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1、反比例函数（一）反比例函数的概念1（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2（）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为 0 ，且 x 应对称取点（关于原点对称）（三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式：（）2自变量的取值范围：3图象：（ 1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（ 2）图象的位置和性
2、质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（ 3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上图象关于直线对称，即若（ a， b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4 k 的几何意义如图 1，设点 P（ a ，b）是双曲线上任意一点，作PA x 轴于 A 点， PB y 轴于 B 点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）如图 2，由双曲线的对称性可知
3、，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC PA 的延长线于C，则有三角形 PQC 的面积为图 1图 25 说明：（ 1 ） 双 曲 线 的 两 个 分 支 是 断 开 的 ， 研 究 反 比 例 函 数 的 增 减 性 时 ， 要 将 两 个分支分别讨论，不能一概而论（ 2 ）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（ 3 ）反比例函数与一次函数的联系1（四）实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（ 1）待定系数法； （ 2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（五）充分利用数形结合的思
4、想解决问题三、例题分析考点 1反比例函数的概念（ 1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）A y=3xB C 3xy=1D （ 2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）AB CD考点 2图象和性质（ 1）已知函数是反比例函数， 若它的图象在第二、四象限内，那么k=_ 若 y 随 x 的增大而减小，那么k=_（ 2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第_ 象限（ 3）若反比例函数经过点（， 2 ），则一次函数的图象一定不经过第_ 象限（ 4）已知 a b 0 ，点 P （ a， b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）A第一象限B 第
5、二象限C第三象限D 第四象限（ 5）若 P （2 ， 2）和 Q（ m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（）A 第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D 第二、三、四象限（ 6 ）已知函数和（ k0 ），它们在同一坐标系内的图象大致是（）A BC D考点 3 函数的增减性（ 1）在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（）A 正数B负数C 非正数D非负数（ 2 ）在函数（ a 为常数）的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（）A BCD （ 3 ）下列四个函数中：； ； y 随 x 的增大而减小的函数有（）A 0个B 1个C 2个D 3个（ 4 ）
6、已知反比例函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当x 0时，这个反比例函数的函数值y 随 x 的增大而（填 “增大 ”或 “减小 ”）注意，（ 3 ）中只有 是符合题意的，而 是在 “每一个象限内 ”y 随 x 的增大而减小2考点 4 解析式的确定（ 1）若与成反比例，与成正比例，则y 是 z 的（）A正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 不能确定（2）若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（2，m ），则 m=_ ，k=_ ，它们的另一个交点为_ （ 3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值（ 4）已知一次函数 y=x+m
7、与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （ x 0 ，3） 求 x 0 的值； 求一次函数和反比例函数的解析式（ 5）为了预防 “非典 ”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示） ，现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 毫克请根据题中所提供的信息解答下列问题： 药物燃烧时y 关于 x 的函数关系式为_，自变量 x 的取值范围是 _；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_ 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时学生方可进教室，
8、那么从消毒开始，至少需要经过_ 分钟后，学生才能回到教室；研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？考点 5面积计算（ 1 ）如图，在函数的图象上有三个点A 、B、C，过这三个点分别向x 轴、 y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、，则（）A B C D 第（ 1 ）题图第（ 2）题图（2 ）如图， A 、B 是函数的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC/y 轴， BC/x 轴， ABC 的面积S，则（）A S=1B 1 S 2C S=2D S 2（ 3 ）如图
9、， Rt AOB 的顶点 A 在双曲线上，且 S AOB=3 ，求 m 的值第（ 3 ）题图第（ 4）题图（ 4）已知函数的图象和两条直线y=x ， y=2x 在第一象限内分别相交于P1 和 P2 两点，过 P1 分别作 x轴、 y 轴的垂线P1Q1 ， P1R1 ，垂足分别为Q1 ，R1 ，过 P2 分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P2 Q 2 ，P2 R 2 ，垂足分别为 Q 2 ， R 2 ，求矩形O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长，并比较它们的大小3（ 5）如图，正比例函数y=kx （ k 0）和反比例函数的图象相交于A、 C 两点，过A 作 x 轴垂线交x轴于
10、 B ，连接 BC ，若 ABC 面积为 S ，则 S=_第（ 5）题图考点 6.一次函数与反比例函数综合1. 如图，一次函数yx b与反比例函数ykBB1B在第一象限的图象交于点，且点的横坐标为作，过点xy 轴的垂线， C 为垂足，若 S BCO3，求一次函数和反比例函数的解析式.22. 如图，一次函数 ykx2 的图象与反比例函数 ym的图象交于点 P，点 P 在第一象限 PA x 轴于点 A，xPB y 轴于点 B一次函数的图象分别交x 轴、 y 轴于点 C、 D，且 S PBD=4， OC1 OA2（1）求点 D 的坐标；（ 2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x0
11、 时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围 .yBPDCO Ax43.已知正比例函数y2x 的图象与反比例函数yk 的图象有一个交点的纵坐标是2.x（ 1）求反比例函数的解析式；（ 2）当3 x 1时，求反比例函数y 的取值范围 .4. 已知： yy1 y2 ， y1 与 x2 成正比例， y2 与 x 成反比例， 且 x1 时， y3 ； x1 时， y 1求 x12时， y 的值5. 如图， P1 是反比例函数 yk (k0) 在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为（ 2， 0）x（ 1）当点 P 的横坐标逐渐增大时， POA11 的面积将如何变化？1（ 2）若 POA11 与
12、 P2 A1 A2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2 点的坐标yP1P2OAAx126. 如图，一次函数 y x b 与反比例函数 yk 在第一象限的图象交于点B ，且点 B 的横坐标为1，过点 B 作3xy 轴的垂线， C 为垂足，若 S BCO，求一次函数和反比例函数的解析式.27. 如图，一次函数 ykx2 的图象与反比例函数 ym 的图象交于点P，点 P 在第一象限 PA x 轴于点 A，xPB y 轴于点 B一次函数的图象分别交 PBDOC1 x 轴、 y 轴于点 C、 D，且 S=4，OA2（1）求点 D 的坐标；（ 2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写
13、出当x0 时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围 .yBPDCO Ax8. 已知正比例函数 y 2x 的图象与反比例函数 yk的图象有一个交点的纵坐标是2.x（1）求反比例函数的解析式；（2）当3 x 1时，求反比例函数y的取值范围 .9. 已知： yy1 y2 ， y1 与 x2 成正比例， y2 与 x 成反比例， 且 x1 时， y3； x1 时， y 1求 x12时， y 的值10. 如图， P1 是反比例函数yk (k 0) 在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为（ 2， 0）x（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时， POA11 的面积将如何变化？POAP A AA点的坐标（2）若 1 1与 2 12 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及2yP1P2OA1Ax25
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