常微分方程3.1可降阶的高阶微分方程课堂材料

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1、第三章 二阶及高阶微分方程3.1 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程3.3 线性齐次常系数方程线性齐次常系数方程3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法线性非齐次常系数方程的待定系数法3.5 高阶微分方程的应用高阶微分方程的应用3.2 线性微分方程的基本理论线性微分方程的基本理论1 前一章介绍了一些一阶微分方程的解法前一章介绍了一些一阶微分方程的解法, ,在实际的应用中，还会遇到高阶的微分方程，在实际的应用中，还会遇到高阶的微分方程，在这一章，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程在这一章，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程,即高阶微分方程的求解方法和理论即高阶微分方程的求解方法和理论. .23.1 可

2、降阶的高阶方程可降阶的高阶方程n阶微分方程的一般形式是阶微分方程的一般形式是: : ( )( , ,)0nF t x xx当当2n时时,统称为高阶微分方程统称为高阶微分方程.一一 、 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程1、不显含未知函数不显含未知函数x的方程的方程( )(1)( )( ,)0kknF t xxx(3.1.2)(3.1.2) 不显含未知函数不显含未知函数x x 或不显含未知函数及其或不显含未知函数及其 直到直到) 1( 1kk阶导数的方程是阶导数的方程是3对上式进行对上式进行k 次积分次积分, ,可求出方程可求出方程(3.1.2)(3.1.2)的解的解. .求解方法求解方法: :

3、若能求得其通解为若能求得其通解为: :令令 yxk)(就可把就可把(3.1.2)(3.1.2)化为关于化为关于 y的的 kn阶方程阶方程: : 0),()(knyytF即即),(21)(knkccctx),(21kncccty( )(1)( )( ,)0kknF t xxx(3.1.2)(3.1.2) 4例例 求解方程求解方程.cos3xyxe 解解将方程积分三次将方程积分三次,xey331 xey391 xey3271 通解：通解：xsin 1C xcos xC1 2C xsin 21xC xC2 3C 5它是一个一阶方程它是一个一阶方程, ,通解是通解是: :44d xydt10dyydt

4、t则方程可化为则方程可化为: :ctdtxd44即即cty 解解: : 令令545410d xd xdtt dt例、求解方程例、求解方程积分四次积分四次, ,得原方程的通解为得原方程的通解为: : 54233251ctctctctcx64, 100 xxyy例例 解方程解方程 , py 解解 令令,py 代入原方程代入原方程, ，3213xpxp ，xxxppd13d32 ，13ln)1ln(lnCxp ，)1(31xCp 40 xy，)1(43xy 3213xyxy ，41 C，244Cxxy 10 xy. 144 xxy，12 C，)1(31xCy 72 、不显含自变量、不显含自变量t t

5、 的方程的方程求解方法求解方法: : 方程的一般形式为方程的一般形式为: :yx作为新未知函数作为新未知函数, ,用用而把而把x作为作为 新的自变量新的自变量, , 因为因为, ydtdx,22dxdyydtdxdxdydtdydtxd(3.1.3)(3.1.3)0),()(nxxxF8222233)()()(dxydydxdyydtdxdxdxdyyddtdxdyyddtxd由数学归纳法知由数学归纳法知, , )(kx可用可用 )(,11nkdxyddxdyykk来表达来表达, ,将这些表达式代入将这些表达式代入 (3.1.3)(3.1.3) 可得可得 0) ,)(,(2222dxdydxd

6、yydxdyyyxFy(3.1.3)(3.1.3)0),()(nxxxF, ydtdx即有新方程即有新方程: : 它比原来的方程降低了一阶它比原来的方程降低了一阶. . 11( , ,)0nndydyG x ydxdx9.212的通解的通解求方程求方程yyy 解解,ddyppy 则则, py 设设代入原方程代入原方程例例yppddyp212 可分离变量方程可分离变量方程，yCp121 ，11 yCp，1dd1 yCxyxyCyd1d1 21112CxyCC 1020dyxyydx1yc x所以所以2220d xdxxdtdt例例 求解方程求解方程从而可得从而可得0y dydxyx及及于是原方程

