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1、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（带导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（带详解）详解）题组一题组一导数与函数的单调性导数与函数的单调性1.(2009广东高考广东高考)函数函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是的单调递增区间是说明说明()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)解析：解析：f(x)(x3)ex，f(x)ex(x2)0，x2.f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(2，)答案：答案：D2.若函数若函数 h(x)2xkxk3在在(1，)上是增函数上是增函数，则实数则实数 k 的取值范围是的取值范围是()A2，)B2，)C(，2D(，2解析解析：因为因为
2、 h(x)2kx2，所以所以 h(x)2kx22x2kx20 在在(1，)上恒成立上恒成立，即即k2x2在在(1，)上恒成立，所以上恒成立，所以 k2，)答案：答案：A3已知函数已知函数 yax 与与 ybx在在(0，)上都是减函数，则函数上都是减函数，则函数 yax3bx25 的单调的单调减区间为减区间为_解析：解析：根据题意根据题意 a0，b0.由由 yax3bx25，得，得 y3ax22bx，令令 y0，可得，可得 x0 或或 x2b3a，故所求减区间为故所求减区间为(，2b3a)和和(0，)答案：答案：(，2b3a)和和(0，)4设函数设函数 f(x)x3ax29x1(a0)若曲线若曲
3、线 yf(x)的斜率最小的切线与直线的斜率最小的切线与直线 12xy6 平行，求：平行，求：(1)a 的值；的值；(2)函数函数 f(x)的单调区间的单调区间解：解：(1)因因 f(x)x3ax29x1，所以所以 f(x)3x22ax93xa329a23.即当即当 xa3时，时，f(x)取得最小值取得最小值9a23.因斜率最小的切线与因斜率最小的切线与 12xy6 平行平行，即该切线的斜率为即该切线的斜率为12，所以所以9a2312，即即 a29.解得解得 a3，由题设，由题设 a0，故故 f(x)在在(，1)上为增函数；上为增函数；当当 x(1,3)时，时，f(x)0，故，故 f(x)在在(
4、3，)上为增函数上为增函数由此可见，函数由此可见，函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，1)和和(3，)，单调递减区间为，单调递减区间为(1,3)题组二题组二导数与函数的极值和最值导数与函数的极值和最值5.(文文)函数函数 f(x)x3ax23x9，已知已知 f(x)在在 x3 时取得极值时取得极值，则则 a()A2B3C4D5解析解析：因为因为 f(x)x3ax23x9，所以所以 f(x)3x22ax3，由题意有由题意有 f(3)0，所以所以 3(3)22a(3)30，由此解得，由此解得 a5.答案：答案：D(理理)设设 aR，若函数，若函数 yexax，xR 有大于零的极值点，
5、则有大于零的极值点，则()Aa1Ba1Ca1eDa1e解析：解析：由由 y(exax)exa0 得得 exa，即即 xln(a)0a1a1.答案：答案：A6.若函数若函数 f(x)x33xa 有有 3 个不同的零点，则实数个不同的零点，则实数 a 的取值范围是的取值范围是()A(2,2)B2,2C(，1)D(1，)解析：解析：由由 f(x)3x233(x1)(x1)，且当且当 x1 时，时，f(x)0；当当1x1 时，时，f(x)0；当；当 x1 时，时，f(x)0.所以当所以当 x1 时函数时函数 f(x)有极大值，当有极大值，当 x1 时函数时函数 f(x)有极小值有极小值要使函数要使函数
6、 f(x)有有 3 个不同的零点，只需满足个不同的零点，只需满足f(1)0，f(1)0.解之得解之得2a2.答案：答案：A7函数函数 ysin2xx，x2，2的最大值是的最大值是_，最小值是，最小值是_解析：解析：y2cos2x10，x6.而而 f(6)326，f(6)326，端点端点 f(2)2，f(2)2，所以所以 y 的最大值是的最大值是2，最小值是，最小值是2.答案：答案：228(文文)已知函数已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线曲线 yf(x)在点在点 x1 处的切线处的切线 l 不过第四象限不过第四象限且斜率为且斜率为 3，又坐标原点到切线，又坐标原点到切线 l 的距离为的距离
7、为1010，若，若 x23时，时，yf(x)有极值，有极值，(1)求求 a，b，c 的值；的值；(2)求求 yf(x)在在3,1上的最大值和最小值上的最大值和最小值解：解：(1)由由 f(x)x3ax2bxc，得，得f(x)3x22axb.当当 x1 时时， 切线切线 l 的斜率为的斜率为 3， 可得可得 2ab0.当当 x23时，时，yf(x)有极值，则有极值，则 f(23)0，可得，可得4a3b40.由由解得解得 a2，b4.设切线设切线 l 的方程为的方程为 y3xm.由原点到切线由原点到切线 l 的距离为的距离为1010，则，则|m|3211010，解得解得 m1.切线切线 l 不过第
