=3)+P(X=4) 的值（ 3）先判断的所有可能取值，再分别求出相应取值的概率，即可以列出分布列解析依题意，这四个人中每个人去参加甲游戏的概率为1/3 去参加乙游戏的概率为2/3设“ 4 个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i（ i=0,1,2,3,4 ）则 P( Ai ) C4i ( 1)i ( 2 )4 i33C42 ( 1) 2 ( 2 )428（1）这 4 个人中有2 个人去参加甲游戏的概率为P( A2 )3327（2）设“ 4 个人中去参加甲游戏的人数大于参加乙游戏

11、的人数”为事件B， B A3A4 ，两者互斥，故 P( B) P( A3 ) P( A4 )C43 (1)3 (2) C44 (1)413339所以 4 个人中去参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为1/9（3）的所有可能取值为0，2,4由于 A 1，A 3 互斥， A 0，A 4 互斥P(0) P( A2 )827P(402) P( A1) P( A3 )81P(4) P( A0 )17P( A4 )81所以的分布列是024P8/2740/8117/81所以 E=148/81【方法点拨】 求离散型随机变量的分布时， 要应用随机变量分布的性质进行检验， 对于有些实际问题中的随机变量， 如

12、果能够判断它服从的二项分布， 则此随机变量的概率可直接用二项分布公式求得，因此熟记二项分布的概率公式，可加快解题速度。22.3知识清单离散型随机变量的均值和方差（1）若离散型随机变量的概率分布为P( Xxi )pi ,i1,2,n，则称 (X)= _为随机变量 X 的数学期望或均值， pi0, i 1,2, ,n, p1 p2pn 1 。若 Y=aX+b ，其中 a， b 为常数，则 Y 也是随机变量，数学期望E(Y)= _,E(aX+b)=_,若 X B(n, p), E( X ) _，若 X B( n, M , N ), E( X ) _。（2）方差，把 V ( X )( x1E( X )

13、2 p1 ( x2E (X ) 2 p2(xnE( X ) 2 pn ，叫做随机变量 X 的方差，标准差= _其中 pi0,i 1,2,n, p1p2pn 1 。若 X B(n, p),V ( X ) _若 X B(n, M , N ),V ( X )n M (1 M ) NnNN N1知识清单答案 x1 p1x2 p2xn pn aE ( X ) b aE ( X ) b np n M V (X )N np(1p)突破方法方法 如何解答离散型随机变量的均值和方差例 （2013 江苏扬州三模， 24,10 分）某区组织群众性登山健身活动，招募N 名师生志愿者，现在将所有志愿者按年龄情况分为15

14、20,2025,2530,3035,3540,4045 六个层次，其频率分布直方图如下所示，知3035 间志愿者共 8 人（1）求 N 和 2030 间的志愿者人数N1 ；（2）已知 2025 和 3035 之间各有2 名英语老师，现从这两个层次各选取2 人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1 名英语老师的概率；（3）组织者从 3540 之间的志愿者（其中 4 名女老师，其余全是男老师）中随机选3 名担任后勤工作，其中女老师的人数为，求的概率分布列和数学期望解题思路 本题将传统的频率分布直方图背景赋予数学期望，既为频率分布直方图输送新鲜的血液，又为数学期望找到了坚实的

15、着陆点。解析（ 1）设频率分布直方图中6个层次的频率为 P1, P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ,P4840，由题意 P1 P2P3 P4 P5 P61 ，而0.04 5 0.2 N0.2P2P31(P1P4P5P6 ) =0.6所以 2030 之间的志愿者人数N140( P2P3 ) 24（2） P2 0.3,20 25 : 400.312 人设从 2025 之间各有2 名担任接待工作， 其中至少有 1 名英语老师的时间 B，从 3035 之间选取 2 人担任接待工作， 其中至少1 名英语老师为事件，两组的选择互不影响，故为相互独立事件。P( B)1 P(B)71P(C)13;

16、 P(C)282213与 C 为相互独立事件，同时发生可记作BC ， P(BC) P( B)P(C)88（3） 3545 之间有 5(0.010.02) 406人，其中 4 人为女老师， 2 人为男老师，从中选 3 人，则女老师可能的取值为1,2,3P(C41C2211)5C63P(C42C2132)5C63P(C4313)5C63分布列为123P1/53/51/5所以数学期望 E=1/5+6/5+3/5=2【方法点拨】解离散随机变量的期望与方差的考题主要要过两关：一是事理关，读懂题意，需要一定的审题能力，二是数理关， 即构建数学模型 （如二项分布， 超几何分布， 独立事件，古典概型等）构建后还需要有扎实的基础知识和较强的数理能力。