7、化为于是原方程化为: :作为新未知变量作为新未知变量, ,取取, ydtdx12c txc e代入原变量得代入原变量得: :xcdtdx1故原方程的解为故原方程的解为: :113 3、 全微分方程和积分因子全微分方程和积分因子若方程若方程( , ,)0nndxd xF t xdtdt，的左端是某个的左端是某个n-1n-1阶微分表达式阶微分表达式11( , ,)nndxdxt xdtdt，对对t t 的全导数，即的全导数，即 11( , ,)( , ,)nnnndxd xddxdxF t xt xdtdtdtdtdt，称称(3.1.4)(3.1.4)为全微分方程，显然有为全微分方程，显然有 (3

8、.1.4)(3.1.4)111( , ,)nndxdxt xcdtdt，(3.1.5)(3.1.5)12若求得（若求得（3.1.53.1.5）的全部解）的全部解: : 则它也一定是则它也一定是(3.1.4)(3.1.4)的解的解. .),(11nndtxddtdxxt后就成为全微分方程后就成为全微分方程. . 称其为方程称其为方程(3.1.4)(3.1.4)的积分的积分本身不是全微分方程本身不是全微分方程,有时方程有时方程(3.1.4)(3.1.4)积分因子积分因子: :但乘以一个合适的因子但乘以一个合适的因子因子因子. .),(21nccctx( , ,)0nndxd xF t xdtdt，

9、(3.1.4)(3.1.4)111( , ,)nndxdxt xcdtdt，(3.1.5)(3.1.5)13例例 求解方程求解方程解：原方程可以写成解：原方程可以写成222()0d xdxxdtdt()0d xxdt即即1xdxc dt212xctc积分后得通解为积分后得通解为故有故有1cxx14例例 求解方程求解方程解解: : 方程两边乘以因子方程两边乘以因子(0)x 方程化为方程化为: : 22221( .)11()0dxdd xdxx dtx dtxdtdt故有故有 11 dxcx dt222()0d xdxxdtdt解得解得 122(0)c txc ec故原方程的解为故原方程的解为 1

10、2c txc e21x显然显然0 x 也是原方程的解也是原方程的解. .1502 yyy微分方程微分方程满足条件满足条件, 10 xy210 xy的特解是的特解是1 xy或或12 xy解解0)(dd x故故有有yy 1Cyy 可分离变量方程可分离变量方程, 10 xy由由210 xy211 C即即21 yy2222Cxy 10 xy由由212 C12 xy16012 yy求微分方程求微分方程的积分曲线的积分曲线,使该使该积分曲线过点积分曲线过点,21, 0 且在该点的切线斜率为且在该点的切线斜率为2.解解方程方程012 yy,ddyppy 则则, py 设设代入方程代入方程,得得1dd2 yp

11、py1212Cyp 01 Cyxy2dd 223232Cxy 2322132 C所求积分曲线为所求积分曲线为232321223 xy17 思考题思考题处处上上点点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx xttfxy0,d)(1轴上的截距等于轴上的截距等于的切线在的切线在.)(的的一一般般表表达达式式求求xf解解)()(xXxfxfY , 0 X令令轴轴上上的的截截距距得得切切线线在在y)()(xfxxfY xttfx0d)(1)()(d)(0 xfxxfxttfx 积分方程积分方程过曲线过曲线 y = f (x)上点上点( x, f (x)处的切线方程为处的切线方程为18处处上上点

12、点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx .)(的一般表达式的一般表达式求求xf积分方程积分方程两边对两边对x求导求导, 即即0)()( xfxfx型可降阶的方程型可降阶的方程属于属于),(yxfy )()(xpxf 令令)()(xpxf 且且代入上式代入上式,得得0)()( xpxpx可分离变量方程可分离变量方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 xttfxy0,d)(1轴上的截距等于轴上的截距等于的切线在的切线在)()(d)(0 xfxxfxttfx 1921ln)(CxCxf 0)()( xpxpx可分离变量方程可分离变量方程分离变量并积分分离变量并积分xxppd1d1

13、 得得xCCxp11lnlnlnln ,1xCp 即即,)(1xCxf 即即再积分再积分,得得 ,dd)(1xxCxxf即为所求即为所求.可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程204 、可降阶的高阶方程的应用举例可降阶的高阶方程的应用举例例、例、 追线问题追线问题速度速度v v 运动，方向永远指向运动，方向永远指向P P点点, , 求求M M点的运动点的运动在在轴上有一点轴上有一点P P以以常速度常速度a a沿着沿着轴轴xOxO平面上另有一点平面上另有一点M,M,它以常它以常正向移动正向移动; ;在在xoy 轨迹轨迹. .解解: : 首先我们建立点首先我们建立点M M运动时所满足的微分运动时

