精校版高中数学人教A版必修一第二章基本初等函数Ⅰ小结

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1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料数学数学必修必修 1(人教人教 A 版版)一、目标解读一、目标解读函数是高中数学的主要内容之一函数是高中数学的主要内容之一， 这是因为函数思想方法灵活多这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究究 函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题新颖的试题， 这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解

2、答题， 综综合考查考生应用函数知识分析问题合考查考生应用函数知识分析问题、 解决问题的能力解决问题的能力 而在命题的具而在命题的具体设计上体设计上，总是具有从易到难总是具有从易到难、逐步设问的特点逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给以较隐蔽的方式给出解题思路出解题思路， 在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法， 观观察问题察问题、 分析问题和解决问题的能力分析问题和解决问题的能力， 同时考查学生数形结合的思想同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力和分类讨论的思想的应用能力函数是中学数学的重要组成部分函数是中学数学的重要组成部分 它所涉

3、及的内容是升入大学继它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础续学习的基础，因此因此，函数不仅是中学数学教学的重点函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考也是高考考查的重点近年来，函数的分值占查的重点近年来，函数的分值占 30%左右左右函数是高中代数的主线函数是高中代数的主线它体系完整它体系完整，内容丰富内容丰富，应用广泛应用广泛由由于它描述的是自然界中量的依存关系于它描述的是自然界中量的依存关系， 是对问题本身数量的制约关系是对问题本身数量的制约关系的一种刻画的一种刻画， 所以是对数量关系本质特征的一种揭示所以是对数量关系本质特征的一种揭示， 为我们从运动为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识

4、问题打开了思路变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路本章主要研究的是基本初等函数本章主要研究的是基本初等函数： 指数函数指数函数、 对数函数和幂函数对数函数和幂函数的概念的概念、图象和性质图象和性质包括理解分数指数幂的概念包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂掌握有理指数幂的运算性质的运算性质，理解对数的概念理解对数的概念，掌握对数的运算性质掌握对数的运算性质，能运用函数的能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题题指数函数与对数函数都是初等超越函数指数函数与对数函数都是初等超越函数 在历年的高考题中出

5、现在历年的高考题中出现的频率较大出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时的频率较大出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度度通过本章的学习达到以下基本目标：通过本章的学习达到以下基本目标：了解指数函数模型的实际背景了解指数函数模型的实际背景， 体会指数函数是一类重要的函体会指数函数是一类重要的函数模型数模型理解有理指数幂的含义理解有理指数幂的含义， 了解实数指数幂的意义了解实数指数幂的意义， 掌握幂的运掌握幂的运算算理解指数函数的概念和意义理解指数函数的概念和意义

6、， 能画出具体指数函数的图象能画出具体指数函数的图象， 探探索并理解指数函数的单调性与特殊点索并理解指数函数的单调性与特殊点了解对数函数模型所刻画的数量关系了解对数函数模型所刻画的数量关系， 初步理解对数函数的概初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型念，体会对数函数是一类重要的函数模型能画出具体对数函数的图象能画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数函数的单调性与探索并了解对数函数的单调性与特殊点特殊点理解对数的概念及其运算性质理解对数的概念及其运算性质， 能用换底公式将一般对数转化能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数成自然对数或常用对数了解指数函数了解指数函数 y

7、ax(a0， 且且 a1)与对数函数与对数函数 ylogax(a0，且且 a1)互为反函数互为反函数了解幂函数的概念了解幂函数的概念，结合函数结合函数 yx(1,2,3，12，1)的图象的图象，了解它们的变化情况了解它们的变化情况二、主干知识二、主干知识(一一)指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算1整数指数幂的概念整数指数幂的概念(1)正整数指数幂的意义：正整数指数幂的意义：(2)零指数幂：零指数幂：a01(a0)(3)负整数指数幂：负整数指数幂：an1an(a0，nN*)2整数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质：amanamn；(am)namn；(ab)nanbn.3 如果如果 xna，

8、 那么那么 x 叫做叫做 a 的的 n 次方根次方根， 其中其中 n0， 且且 nN*.(1)当当 n 是奇数时，正数的是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的次方根是一个正数，负数的 n 次方次方根是一个负数此时根是一个负数此时 a 的的 n 次方根用符号次方根用符号na表示表示(2)方根的性质：方根的性质：当当 n 是奇数时，是奇数时，nana；当当 n 是偶数时，是偶数时，nan|a|a a0 ，a a0 .4分数指数幂分数指数幂(1)正数的分数指数幂的意义正数的分数指数幂的意义：设设 a0，m，nN*，n1，规定规定(2)0 的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于 0,0 的负分数

