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1、数学27 等差数列及其前n项和一、选择题1数列2n1的前10项的和是(C)A120B110C100D10解析数列2n1是以1为首项，2为公差的等差数列，S10100.故选C2我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何”意思是：“现有一根金缍，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”(D)A6斤B7斤C8斤D9斤解析设这根金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列an，由已知得a14，a52，求a2a3a4，a2a3a43a33×9，故选D3设等差数列an的公差为
2、d，且a1a235,2a4a67，则d(C)A4B3C2D1解析an是等差数列，2a4a6a42da27，a1a235，a15，da2a12，故选C4在等差数列an中，若a1，a2015为方程x210x160的两根，则a2a1008a2014(B)A10B15C20D40解析因为a1，a2015为方程x210x160的两根，所以a1a201510.由等差数列的性质可知，a10085，a2a2014a1a201510，所以a2a1008a201410515.故选B5已知等差数列an的前n项和为Sn，且S550，S10200，则a10a11的值为(D)A20B40C60D80解析设等差数列an的公
3、差为d，由已知得即解得a10a112a119d80.故选D6设数列an的前n项和为Sn，且an2n1，则数列的前11项和为(D)A45B50C55D66解析an2n1，数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，Snn2，n，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，数列的前11项和为11×(1)×(1)66，故选D7九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(B)A1升B升C升D升解析设该等差数列为an，公差为d，由题意得即解得a54×.故选B8等差数列an的公差为d，关于x的
4、不等式dx22a1x0的解集为0,9，则使数列an的前n项和Sn取得最大的正整数n的值是(B)A4B5C6D7解析由dx22a1x0的解集为0,9得，d<0且9d2a10，a1d，Snn2(a1)nn25dn(n210n)，当n5时，Sn取得最大值，故选B二、填空题9中位数为1011的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为_3_解析设首项为a1，则a120192×1011，解得a13.故填310已知数列an中，a11且(nN*)，则a10 解析由已知得(101)×134，故a1011记等差数列an的前n项和为Sn，若a30，a6a714，则S7_14_
5、解析解法一：设数列an的公差为d，则a6a72a37d14，又a30，d2，a7a34d8，又a3a12d，a14，S714解法二：设数列an的公差为d，则a6a72a37d14，又a30，d2，a4a3d2S7a1a2a3a4a5a6a77a41412在等差数列an中，若S41，S84，则a17a18a19a20的值为_9_解析解法一：S41，S84，S4，S8S4，S12S8，S16S12，S20S16成首项为1，公差为2的等差数列，a17a18a19a20S20S1612×(51)9解法二：由等差数列的性质知是等差数列，且其公差d12d，S2025，同理S1616，a17a18
6、a19a20S20S169三、解答题13设an是等差数列，且a1ln2，a2a35ln2(1)求an的通项公式；(2)求ea1ea2ean解析(1)设an的公差为d因为a2a35ln2，所以2a13d5ln2又a1ln2，所以dln2所以ana1(n1)dnln2(2)因为ea1eln22，eanan1eln22，所以ean是首项为2，公比为2的等比数列所以ea1ea2ean2(2n1)14记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解析(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15由a17得d2所以an的通项公式为an2n9(2)
7、由(1)得Snn28n(n4)216所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16方法总结求等差数列前n项和Sn的最值的方法：(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值(2)邻项变号法：当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值，为Sm(当am10时，Sm1也为最大值)；当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值，为Sm(当am10时，Sm1也为最小值)1已知是等差数列，且a11，a44，则a10(A)ABCD解析由题意，得1，所以等差数列的公差为d，由此可得1(n1)×()，因此，
8、所以a10.故选A2(理)(2018·湖北咸宁联考)等差数列an的前n项和为Sn，若S23，S510，则an的公差为(C)ABCD解析 由题意知a1a23，S510，即a1a54，得3d1，d，故选C3等差数列an的前n项和为Sn，若S1122，则a3a7a8(D)A18B12C9D6解析由题意得S1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6，故选D4设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m(C)A3B4C5D6解析由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为dam1am321，由得解得故选C5 (河南省信阳高中、商丘一中2019届高三上学期第一次联考(1月)数学试题)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn解析 (1)当n2时，anSnSn16n5，当n1时a1S111，符合上式，所以an6n5，则，得，所以bn3n1(2)由(1)得cn3(n1)·2n1，Tn3×2×223×23(n1)×2n12Tn3×2×233×24(n1)×2n2，两式作差Tn3n·2n2
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