概率论与数理统计复习题及答案专科

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1、概率论与数理统计复习题及答案选择题:1、设A, B为任二事件，则下列关系正确的是().(A) P(A _B)二 P(A) _P(B).(B) P(AUB)二 P(A) P(B).(C)P(AB)二 P(A)P(B).(D) P(A) = P(AB) P(AB).解由文氏图易知本题应选(D).2、若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=O,则下列结论正确的是 ().(A) A和B互不相容(B) AB是不可能事件(C) AB未必是不可能事件.(D) P(A)=O或P(B)=O.解本题答案应选(C).3、设事件A与B相互独立，且0 0,(B)(D)丄ef (x)二1,其它.x0,x ： 0.).x

2、 : 0.f (x)dx =1可知本题应选(D).解 因事件A与B独立,故A与 B也相互独立,于是(B)是正确的.再由条件 概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的.从而本题应选(C).4、2x, x 0, c,设 f(x)=如果c=(),则f(x)是某一随机变量的概率10,x 老0, c.密度函数.(A)11-.(B)-.32(C)1.(D) |.2解由概率密度函数的性质= f(x)dxJ -oO=1可得 2xdx = 1,于是c = 1,故本7 0题应选(C ).6 设XN(0,1),又常数c满足PXc二PX : c,则c等于().1(A)1.(B) 0.(C) -.(D) -1

3、.2解 因为 PXc =PX : c,所以 1 PX : c =PX : c，即2PX : c =1 ,从而 PX : c =0.5,即门(c) =0.5,得 c=0.因此本题应选(B).7、设X与丫相互独立，且都服从N(；2)，贝U有().(A) E(X -丫)二 E(X) E(Y).(B) E(X -丫)=2.(C) D(X -Y) =D(X) -D(Y).(D) D(X-Y)=2；.解 注意到E(X 一Y)二E(X) E(Y) =0.由于X与丫相互独立所以 D(X Y)二D(X) D(Y) =2二2.选(D).8、 已知 E(X)=1,D(X)=3 则 E3(X_2)2=().(A) 9

4、.(B) 6.(C) 30.(D) 36.解 E3(X 2)2 =3E(X24X 4)2= 3E(X ) _4E(X) 42= 3D(X) E(X) -4E(X) 4 =3 (3 1 4 4) = 36 .可见，应选(D).9、 设x在0，q上服从均匀分布，其中00为未知参数，又xX2,山，x 为来自总体X的样本，则q的矩估计量是().(A) X .(B) 2X .(C) maxXi.(D) min Xi.1i n1 i n解选(B).210、设总体X的均值卩与方差0?都存在但未知,而X-X2，山,Xn为来自X的 样本，则均值卩与方差0的矩估计量分别是().(A)X 和 S2.(B)1 n 2

5、X 和 “ (Xi)2, n i (C)和0.(D)1 nX 和(Xi-X)2n i仝解选(D).二、在三个箱子中，第一箱装有4个黑球,1个白球；第二箱装有3个黑球，3 个白球；第三箱装有3个黑球，5个白球.现任取一箱，再从该箱中任取一球。(1) 求取出的球是白球的概率；(2)若取出的为白球，求该球属于第二箱的概率.解(1)以 A表示“取得球是白球”，Hi表示“取得球来至第I个箱子” ,i=1,2,3.1115则 P( Hi )= - , i=1,2,3, P(A|HJ = ,P(A|H2)= ,P(A|H3)= 3528由全概率公式知53 P(A)=P(H1)P(A|H1)P(H2)P(A|

6、 H2)卩(出)卩(人|出) 一.120由贝叶斯公式知 P(H2|A)=P(H2)P(A|H2gP(A)P(A)53三、袋中有9个球，其中有4个白球和5个黑球.现从中任取两个球.求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的，另一个是黑的概率；(3) 至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有C种，两个球都是白球的取法有C2 种，一黑一白的取法有c；c：种，由古典概率的公式知道C2(1) 两球都是白球的概率是 -2 ；(2)两球中一黑一白的概率是c5c42-(3)至少有一个黑球的概率是1 -逬.四、甲、乙 丙三人同时对某飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.