8、四象限，不过第四象限，m1.由于切点的横坐标为由于切点的横坐标为 x1，f(1)4.1abc4，c5；(2)由由(1)可得可得 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令令 f(x)0，得，得 x2，x23.f(x)和和 f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x3，2)2(2，23)23(23，1f(x)00f(x)极大值极大值极小值极小值f(x)在在 x2 处取得极大值处取得极大值 f(2)13，在在 x23处取得极小值处取得极小值 f(23)9527.又又 f(3)8，f(1)4，f(x)在在3,1上的最大值为上的最大值为 13，最小值为，最小值为9527.(理理)已知函数已
9、知函数 f(x)x32bx2cx2 的图象在与的图象在与 x 轴交点处的切线方程是轴交点处的切线方程是 y5x10.(1)求函数求函数 f(x)的解析式；的解析式；(2)设函数设函数 g(x)f(x)13mx，若，若 g(x)的极值存在，求实数的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数的取值范围以及函数 g(x)取得极值时对应的自变量取得极值时对应的自变量 x 的值的值解：解：(1)由已知，切点为由已知，切点为(2,0)，故有，故有 f(2)0，即即 4bc30.f(x)3x24bxc，由已知，由已知，f(2)128bc5.得得 8bc70.联立联立、，解得，解得 c1，b1，于是函数解析式为
10、于是函数解析式为 f(x)x32x2x2.(2)g(x)x32x2x213mx，g(x)3x24x1m3，令，令 g(x)0.当函数有极值时，当函数有极值时，0，方程，方程 3x24x1m30 有实根，有实根，由由4(1m)0，得，得 m1.当当 m1 时时，g(x)0 有实根有实根 x23，在在 x23左右两侧均有左右两侧均有 g(x)0，故函数故函数 g(x)无极值无极值当当 m1 时，时，g(x)0 有两个实根，有两个实根，x113(2 1m)，x213(2 1m)，当当 x 变化时，变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，
11、)g(x)00g(x)极大值极大值极小值极小值故在故在 m(，1)时，函数时，函数 g(x)有极值；有极值；当当 x13(2 1m)时时 g(x)有极大值；有极大值；当当 x13(2 1m)时时 g(x)有极小值有极小值题组三题组三导数的综合应用导数的综合应用9.已知对任意实数已知对任意实数 x， 都有都有 f(x)f(x)， g(x)g(x)， 且且 x0 时时， f(x)0， g(x)0，则则 x0，g(x)0Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0Df(x)0，g(x)0解析解析：由题意知由题意知 f(x)是奇函数是奇函数，g(x)是偶函数是偶函数当当 x0 时时，f(x)，g(x)都单调递
12、增都单调递增，则则当当 x0 时，时，f(x)单调递增，单调递增，g(x)单调递减，即单调递减，即 f(x)0，g(x)0.答案：答案：B10某公司生产某种产品，固定成本为某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总营业收入元，已知总营业收入 R 与年产量与年产量 x 的关系是的关系是 RR(x)400 x12x2(0 x400)80 000(x400)，则总利润最大时则总利润最大时，每年生产的产品是每年生产的产品是()A100B150C200D300解析：解析：由题意得，总成本函数为由题意得，总成本函数为 CC(
13、x)20 000100 x，所以总利润函数为所以总利润函数为PP(x)R(x)C(x)300 xx2220 000(0 x400)，60 000100 x(x400)，而而 P(x)300 x(0 x400)，100(x400)，令令 P(x)0，得，得 x300，易知，易知 x300 时，时，P 最大最大答案：答案：D11设设 f(x)是函数是函数 f(x)的导函数，将的导函数，将 yf(x)和和 yf(x)的图象画在同一个直角坐标系的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是中，不可能正确的是()解析：对于图解析：对于图 A 来说，抛物线为函数来说，抛物线为函数 f(x)，直线为，直线为
14、f(x)；对于图；对于图 B 来说，上凸的来说，上凸的曲线为函数曲线为函数 f(x)，下凹的曲线为下凹的曲线为 f(x)；对于图对于图 C 来说来说，下面的曲线为函数下面的曲线为函数 f(x)，上上面的曲线面的曲线 f(x)只有图只有图 D 不符合题设条件不符合题设条件答案：答案：D12(2010南通模拟南通模拟)已知函数已知函数 f(x)x3ax2bxc 在在 x23与与 x1 时都取得极值，时都取得极值，(1)求求 a，b 的值与函数的值与函数 f(x)的单调区间；的单调区间；(2)若对若对 x1,2，不等式，不等式 f(x)c2恒成立，求恒成立，求 c 的取值范围的取值范围解：解：(1)
15、f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，由由 f(23)12943ab0，f(1)32ab0 得得 a12，b2，f(x)3x2x2(3x2)(x1)，函数，函数 f(x)的单调区间如下表：的单调区间如下表：x(，23)23(23，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极大值极小值极小值所以函数所以函数 f(x)的递增区间是的递增区间是(，23)与与(1，)，递减区间，递减区间(23，1)；(2)f(x)x312x22xc，x1,2，当，当 x23时，时，f(23)2227c 为极大值，而为极大值，而 f(2)2c，则则 f(2)2c 为最大值为最大值，要使要使 f(x)c2，x1,2恒成立恒成立，则只需要则只需要 c2f(2)2c，得，得 c1，或，或 c2.
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例带详解
