2016高考数学大一轮复习13.2直接证明与间接证明教师用书理苏教版

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1、§13.2直接证明与间接证明1直接证明(1)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法框图表示：思维过程：由因导果(2)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为分析法框图表示：思维过程：执果索因2间接证明反证法定义要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法证明步骤(1)反证

2、假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件(×)

3、(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”(×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾(×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式<最合适的方法是分析法()1p，q·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为关系为_答案pq解析q p.2要证a2b21a2b20只要证明_2ab1a2b20；a2b210；1a2b20；(a21)(b21)0.答案解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.3若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的

4、是_ac2<bc2 a2>ab>b2< >答案解析a2aba(ab)，a<b<0，ab<0，a2ab>0，a2>ab.(1)又abb2b(ab)>0，ab>b2，(2)由(1)(2)得a2>ab>b2.4如果ab>ab，则a、b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，b0且ab时，()2()>0.故ab>ab成立的条件是a0，b0且ab.题型一综合法的应用例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)

5、0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；(2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x)(x0,1)是不是理想函数思维点拨(1)取特殊值代入计算即可证明；(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论(1)证明取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.(2)解对于f(x)2x，

6、x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x，(x0,1)不是理想函数对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x)x2(x0,1)是理想函数对于f(x)，x0,1，显然满足条件.对任意的x1，x20,1，x1x21，有f2(x1x2)f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12x2)20，即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.f(x)(x0,1)不是理想函数综上，f(x)x2(

7、x0,1)是理想函数，f(x)2x(x0,1)与f(x)(x0,1)不是理想函数思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理(2013·课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abb

8、cca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.题型二分析法的应用例2已知a>0，求证 a2.思维点拨用分析法，移项，平方，化简证明要证 a2，只需要证 2a.a>0，故只需要证( 2)2(a)2，即a24 4a222(a)2，从而只需要证2 (a)，只需要证4(a2)2(a22)，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结

9、论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证已知a，b(0，)，求证： <.证明因为a，b(0，)，所以要证原不等式成立，只需证6<6，即证(a3b3)2<(a2b2)3，即证a62a3b3b6<a63a4b23a2b4b6，只需证2a3b3<3a4b23a2b4.因为a，b(0，)，所以即证2ab<3(a2b2)而a2b22ab,3(a2b2)6ab>2ab成立，以上步骤步步可逆，所以<.题型三反证法的应用例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列

10、思维点拨证明(2)用反证法，假设存在三项，符合条件推出矛盾(1)解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(p<q<r，且p，q，rN*)，则2·，所以2·2rq2rp1.(*)又因为p<q<r，所以rq，rpN*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证思维升华(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法

11、来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p

12、，q，rN*，()2pr，即(pr)20.pr，与pr矛盾假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列放缩有“度”，巧证不等式典例：(14分)已知数列xn满足x1，xn1，求证：0<xn1xn<.思维点拨先证0<xn<1，再求xn1xn的表达式，利用不等式放缩得出结论规范解答证明由条件可知数列xn的各项均为正数，故由基本不等式，得xn11，2分若xn11，则xn1，这与已知条件x1矛盾所以0<xn<1，6分从而xn1xnxnxn·xn(1xn)·xn(1xn)·，其中0<xn(1xn)，1xn2，12分因上述两

13、个不等式中等号不可能同时成立，故0<xn1xn<·.14分温馨提醒(1)所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤(2)本题技巧性较强，经过了两次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦第一次是利用基本不等式，将xn1xn转化为常数，根据已知验证可判定出0<xn<1；第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项，分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放

14、缩时要注意放缩的方向保持一致在此步骤中，因两个等式中的等号不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错之处，必须加以警惕.方法与技巧1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来失误与防范1用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论2利用反证法证明数学问题时

15、，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.A组专项基础训练 (时间：40分钟)1已知m>1，a，b，则a，b的大小关系为_答案a<b解析a，b.而>，<，即a<b.2若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是_答案P<Q解析P22a72·2a72，Q22a72·2a72，P2<Q2，P<Q.3若a>0，b>0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1；a2b22；2.答案解析ab()21，成立欲证，即证ab22，即

16、20，显然不成立欲证a2b2(ab)22ab2，即证42ab2，即ab1，由知成立欲证2，即证2，即ab1，由知成立4已知a>0，b>0，则2的最小值是_答案4解析因为22 22( )4.当且仅当且 ，即ab1时，取“”5(2014·山东改编)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_答案方程x3axb0没有实根解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根6下列条件：ab>0；ab<0；a>0，b>0；a<0，b<0.其中能使2成立的条件的个数是_答案3解析要使2，只要

17、>0，且>0，即a、b不为0且同号，故有3个7已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_答案(5,7)解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4

18、,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7)8凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f()，已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_答案解析f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，)f()f()，即sin Asin Bsin C3sin ，所以sin Asin Bsin C的最大值为.9已知非零向量ab，求证：.证明ab，a·b0.要证，只需证：|a|b|ab|，平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22a·b

19、)，只需证：|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，显然成立故原不等式得证10已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立故不存在这样的点

20、F，使得BF平面SAD.B组专项能力提升(时间：30分钟)1已知函数f(x)()x，a，b是正实数，Af()，Bf()，Cf()，则A、B、C的大小关系为_答案ABC解析，又f(x)()x在R上是减函数f()f()f()，即ABC.2(2013·广东)设整数n4，集合X1,2,3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是_(y，z，w)S，(x，y，w)S(y，z，w)S，(x，y，w)S(y，z，w)S，(x，y，w)S(y，z，w

21、)S，(x，y，w)S答案解析因为(x，y，z)S，则x，y，z的大小关系有3种情况，同理，(z，w，x)S，则z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x，y，w，z的大小关系有4种可能，均符合(y，z，w)S，(x，y，w)S.故正确3a22与2的大小关系是_答案a22>24已知二次函数f(x)ax2bxc(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明>c.证明(1)f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0

22、，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根即是函数f(x)的一个零点(2)假设<c，又>0，由0<x<c时，f(x)>0，知f()>0与f()0矛盾，c，又c，>c.5已知数列an满足：a1，anan1<0(n1)，数列bn满足：bnaa(n1)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列(1)解由题意可知，1a(1a)令cn1a，则cn1cn.又c11a，则数列cn是首项为c1，公比为的等比数列，即cn·()n1，故1a·()n1a1·()n1.又a1>0.anan1<0，故an(1)n1 .bnaa1·()n1·()n1·()n1.(2)证明用反证法证明假设数列bn存在三项br，bs，bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为，公比为的等比数列，于是有br>bs>bt，则只能有2bsbrbt成立2·()s1()r1()t1，两边同乘以3t121r，化简得3tr2tr2·2sr3ts.由于r<s<t，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列13