14、所满足的微分方程模型方程模型. .),(yxM),(000yxM0PPOyxXaa以以( , )x y记点记点M M在时刻在时刻t t 的坐标，的坐标，以以X记点记点P P在时刻在时刻t t的横坐标，的横坐标，表示表示P P点在点在t=0t=0的横坐的横坐标标,0X21图图3.13.1),(yxM),(000yxM0PPOyxXaa根据条件有根据条件有: : （3.1.73.1.7）222()()dxdyvdtdt（3.1.63.1.6）atXX0（3.1.83.1.8）xXydxdy把（把（3.1.63.1.6）代入（）代入（3.1.83.1.8），并记），并记dyydx上式两边关于上式两边

15、关于作为自变量，作为自变量，把把xx求导得求导得得得: :yyatxX022由（由（3.1.93.1.9）和（）和（3.1.103.1.10）得到）得到M M的追线方程的追线方程 dtdxdxdydtdy又由又由得得: :211yvdxdt（3.1.103.1.10）221ayyyvy（3.1.113.1.11）221dtyyyadxy （3.1.93.1.9）即即2yayydxdt 23例例、悬链线问题悬链线问题有一绳索悬挂在有一绳索悬挂在A A和和B B两点两点( (不一定是在同一水平线不一定是在同一水平线),如图如图3.23.2所示所示. .设绳索是均匀的设绳索是均匀的, ,柔柔软的软的

16、,仅受绳本身的重量作用仅受绳本身的重量作用, ,它弯曲如图中的它弯曲如图中的形状形状,试确定该绳索在平衡状态时的形状试确定该绳索在平衡状态时的形状. .解解: : 设设C C是其最低点是其最低点, ,选取坐标系选取坐标系xOy如图中所示如图中所示, ,且且y轴通过轴通过C C点点. .A AB BC CO O),(yxPxy图图3.23.224A AB BC CO O),(yxPxy图图3.23.2考虑绳索在最低点考虑绳索在最低点C C与点与点),(yxP之间的一段之间的一段, ,这一段在下面三个力的作用下平衡这一段在下面三个力的作用下平衡: :(1)(1)在点在点P P的张力的张力T,T,方

17、向沿着方向沿着P P点的切线方向点的切线方向; ;(2)(2)在点在点C C的水平张力的水平张力H;H;(3)CP(3)CP段的垂直的重量段的垂直的重量, ,记为记为)(xW, ,设它作用设它作用在某一点在某一点Q Q处处, ,不一定是不一定是CPCP的中心的中心, ,见图见图3.3,3.3,T TQ QC CH H),(yxP)(xW图图3.33.325现将张力分解为两个分力：现将张力分解为两个分力：cosT，垂直方向分力为，垂直方向分力为sinT水平方向分力为水平方向分力为按平衡关系有：按平衡关系有：HTxWTcos),(sin两式相除，并利用关系式两式相除，并利用关系式dxdytan得：

18、得：HxWdxdy)(T TQ QC CH H),(yxP)(xW图图3.33.3由于平衡关系由于平衡关系, ,这些力在这些力在x轴轴( (水平水平) )方向的代数和为方向的代数和为0,y在在轴轴( (垂直垂直) )方向的代数和也必须为方向的代数和也必须为0.0.26是在最低点处的张力，是常数，是在最低点处的张力，是常数，)(xW但但 依赖于依赖于 ,x将上式两边对将上式两边对x微分得微分得wdSdW则有则有其中表示从点算起的弧长，其中表示从点算起的弧长，dxdWHdxyd122（3.1.13.1.1）HxWdxdy)(其中其中dxdW表示在水平方向上，表示在水平方向上，x每增加单位距离时，每

19、增加单位距离时，段弧所增加的重量段弧所增加的重量为为w设绳索的密度设绳索的密度T TQ QC CH H),(yxP)(xW图图3.33.327wdSdxdxdWdSdW或或dxdSwdxdW又由于又由于2)(1dxdydxdS故故2)(1dxdywdxdW从而方程从而方程（3.1.163.1.16）化为：化为：222)(1dxdyHwdxyd（3.1.13.1.1）dxdWHdxyd122（3.1.13.1.1）0)0(,)0(yby28目前的跳远世界记录是目前的跳远世界记录是Mike powellMike powell在在19911991年创造的，成绩是年创造的，成绩是8.95m.8.95m

