生活中的优问题举例

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1、 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用高中数学选修高中数学选修1-11-13.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 二、应用题有四难。今天继续讲应用题，同学们对照一下是第几难？二、应用题有四难。今天继续讲应用题，同学们对照一下是第几难？ 先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方式解决生产、生活问题。式解决生产、生活问题。 所以应用题可以分成两部分：背景知识，数学问题。背景知识分社会背景知所以应用题可以分成两部分：背景知识，数学问题。背景知识分社会背景知识、自然背景知识。识、自然背景知识。 应用

2、题第一难：实践操作难，即设计一种测量方法难应用题第一难：实践操作难，即设计一种测量方法难 应用题第二难：难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、应用题第二难：难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、汽车、建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这汽车、建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这里有个高原现象，就是熟悉背景知识，我们不熟悉。里有个高原现象，就是熟悉背景知识，我们不熟悉。 应用题第三难应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型，能够提炼出数学模就是把现实生活生产问题抽象为数学模型，能够提炼出数学模型

3、，这种抽象、提炼能力我们不会。型，这种抽象、提炼能力我们不会。 应用题第四难：难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟应用题第四难：难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知练。有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有个高原现象我们迈不上去，就是对有关的数学知识、方法、思想、识。所以这里有个高原现象我们迈不上去，就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练，但我们不熟练。即抽象出的数学问题难。数学思维方式的熟练，但我们不熟练。即抽象出的数学问题难。 应

4、用题因为把实际问题抽象出数学问题，但有时候应用题因为把实际问题抽象出数学问题，但有时候抽象出来容易反而是解数学问题难，原因是我们把学过的抽象出来容易反而是解数学问题难，原因是我们把学过的数学知识忘记的差不多了。所以我们先复习以前学过的知数学知识忘记的差不多了。所以我们先复习以前学过的知识。识。 数学知识有两个角度的本质，形的角度本质和数的角度本质数学知识有两个角度的本质，形的角度本质和数的角度本质即代数角度本质的和几何角度本质。即代数角度本质的和几何角度本质。 abba222 代数角度本质是完全平方数大于等于代数角度本质是完全平方数大于等于0，几何，几何角度本质是风车图案。角度本质是风车图案。

5、 复习以前的知识。复习以前的知识。结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证 （特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab 2 2a0 ,b0 ,(,)002ababab 当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式aba b2算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数(1)(1)两个正数的

6、算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平它们的几何平 均数均数. .(2)(2)两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比中项它们的等比中项. .aboABPQ对基本不等式的对基本不等式的几何意义几何意义作进作进一步探究一步探究:如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ=,BQ=b b, ,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP, ,则则PQ=PQ=_,_,半径半径AO=AO=_ab2ba 几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆

7、内半弦长 数学知识有两个角度本质，形的角度本质和数的角度本质数学知识有两个角度本质，形的角度本质和数的角度本质即代数角度本质和几何角度本质。即代数角度本质和几何角度本质。 abba2 代数角度本质是一是重要不等式的推论二是完全平方数大代数角度本质是一是重要不等式的推论二是完全平方数大于等于于等于0，几何角度本质是半径不小于半弦。，几何角度本质是半径不小于半弦。应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件： a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大强调：强调：求最

8、值时要考虑不等式是否能取到求最值时要考虑不等式是否能取到“”应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件： a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大强调：强调：求最值时要考虑不等式是否能取到求最值时要考虑不等式是否能取到“”2( )sin,(0, )sinf xxxx求的最值。01xxxxxx1x0 x引申：若引申：若x0呢？呢？ 呢？xx1图像怎样？图像怎样？图像怎样？xxyxxyxxy121xx2呢？呢？(2) 已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理

9、由并说明理由.abbaab寻找, 0(3) 已知已知 能得到什么结论能得到什么结论? 请说明理由请说明理由.abbaab,0 以前知识复习完毕。以前知识复习完毕。 1、如果函数是一元二次函数求极大值、极小值、最大值、最、如果函数是一元二次函数求极大值、极小值、最大值、最小值还是采用老办法好小值还是采用老办法好,老题还是老办法好。如果次数是三次求函数老题还是老办法好。如果次数是三次求函数的极大值、极小值、最大值、最小值用新办法即导数且要充分利用的极大值、极小值、最大值、最小值用新办法即导数且要充分利用序轴标根法，尽量数形结合，新题新办法即导数法。根求不出来就序轴标根法，尽量数形结合，新题新办法即

