专题一：线段垂直平分线的性质定理（有答案）

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1、专题一：线段垂直平分线的性质定理（有答案）知识指引同一平面内两条不平行的直线必然相交，而对于一条已知的线段来说，经过这条线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线，它是具有特殊性质的点的集合，下面我们就来学习一下这条直线，并学会利用线段垂直平分线性质解决相应的问题： 线段的垂直平分线的定义经过这条线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线， 线段垂直平分线的尺规作图求作线段AB的垂直平分线作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线要点诠释：作弧时

2、的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等注意：上表中“线上的点”包含两层含义：（1）点在垂直平分线上；（2）点是任意的； 说明：（1） 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件；（2）线段垂直平分线的性质的运用体现了从文字语言到符号语言的转化.典型例题类型一：利用线段垂直平分线的性质定理进行相应的计算【例1】如图，在ABC中，AC的垂直

3、平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（）A13B15C17D19【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出ABD的周长为AB+BC，代入求出即可【解析】AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，ABC的周长为23，AB+BC+AC=23，AB+BC=238=15，ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B变式：如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，ABC的周长为19cm，ABD的周长为13cm，则AE的长为( )

4、A.3cmB.6cmC.12cmD.16cm【答案】A【解析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=12AC，求出AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出AC，即可得出答案【解答】 DE是AC的垂直平分线， AD=DC，AE=CE=12AC， ABC的周长为19cm，ABD的周长为13cm， AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm， AC=6cm， AE=3cm.故选A.类型二：利用线段垂直平分线的性质定理进行相应的全等证明【例2】如图，ABAC，BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作

5、DEAB于点E，DFAC于点F求证：BE=CF【分析】连接BD，CD，由角平分线的性质和中垂线的性质就可以得出BEDCFD就可以得出结论【证明】连接BD，CDAD平分BAC，DEAB，DFAC，AED=BED=AFD=90，DE=DFDG垂直平分BC，DB=DC在RtDEB和RtDFC中，DB=DC,DE=DF,RtDEBRtDFC（HL）BE=CF变式：如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB=CD，ABD=120，CDB=38，求OBD的度数【解答】连接OA，OCOE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，OA=OC，OB=OD，AB=CD，ABOCDO（SSS）

6、，ABO=CDO，设OBD=ODB=，ABO=CDO=，+=120，-=38，=41，OBD=41强化练习1如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知PA5，则PB的长为( ) .A6 B5 C4 D3【答案】B2如图，AB是CD的垂直平分线，若AC2.3，BD1.6，则四边形ACBD的周长是( ) A3.9 B7.8 C4 D4.6【答案】B3.如图，AC是线段BD的垂直平分线，E是AC上的一点，则图中全等的三角形的对数共有( )A3对 B4对C5对 D6对【答案】D4. 如图，分别以ABC的顶点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，过两弧交点的直线交AC于点D，连接D

7、B，若BC6，AC10，则DBC的周长等于（ ）A12B14C16D24【答案】 C5.如图所示，在ABC中，直线MN是AC的垂直平分线，若CM=4cm，ABC的周长是27cm，那么ABN的周长是( ) A.19cmB.17cmC.9cmD.9cm或17cm【解答】 MN是AC的垂直平分线，CM=4cm， AN=NC，AM=MC， BC=AN+BN，AC=8cm，又 ABC的周长是27cm， AB+BC=19cm， ABN的周长=AB+BN+AN=AB+BC=19cm【答案】A6如图，P为AOB内一点，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N.若P1

8、P24cm，则PMN的周长为() A6cm B5cm C4cmD3cm答案：C7.如图，在ABC中，AB=AC，BC=4，ABC的面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，连接CM，DM，则CM+DM的最小值为( ) A.6B.10C.12D.13【解答】连接AD,交EF于M,连接CM， EF垂直平分AC， AM=CM， CM+MD=AM+MD，此时CM+DM的值最小. AB=AC,D为BC边的中点， ADBC， SABC=12BCAD=24. BC=4，AD=12， CM+DM的最小值为12. 【答案】C8.如图，DE是AC的

9、垂直平分线，ABC的周长为20，ABD的周长为14，则AE的长为_ 【解答】 DE是AC的垂直平分线，DADC，AE=12AC，ABC的周长为20， AB+AC+BC20， ABD的周长为14， AB+BD+DAAB+BD+DCAB+BC14， AC20146， AE3，故填39.如图，在ABC中，AB14，AC16，DE是BC的中垂线，则ABD的周长_ 【解答】 DE是BC的中垂线， DBDC， ABD的周长AB+AD+BDAB+AD+CDAB+AC30，故填3010.如图，ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，且AP5，那么PC_【答案】511如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C

10、，D，连接CD，交OA于点M，交OB于点N若PMN的周长为8，则CD的长为_【答案】812如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点，求证：ECFEDF AB是线段CD的垂直平分线， CEDE，CFDF EFEF， EFCEFD(SSS) ECFEDF13.如图，在ABC中，已知AC27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长 【解答】DE是线段AB的垂直平分线， AEBE，BCE的周长BE+CE+BCAE+CE+BCAC+BC， BC50272314如图，ABC中，BC10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交A

11、C，BC于点F，G.求AEG的周长【答案】DE是AB的垂直平分线，AEBE.同理AGCG.AEG的周长为AEAGEGBECGEGBC10.15如图，在ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F（1）若CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若MFN=80，则MCN的度数为 【解答】（1）CMN的周长为15，CM+MN+CN=15，DM、EN分别垂直平分AC和BC，MA=MC，NB=NC，AB=AM+MN+NB=CM+MN+CN=15（cm）；（2）2016如图，ADBC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上（1）AB，AC，CE的长度有什么关系？（2）AB+BD与DE有什么关系？请说明理由【解答】（1）AB=AC=CE，ADBC，BD=DC，AB=AC；又点C在AE的垂直平分线上，AC=EC，AB=AC=CE；（2）AB+BD=DE，理由是：AB=AC=CE，AC+CD=AB+BD，DE=EC+CD=AB+BD，即AB+BD=EC+CD=DE