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1、上页下页结束返回首页x 一、时，型（方法：用最大项除分子分母）型（方法：用最大项除分子分母）35(23) (2) lim(21)xxxx例3512(2) (1) =lim1(2)xxxx1 =8解：分子、分母除以x5原式22411lim.sinxxxxxx 例2解：分子、分母除以-x，得原式2211141limsin1xxxxxx 1 =2上页下页结束返回首页二、利用无穷小的性质二、利用无穷小的性质例例3 3lnsin)1ln(sinlimxxx 2111lim2sin ln(1)cos ln()220.xxxx注：有界量注：有界量无穷小无穷小= =无穷小无穷小解：原式nnnnn 3!sinl
2、im例例4 4解：原式3limsin !nnnnn=0=0上页下页结束返回首页三、通过代数变形求极限三、通过代数变形求极限2220lim11xxxx例例5 5解：原式22220( 11)lim2xxxxx1注：如果出现根式差，先通过注：如果出现根式差，先通过有理化化简，再求极限有理化化简，再求极限例例6 6sin0limsinxxxeexxsinsin0(1)limsinxxxxeexxsin0(sin )lim1sinxxexxxx解：原式注：如果出现指数差，先提出注：如果出现指数差，先提出一个因子，再寻求求极限的一个因子，再寻求求极限的方法方法上页下页结束返回首页四、利用两个重要极限求极限
3、四、利用两个重要极限求极限例例7 72sin0lim (12 )xxx解：原式142sin0lim(12 )xxxxx4e注：两个重要极限注：两个重要极限0sin(1)lim1xxx1(2)lim(1)xxex30tansinlimsinxxxx例例8 830sinsincoslimsinxxxxx原式20222sin2lim4sincos22xxxx1.2201 coslimsincosxxxx上页下页结束返回首页五、利用无穷小量等价代换求极限五、利用无穷小量等价代换求极限22011limsin 2xxx例例9 9解：原式2201()2lim(2 )xxx18 30tansinlimsinx
4、xxx例例101030tan (1 cos )limxxxx230112lim2xxxx2031lim1 cosxxx例例1111解：原式202ln3lim2ln312xxx注：常用等价无穷小量注：常用等价无穷小量sin xxtan xxln(1) xx21 cos2xx1lnxaxa11nxxn上页下页结束返回首页六、六、利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限例例121220tanlim.tanxxxxx30tanlimxxxx220sec1lim3xxx220tan1lim33xxx解：原式例例131311lim().ln1xxxx注：注： 型不定式极限可直型不定式极限可直接使用罗比达法
5、则接使用罗比达法则00，解：原式11lnlim(1)lnxxxxxx 11 ln1lim1lnxxxxx1lnlimln1xxxxxx 1ln11limln1 12xxx 注：注： 型不定式极限可型不定式极限可通过通分变为通过通分变为 之一之一00，上页下页结束返回首页例例14140limlnxxx10lnlimxxx0解：原式120limxxx0lim()xx注注(1)(1) 型不定式极限可通型不定式极限可通过把一项的倒数放到分母上变过把一项的倒数放到分母上变为为 之一之一000，0(2) lim1.xxx10limxxxx(1)ln0limxxxxeln0lim (1)lnxxxexe02
6、 limlnxxxe例例1515解：原式ln(1)ln0limxxexxe20limlnxxxe102lnlimxxxe210lnlimxxxe01e六、六、利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限上页下页结束返回首页六、六、利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限1ln0lim(cot ).xxx01limln(cot )lnxxx而2011cotsinlim1xxxx0lim-1cossinxxxx1.e故， 原式x01limlncotlnxxe例例1616解：原式10lim()xxxxe例例1717解：原式1ln()0limxx exxe01limln()xxx exe01lim2xxx
7、ex eee上页下页结束返回首页六、六、利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限1230lim() .3xxxxxeee例例1818解：原式23x01limln()3xxxeeexe而2301limln()3xxxxeeex230ln() ln3limxxxxeeex2323023lim2xxxxxxxeeeeee注：注： 型不定式极限可直型不定式极限可直接使用罗比达法则接使用罗比达法则00，上页下页结束返回首页七、七、利用利用Taylor展开式求极限展开式求极限2240coslimxxxex242444401()(1()2!4!24 2!limxxxxxo xo xx44011()1lim().4!4 2!4xo xx例例1919解：原式
求极限的常用方法
