正弦定理练习题

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1、正弦定理一、选择题.1. 在ABC 中，b = 8，c =，SABC =，则A 等于( )A. 30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º2. 在ABC中，若a = 2b sin A，则B为( )A. B. C.或 D.或3. ABC中，下述表达式：sin(A + B)+ sinC；cos(B + C)+ cosA；，其中表示常数的是( )A. 和 B. 和C. 和 D. 4. 在ABC中，“A = B”是“sin A = sin B”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件

2、D. 即不充分又不必要条件5. 已知 a，b，c 是ABC三边的长，若满足等式(a + b - c)(a + b + c)= ab，则C的大小为( )A. 60º B. 90º C. 120º D. 150º 6. 若ABC满足下列条件： a = 4，b = 10，ÐA = 30°； a = 6，b = 10，ÐA = 30°； a = 6，b = 10，ÐA = 150°； a = 12，b = 10，ÐA = 150°； a + b + c = 4，ÐA = 3

3、0°，ÐB = 45°.则ABC恰有一个的是( )A. B. C. D. 7. ABC中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，则ABC 是( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形8. ABC中，若a，b，c成等差数列，则B的取值范围是( )A. B. C. D. 9. 在ABC中，若C = 60º，则cos A cos B的取值范围是( )A. B. C. D. 以上都不对10. ABC 中，若其面积 S =(a2 + b2 - c2)，则C =( )A. B. C. D. 二、填空题.1.

4、在ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4，那么cos C等于 .2. 若ABC的三内角ÐA，ÐB，ÐC满足 sin A = 2sinCcos B，则ABC为 三角形.3. 若ABC的三边长分别为4，5，7，则ABC的面积 =， 内切圆半径 = . 4.若ABC的三内角A，B，C成等差数列，则cos2 A + cos2 C的最小值为 .5. 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东处；行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东处. 这时船与灯塔的距离为 km. 6. 在ABC中，已知 AB

5、 = l，C = 50°，当B = 时，BC的长取得最大值.三、解答题.1. 如图ABC中，点D在边 BC上，且BD = 2，DC = 1，B = 60°，ADC = 150°，求AC的长及ABC的面积.2. 在ABC中，A = 45°，B : C = 4 : 5，最大边长为10，求角B，C，ABC外接圆半径R及面积S.3. 在ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，且. (1)求A的大小；(2)若a =，b + c = 3，求b和c的值.4. 海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁. 一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B正好在北偏东75

6、76; 的位置；航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°的位置. 若此舰不改变舰行的方向继续前进，此舰有没有触礁的危险？参考答案一、选择题.1. C【解析】 bc sin A = 16， sin A =，A = 30° ，或 150° .2. D【解析】 =， ， sin B =， B =，或p.3. C【解析】 sin(A + B)+ sin C = 2sin C，不一定为常数.cos(B + C)+ cos A = - cos A + cos A = 0，tantan= tantan= cottan= 1. 和为常数.4. C【解析】 A = Bsin A

7、 = sin B，若sin A = sin B，又 A + Bp， A = B.5. C【解析】 原式可化为 a2 + ab + b2 - c2 = 0， cos C = -， C120°.6. C【解析】 bsin A = 10×sin 30° = 5，且45， ABC不存在. bsin A = 10×sin 30° = 5，且5610， ABC有两解. A = 150° 且ab， ABC不存在. A = 150° 且ab， ABC有一解. 由已知，得C = 105°.当时，各边有正数解. ABC有一解. 符合题

8、条件.7. B【解析】 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C， sin C sin(A - B)= sin2 C. C(0，)， sin(A - B)= sin C = sin(A + B). sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B， cos A sin B = 0， A =. ABC为直角三角形.8. A【解析】 2b = a + c， 4b2 = a 2 + c2 + 2ac. cos B = 1 +. 2b = a + c2. acb2. cos B- 1=， B.9. A【解析】 cos A cos

9、B = cos(120º- B)cos B=(-cos B +sin B)cos B= -(1 + cos 2B)+sin 2B =sin(2B - 30º)-， B(0º，120º)， -30°2B - 30°210°. 由图象知cos A cos B.10. C【解析】 由题知ab sin C =(a2 + b2 - c2)， sin C = cos C， C =.二、填空题.1. -【解析】 因为sin A : sin B : sin C = a : b : c = 2 : 3 : 4，所以设 a = 2k，b = 3

10、k，c = 4k.cos C = -.2. 等腰.【解析】 sin A = sin(B + C)= 2sin C cos B， sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B，tan B = tan C， B，C(0，p)， B = C.即为等腰三角形.3. 4；.【解析】 cos a = -， sin a =. S =×4×5×= 4. ， .4. .【解析】 C + A = 2B， B =.设A =- x，C =+ x，则cos2 A + cos2 C = cos2（- x）+ cos2（+ x）=（cos x +sin x

11、）2 +（cos x -sin x）2 =cos2 x+sin2 x =+ sin2 x.5. .【解析】 ，BC =××60 = 30.6. 40°.【解析】 ， BC =， sin(50° + B)= l 时，BC最长，此时 B = 40°.三、解答题.1. 【解】在ABC中，BAD = 150º- 60º= 90º， AD = 2sin 60º =.在ACD中，AC2 =()2122××1×cos150º= 7， AC =. AB = 2cos 60°

12、; = 1，SABC =×1×3×sin60°=.2. 【解】由A + B + C = 180°，A = 45°，可得 B = 60°，C = 75°.由正弦定理，R = 5().由面积公式，S =bcsin A = c · 2Rsin Bsin A = 7525.3. (1)【解】由及A + B + C = 180°，得21-cos(B + C)-2cos2 A + 1 =， 4(1 + cosA)- 4cos2 A = 5，即4 cos2 A- 4cos A + 1= 0， cos A =，

13、 0°A180°， A = 60°.(2)【解】由余弦定理，得， cos A =， =， (b + c)2 - a2 = 3bc.将a =，b + c = 3代入上式，得bc = 2.由 得 或 4.【解】如图，过点B作BDAE且交AE于D. 由已知，AC = 8，ABD = 75º，CBD = 60º.在RtABD 中，AD = BD · tanABD = BD · tan 75º.在RtCBD 中，CD = BD · tanCBD = BD · tan 60º. AD - CD = BD(tan 75º- tan 60º)= AC = 8， BD = 43.8. 该军舰没有触礁的危险.8