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1、求 双 曲 线 标 准 方 程 的 技 巧在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算，优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。一双曲线的一般方程例1求经过点P 3,2 , Q 672,7的双曲线标准方程。2222分析双曲线的标准方程有两种形式：斗与=1 (a0, b0)或匕斗=1a ba b(a 0 , b0),可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。解 设双曲线方程为Ax2 + By2=l (AB0)。因为所求双曲线经过点P 3,2犷，Q 672,7，所以9A 28B臬解得A =1，B =。故所求双曲线方程 72A 49B 1.752522为L 2
2、575说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为 Ax2 + By2=l(AB 0 ),求出a即可。设等轴双曲线方程为x2- y2= a2 (a0)。由2 2x yx 2y2a ,解得交点A、0.坐标分别为2a a3, 3邕；a3。因为AB = 0DT =手=2/所以a = 3。故所求双曲线方程为x2 y2 = 9说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质，比如：离心率 e = 渐近线方程为y= x且互相垂直等等。三共焦点双曲线22例3已知过点3应2 ,且与双曲线 上一上=1有共同焦点的双曲线的标准方164程。分析
3、 根据双曲线焦点与a2、b2的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为=1 (- 4 k 16),求出 k 即可。22解设双曲线方程为 直;六；=1 (4 k16),将3j2,2代入，得k = 42故所求双曲线方程为-122说明与双曲线与a2匕= b21共焦点的双曲线方程可设为2xa2 k2yb2 k22)。根据椭圆与双曲线的关系，与椭圆 与+ % = 1共焦点的双曲线方程可设为 a2 b222a2 k b21 ( b2 k0, b0)离心率相同，那么它的焦 a b22点可能在x轴上，也可能在y轴上。若焦点在x轴上，它的方程可设为 勺一与=(aa b220, b0, 0);若焦点在y轴上，它的方程可
4、设为 与一三=(a0, b0, a b0)。22解(1)当所求双曲线的焦点在X轴上时，它的方程可设为 上一 L= ( 0),6416将2,0代入，得 =工。此时所求双曲线的标准方程为 Y y2 = 1。16422(2)当所求双曲线的焦点在y轴上时，它的方程可设为 L=( 0),6416将2,0代入，得 =10。因为c = 4 ,所以16 +9 =16,解得 =攻。故所求双曲线方程为252x2562 y144252522说明 渐近线方程为x = 0或y = bx的双曲线方程可设为 W=(半 a baa b0),然后确定的值。因为求双曲线标准方程的条件是多种多样的，因此在解题时，一定要认真审题，弄清 题意，根据条件选择适当的“方程形式”，解决问题。
求双曲线标准方程的技巧