20、.但我们最感兴趣的是但我们最感兴趣的是Bob BeamonBob Beamon在在19681968年于墨西哥城奥运会上创造的年于墨西哥城奥运会上创造的当时世界记录，成绩是当时世界记录，成绩是8.90m8.90m这个成绩超过以前这个成绩超过以前记录记录55cm.55cm.有人认为部分原因是由于墨西哥城空气有人认为部分原因是由于墨西哥城空气的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m2600m）稀薄的）稀薄的空气对跳远者意味着有较小的空气阻力试建立微空气对跳远者意味着有较小的空气阻力试建立微分方程模型来论述这种解释是否合理分方程模型来论述这种解释是否合理例例 Bob Be

21、amon的跳远记录的跳远记录29解解例例 设位于坐标原点的甲舰向位于设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点轴上点 A(1,0)处的乙舰发射制导导弹处的乙舰发射制导导弹, 如果乙舰以最大的速度乙舰以最大的速度v0(v0是常数是常数)沿平行于沿平行于y轴的轴的目标的跟踪问题目标的跟踪问题 导弹头始终对准乙舰导弹头始终对准乙舰.直线行驶直线行驶,导弹的速度是导弹的速度是5v0,又问乙舰行驶多远时又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中它将被导弹击中?)(xyy )0 , 1(A ),(yxP), 1(0tvQ 设导弹的轨迹曲线为设导弹的轨迹曲线为),(xyy 并设经过时间并设经过时间 t , 导弹位于点导弹位

22、于点P (x, y),乙舰位于点乙舰位于点 Q(1, v0t) 由于导弹头始终对准乙舰由于导弹头始终对准乙舰,直线直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧就是导弹的轨迹曲线弧OP在点在点P处的切线处的切线,求导弹运行的曲线方程求导弹运行的曲线方程.,10 xytvy Oyx30Oyx)(xyy )0 , 1(A ),(yxP), 1(0tvQ ,10 xytvy 即即.)1(0yyxtv 如果乙舰以最大的速度如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数是常数)沿平行于沿平行于y轴轴的直线行驶的直线行驶,导弹的速度是导弹的速度是5v0, 弧弧OP的长度为的长度为| AQ |的的5倍倍, 即即.5d1002tvxyx

23、 (1)(2) 由由(1)式与式与(2)消去消去 v0t 就得就得.d151)1(02xyyyxx 积分方程积分方程(3)31.d151)1(02xyyyxx 积分方程积分方程(3) 将将(3)式两端对式两端对x求导并整理求导并整理,得得.151)1(2yyx 方程方程(4)转化为转化为, py 令令 初值条件初值条件:Oyx)(xyy )0 , 1(A ),(yxP), 1(0tvQ . 0)0(, 0)0( yy(4),151)1(2ppx .)1(5d1d2xxpp 可分离变量可分离变量方程方程分离变量分离变量 不显含未知函数的二阶微分方程初值问题不显含未知函数的二阶微分方程初值问题.3

24、2.)1(5d1d2xxpp 两边积分两边积分,ln)1ln(51)1ln(2Cxpp 根据初始条件根据初始条件, 0)0( p,)1(ln51 xC 即即,)1(1512 xCpp 得得. 1 C 得得.)1(1512 xyy 将将(5)式有理化式有理化,得得(5).)1(1512xyy (6) (5) + (6),得得.)1()1(215151 xxy33 根据初始条件根据初始条件 得得.245 C.)1()1(215151 xxy.)1(125)1(855654Cxxy , 0)0( y于是有于是有.245)1(125)1(855654 xxy这就是这就是导弹运行的曲线方程导弹运行的曲线方程.又问乙舰行驶多远时又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中它将被导弹击中?Oyx)(xyy )0 , 1(A ),(yxP), 1(0tvQ 得得,1时时当当 x当当乙舰航行到点乙舰航行到点 245, 1时被导弹击中时被导弹击中.,245 y34作业作业: P113: P1131(1,6)1(1,6)，2(1,2,3), 3(2,4)2(1,2,3), 3(2,4)35