10、导数法。根求不出来就不要求。用字母表示。不要求。用字母表示。 2、如果函数是、如果函数是 ， 一、图像与对勾函数联系，利用图像求极值、最值。一、图像与对勾函数联系，利用图像求极值、最值。 二利用基本不等式求极值、最值。二利用基本不等式求极值、最值。 三、与函数三、与函数 的图像的区别。同学们我的图像的区别。同学们我以以a、b是具体数字来讲解。是具体数字来讲解。 四、用导数求也要结合图像。四、用导数求也要结合图像。 总结与本节课有关的知识。总结与本节课有关的知识。新课引入新课引入: : 导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用, ,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法,

11、,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题. .1.1.几何方面的应用几何方面的应用2.2.物理方面的应用物理方面的应用. .3.3.经济学方面的应用经济学方面的应用( (面积和体积等的最值面积和体积等的最值) )( (利润方面最值利润方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )例例1海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空上、

12、下两边各空2dm,左、右两边各空左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 。128512( )(4)(2) 12828,0S xxxxxx 求导数，得2512( )2S xx令 2512( )20S xx解得16(16xx 舍去）舍去）。 于是宽为 128128816x0.因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积

13、最小。答：当版心高为答：当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。时，海报四周空白面积最小。解法二解法二：由解法由解法(一一)得得256256( )482 48S xxxxx2 328722564,8(0)xxxSx当且仅当即时 取最小值16128此时y=8816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面积最小问题问题2:2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? ?v你是否注意过你是否注意过, ,市场上等量的小包装的物品一市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些般比大包装的要贵些? ?你想从数学上知道它的你想从数学上知道它的道理吗道理吗?

14、 ?v是不是饮料瓶越大是不是饮料瓶越大, ,饮料公司的利润越大饮料公司的利润越大? ?例例2:2:某制造商制造并出售球形瓶装饮某制造商制造并出售球形瓶装饮料料. .瓶子制造成本是瓶子制造成本是0.8r0.8r2 2分分. .已知已知每出售每出售1ml1ml的饮料的饮料, ,可获利可获利0.20.2分分, ,且且瓶子的最大半径为瓶子的最大半径为6cm.6cm.）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？利润最大？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的

15、利润是324( ) 0.20.83yf xrr320.8 (),3rr06r 令2( )0.8(2 )0fxrr当2( )0rfr时, 当半径当半径r时，时，f (r)0它表示它表示 f(r) 单调递增，单调递增， 即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f (r)0 它表示它表示 f(r) 单调递减单调递减， 即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低0)( ,)2 , 0(xfr时当0)( ,)6 , 2(xfr时当1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时

16、利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大未命名.gspryo)3(8 . 0)(23rrrf231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？ 问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?探究（三）：探究（三）：磁盘的最大存储量问题磁盘的最大存储量问题 【背景材料】【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区. .磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆

17、心磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域角分割成的扇形区域. .磁道上的定长的弧可作为基本存储磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据单元，根据其磁化与否可分别记录数据0 0或或1 1，这个基本单，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图所示元通常称为比特，磁盘的构造如图所示. . 这是应用题第二难，背景知识我们了解太少。这是应用题第二难，背景知识我们了解太少。解解:存储量存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数.设存储区的半径介于设存储区的半径介于r与与R之间之间,由于磁道之间的宽由于磁道之间的宽度必须大于度必须大于m,且最外面的

18、磁道不存储任何信息且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达所以磁道数最多可达(R-r)/m。由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到特数可达到 ,nr 2nrmrRrf 2)( 所以，磁道总存储量为：所以，磁道总存储量为：)(2rRrmn (1) 它是一个关于它是一个关于r的二次函数，从函数的解的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越小，磁盘的存储量越大。越大。解：存储量=磁道数每磁道的比特数)(22)

19、(rRrmnnrmrRrf(2) 为求f(r)的最大值，先计算0)( rf)2(2)(rRmnrf0)(,2;0)(,2rfRrrfRr时当时当0)( rf令mnR，Rr2,2,2最大存储量为磁盘具有最大存储量时当因此2Rr 解得解得利用导数解决优化问题的基本思路：利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题优化问题的答案优化问题的答案用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题回顾总结回顾总结 解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。有利的工具。