【最新教材】高中数学人教A版必修四教学案：1.6 三角函数模型的简单应用 含答案

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1、新教材适用高中必修数学 讲一讲 1单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 s(单位：cm)和时间 t(单位：s)的函数关系式为 s6sin2t6. (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ 尝试解答 (1)利用“五点法”可作出其图象 (2)因为当 t0 时，s6sin63，所以此时离开平衡位置 3 cm. (3)离开平衡位置 6 cm. (4)因为 T221，所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s. 三角函数在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体

2、现在简谐运动中， 其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法 练一练 1交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E220 3sin100t6来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间 解：(1)当 t0 时，E110 3(V)，即开始时的电压为 110 3 V. (2)T2100150(s)，即时间间隔为 0.02 s. (3)电压的最大值为 220 3 V，当 100t62，即 t1300 s 时第一次取得最大值 讲一讲

3、 2心脏跳动时，血压在增加或减少血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 120/80 mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式 p(t)11525sin 160t，其中 p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数 p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数 p(t)的草图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数 尝试解答 (1)由于 160，代入周期公式 T2|，可得 T2160180(min)，所以函数 p(t)的周期为180 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f1T80(次

4、) (3)列表： t 0 1320 1160 3320 180 p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数 p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为 140 mmHg，舒张压为 90 mmHg. (1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程 (2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题 练一练 2如图为一个缆车示意图，缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面的距离为 0.8 m，60 s 转动一圈，图中 OA 与地面

5、垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 角到 OB，设 B 点与地面距离是 h. + (1)求 h 与 间的函数解析式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t s 后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ 解：(1)以圆心 O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以 Ox 为始边，OB 为终边的角为2，故 B 点坐标为4.8cos2，4.8sin2. h5.64.8sin2. (2)点 A 在圆上转动的角速度是30， 故 t s 转过的弧度数为t30.h5.64.8sin30t2，t0，) 到达最高点时，h10.4 m. 由 sin30t21，得30t2

6、22k，kN， tmin30(s) 即缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒 讲一讲 3已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0t24，单位：时)的函数，记作：yf(t)下表是某日各时的浪高数据 t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据，求函数 yf(t)的函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？ 尝试解答 (1)由表中数据描出

7、各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设 f(t)Acos tb，并且周期 T12，2T2126. 由 t0，y1.5，得 Ab1.5；由 t3，y1.0，得 b1.0. A0.5，b1.y12cos 6t1. (2)由题知，当 y1 时才可对冲浪爱好者开放， 12cos 6t11.cos 6t0. 2k26t2k2(kZ)，即 12k3t12k3(kZ) 0t24，故可令中 k 分别为 0，1，2， 得 0t3 或 9t15 或 210，0)， 则Ab700，Ab900，解得 A100，b800. 又周期 T2(60)12， 2T6， y100sin6t 800. 又当 t

8、6 时，y900， 900100sin66 800， sin()1， sin 1，取 2， y100sin6t2800. (2)当 t2 时，y100sin622800750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750. 题组 3 建立三角函数模型解决实际问题 7设 yf(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数，其中 0t24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时的时间 t 与水深 y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察， 函数 yf(t)的图象可

9、近似地看成函数 ykAsin(t)的图象 下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( ) Ay123sin 6t，t0，24 By123sin6t ，t0，24 Cy123sin 12t，t0，24 Dy123sin12t2，t0，24 解析：选 A yf(t)的关系对应的“散点图”如下： 由“散点图”可知，k12，A3. 周期 T12，所以 6. 又 t0 时，y12，t3 时，y15. 所以 0.因此，y123sin 6t，故选 A. 能力提升综合练 1如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( ) A甲 B乙 C丙 D丁 解析：选 C 该题目

10、考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选 C. 2如图是函数 ysin x(0 x)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线， 交其图象于另一点 B(A， B 可重合) 设线段 AB 的长为 f(x)， 则函数 f(x)的图象是( ) 解析：选 A 当 x0，2时，f(x)2x；当 x2， 时，f(x)2x，故选A. 3如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0( 2， 2)，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( ) 解析：选 C P0( 2， 2)，P0Ox

11、4. 按逆时针转时间 t 后得POP0t，POxt4. 此时 P 点纵坐标为 2sint4，d2sint4. 当 t0 时，d 2，排除 A、D；当 t4时，d0，排除 B. 4如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧AP的长为 l，弦 AP 的长为 d，则函数 df(l)的图象大致是( ) 解析：选 C 令 AP 所对圆心角为 ，由|OA|1， 则 l，sin 2d2， d2sin 22sin l2， 即 df(l)2sin l2(0l2)，它的图象为 C. 5一根长 a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时

12、，离开平衡位置的位移 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式是 s3cosgat3，t)0， ，则小球摆动的周期为_ 解析：T2ga2 ag. 答案：2 ag 6 据市场调查， 某种商品一年内每件的出厂价在 7 千元的基础上， 按月呈 f(x)Asin(x)BA0，0，|0，0)，x0，4的图象，且图象的最高点为 S(3， 2 3)； 赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全， 限定MNP120.求 A，的值和 M，P 两点间的距离 解：依题意，有 A2 3，T43，即 T12. 又 T2，6. y2 3sin 6x，x0，4 当 x4 时，y2 3sin 233.M(4，3)

13、又 P(8，0)， MP （84）2（03）2 42325(km) 即 M、P 两点间的距离为 5 km. 8在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距 12 h，低潮时水的深度为 8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在 10 月 10 日 4：00.每天涨潮落潮时，水的深度 d(m)与时间 t(h)近似满足关系式 dAsin(t)h. (1)若从 10 月 10 日 0：00 开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间 t(h)之间的函数关系； (2)10 月 10 日 17：00 该港口水深约为多少？(精确到 0.1 m) (3)10 月 10 日这一天该港口共有多

14、少时间水深低于 10.3 m? 解：(1)依题意知 T212， 故 6，h8.416212.2， A1612.23.8， 所以 d3.8sin6t 12.2； 又因为 t4 时，d16， 所以 sin46 1， 所以 6， 所以 d3.8sin6t612.2. (2)t17 时，d3.8sin176612.2 3.8sin 2312.215.5(m) (3)令 3.8sin6t612.210.3， 有 sin6t612， 因此 2k766t62k116(kZ)， 所以 2k436t2k2，kZ， 所以 12k8t12k12. 令 k0，得 t(8，12)； 令 k1，得 t(20，24) 故这一天共有 8 h 水深低于 10.3 m.