7、5, 0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落.求该飞机被击落的概率.解目标被击落是由于三人射击的结果，但它显然不能看作三人射击的和 事件.因此这属于全概率类型.设A表示飞机在一次三人射击中被击落”则 B(i =0,1,2,3)表示 恰有i发击中目标” .Bi为互斥的完备事件组.于是没有击中目标概率为 P(B) =0.6 0.5 0.3 =0.09,恰有一发击中目标概率为P(BJ =O.4XO.5 X0.3 +0.6 汉 0.5 X0.3 +0.6 汉 0.5X0.7 =0.36 ,恰有两发击中目标概率为P(B2) =0.4

8、X0.5X0.3+0.6 X0.5 X0.7 +0.4 X0.5X0.7 =0.41 ,恰有三发击中目标概率为P(B3) =0.4 0.50.7 =0.14 .又已知 P(A|BA 0 ,P (A 1 |fc )0.F2,A(B|) P.3A 尹,B( |)1所以由全概率公式得到3P(A )=送 PBiF)A(B|=)0.3-6 0X2 10 . 40.6 0.1 4 1 0.4 5 8.i 五、甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7,乙命 中目标的概率为0.8.求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率；(3) 目标被命中的概率.解 甲、乙

9、两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件.于是(1) P(AB)二 P(A)P(B) =0.7 0.8 =0.56;(2) P(AB) P(AB)=0.7 0.2 0.3 0.8 =0.38;(3) P(AUB) =P(A) P(B)-P(A)P(B) =0.7 0.8 -0.56 =0.94.六、已知随机变量 X只能取-1,0,1,2四个值，且取这四个值的相应概率依次1357为一,一,一,.试确定常数c,并计算条件概率PX ： 1| X = 0.2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，2c 4c 8c 16c所以37c .16所求概率为PX1| X =0=PX =1PX

10、 =0丄2c =A 丄 Z25.2c 8c 16c七、设连续型随机变量X的分布函数为x ： 0,0 x1,x 1,0,I 2 F(x)二 x ,I1,求:(1) X 的概率密度；(2) P0.3 :; X :; 0.7.解(1)根据分布函数与概率密度的关系F (x)二f (x), 2x,f(x)二I0,(2)P0.3 :：: X : 0.7 = F (0.7) F(0.3)可得0： x ： 1 , 其它.=0.72 -0.32 =0.4 .八、设连续型随机变量X具有概率密度函数0 . x1,1 ： x 2,其它.I x,f (x) = A _x,、0, 求：(1)常数A;X的分布函数F(x).

11、解(1)由概率密度的性质可得1 2 11 = xdx 亠 | (A 一 x)dx x1 Axx222二A-1,1于是A =2;x由公式F(x) = . _f(x)dx可得当 x0 时,F(x) =0;当 0 : x 1 时，F (x)二 o xdx 二1当 1 x 2 时，F(x) =1 .1 2 x2xxdx 亠 I (2 - x)dx = 2x2x-?-1;所以0,x 0 ,1 2-x ,0 ex 1,2 2x _1 x 2,2x一1,2J,X A 2.F(x)二九、设随机变量XN(2,；2),因为X N ,所以Z-若 P0 ：X ：4 =0.3,求 PX : 0. XN(0,1).由条件

12、 P0 ：X ：4=0.3可知CT02X 242缶 2 缶 20.3 二 P0 X : 4 =P= ：( )一：(),ct a acrcr22于是2：(一)-1 =0.3,从而门(_)aaRX ：0=P送-CT= 0.65 .所以：-2=门(-2) =1-(Z) =0.35. crcrcr十、游客乘电梯从底层到电视塔顶观光，电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行假设一游客在早八点的第 X分钟到达底层侯梯处,且X在区间0, 60上服从均匀分布.求该游客等候电梯时间的数学期望解：已知X在0,60上服从均匀分布,其概率密度为1,0 x60,f (x) = 60 0, 其它.记丫为

13、游客等候电梯的时间，则5_X,0cX 5,25 X, 5cX 25,丫 =g(x)=55_X, 25X 55,65-X, 55：X 60.- 1 60因此,E(丫(X), ：g(x)f(x)dx 有八皿152 55 56 0=一仃。(5x dx+匚(25dx)J4x5dk+J)x(d6p05255560=11.67 (分钟).X 0,X =0,X : 0.一1 x 2,其它.1一、设随机变量XU-1,2,随机变量1,丫 = 0,f(x,卄10, x 0,其中，.0为未知参数，X1, X2,Xn为来自总体X的样本，试求未知参数的矩 估计量与极大似然估计量.解因为e(x)j=x，所以的矩估计量为q

14、.设xi，您,，x .是相应ni 1.于样本Xi, X2,，X n的一组观测值，则似然函数nLn. . Xjnjj e j 二皐 ei 4取对数令 dln L 令d 量为？=丄.X十三、 设总体X的概率密度为1)x0 :：: x 1是未知参数，Xi,X2，,Xn是来自X的容量为 求：(1)(2)解=0,得的极大似然估计值为1?二厂的极大似然估计xn的简单随机样本,二的矩估计量；B的极大似然估计量 总体X的数学期望为E(X)二 xf(x)dx =1)xidL =0,dln Ld vB的极大似然估计值为n而的极大似然估计量为n In Xii nI nXji T1x =0 +2 12X -1令E(X

15、)二X ,即丄=X ,得参数的矩估计量为2.0+21 -X设X1, x2,x n是相应于样本X1, X2,，X n的一组观测值，则似然函数为U “ | 丨 Xi , 0 ：:：Xi ：:：1,其它.n当 0vxi0 且In L = n ln( v 1) 八 In x,imn亠二 In x =0,得i 十四、假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布.现随机抽取此种香烟8支 为一组样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s=2.4毫克.试求 此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间.一 2 2 2 2解 已知 n=8, S =2.4 , a= 0.01,查表可得 工小n-

16、 1) = &.o5(7)=20.278,2 2)(一1)4 ,(8 -“4)=(1.988, 40.768). 2( n_i) 2_(门卅-20.2780.989于1逅幷n 1)=盜.995 (7) =0.989,所以方差 /的置信区间为2 2QL(n _1)S(n _1)S十五、(10分)为调查某地旅游者的平均消费水平，随机访问了 40名旅游 者，算得平均消费额为x=105元，样本标准差s = 28元.设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95,求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解 计算可得x =105, s2 =282.对于a= 0.05,查表可得r.(n -1)0.025 (39)

17、 =2.0227.所求卩的置信区间为ss2828(X.=t_( n_1),X rt_( n _1) =(105 2.0227, 1052.0227)亦尹麻辛V40J46=(96.045, 113.955).十六、统计资料表明某市人均年收入服从-2150元的正态分布.对该市从 事某种职业的职工调查30人，算得人均年收入为2280元，样本标准差s = 476元.取显著性水平0.1，试检验该种职业家庭人均年收入是否高于该市人均年收 入？解由于总体方差未知，故提出假设H。：贰e=2150;H1：pX 卩对于a=0.1,选取检验统计量t =-0,拒绝域为S./侖tt .(n -1) =t0.1(29)=

18、1.3114.代入数据n=30, x =2280, s=476,得到t = x =2280 -尘0 = 1.4959 1.3114.s .n 476 . 30所以拒绝原假设，可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入.十七、从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值11958,样 本标准差s=316 设发热量服从正态分布.取显著性水平a=0.05,问是否可认为 该试验物发热量的期望值为12100?解 提出假设H。：厅 疔12100;H仁严e .X 一卩对于a=0.05,选取检验统计量t =,拒绝域为sVn|t|t.(n - 1)=t0.025(23)=2.06872代入数据 n=24, x =11958, s=316,得到 | x - J0 |11958 -12100|t |2.201442.0687.s/Un31624所以拒绝原假设，不能认为该试验物发热量的期望值为12100.