9、指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义5有理指数幂的运算性质：有理指数幂的运算性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)(二二)指数函数及其性质指数函数及其性质1函数函数 yax(a0，且，且 a1)叫做指数函数，其中叫做指数函数，其中 x 是自变量是自变量2指数函数指数函数 yax(a0，且，且 a1)的图象和性质的图象和性质(见下表见下表)：函数函数yax(a1)yax(0a1)图象图象定义域定义域RR值域值域x0 时，时，y1,x0 时，时，0y1x0 时，时，0y1x0 时，时，y1定点定点过点过点(0,1)过点过点

10、(0,1)单调性单调性单调递增单调递增单调递减单调递减(三三)对数与对数运算对数与对数运算1 如果如果 axN(a0， a1)， 那么数那么数 x 叫做以叫做以 a 为底为底 N 的对数的对数 记记作作 xlogaN，其中其中 a 叫做对数的底数叫做对数的底数，N 叫做真数叫做真数对数式的书写格对数式的书写格式：式：(1)以以 10 为底的对数叫做常用对数为底的对数叫做常用对数， 并把常用对数并把常用对数 log10N 简记简记为为lg N；(2)以无理数以无理数 e2.718 28为底的对数，叫自然对数，并把自为底的对数，叫自然对数，并把自然对数然对数 logeN 简记为简记为 ln N.2

11、指数与对数的关系：设指数与对数的关系：设 a0，且，且 a1，则，则 axNlogaNx.3对数的性质对数的性质(1)在指数式中在指数式中 N0，故，故 0 和负数没有对数，即式子和负数没有对数，即式子 logaN 中中 N必须大于必须大于 0；(2)设设 a0，a1，则有则有 a01，所以所以 loga10，即即 1 的对数为的对数为 0；(3)设设 a0，a1，则有则有 a1a，所以所以 logaa1，即底数的对数即底数的对数为为1.4对数恒等式对数恒等式(1)如果把如果把 abN 中的中的 b 写成写成 logaN 形式，则有形式，则有(2)如果把如果把 xlogaN 中的中的 N 写成

12、写成 ax形式，则有形式，则有 logaaxx.5对数的运算性质对数的运算性质设设 a0，a1，M0，N0，则有：，则有：(1)loga(MN)logaMlogaN，简记为：积的对数对数的和；，简记为：积的对数对数的和；(2)logaMNlogaMlogaN，简记为：商的对数对数的差；，简记为：商的对数对数的差；(3)logaMnnlogaM(nR)(四四)对数函数及其性质对数函数及其性质1函数函数 ylogax(a0，且，且 a1)叫做对数函数，其中叫做对数函数，其中 x 是自变是自变量，函数的定义域是量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象、性质对数函数的图象、性质(见下表见下表)：函数

13、函数ylogax(a1)ylogax(0a1)图象图象定义域定义域RR值域值域RR单调性单调性增函数增函数减函数减函数过定点过定点(1,0)(1,0)(1)当当 a1 时时，若若 x1，则则 logax0，若若 0 x1，则则 logax0；(2)当当 0a1 时，若时，若 0 x1，则，则 logax0，若，若 x1，则，则 logax0.3函数函数 yax与与 ylogax(a0，且且 a1)互为反函数互为反函数，互为反函互为反函数的两个函数的图象关于直线数的两个函数的图象关于直线 yx 对称对称(五五)幂函数幂函数1形如形如 yx(R)的函数叫做幂函数，其中的函数叫做幂函数，其中为常数只

14、研究为常数只研究为有理数的情形为有理数的情形3幂函数的性质幂函数的性质(1)幂函数在幂函数在(0，)都有定义，并且图象都过点都有定义，并且图象都过点(1,1)(2)当当0 时时，幂函数的图象通过原点幂函数的图象通过原点，并且在区间并且在区间0，)上上是增函数是增函数特别地特别地，当当1 时时，幂函数的图象下凸幂函数的图象下凸；当当 01 时时，幂函数的图象上凸幂函数的图象上凸(3)当当0 时时，幂函数的图象在区间幂函数的图象在区间(0，)上是减函数上是减函数在第在第一象限内一象限内，当当 x 从右边趋向原点时从右边趋向原点时，图象在图象在 y 轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近 y 轴轴正半轴，

15、当正半轴，当 x 趋于趋于时，图象在时，图象在 x 轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近 x 轴正半轴轴正半轴4图象形状：当图象形状：当0(1)时，图象为抛物线型；当时，图象为抛物线型；当0 时时，图象为双曲线型；当图象为双曲线型；当0,1 时，图象为直线型时，图象为直线型1正数的分数指数幂的意义正数的分数指数幂的意义：设设 a0，m，nN*，n1，规定规定：0 的正分数指数幂等的正分数指数幂等于于 0,0 的负分数指的负分数指数幂没有意义数幂没有意义2有理指数幂的运算性质：有理指数幂的运算性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，

16、rQ)指数幂的运算指数幂的运算答案答案：12 011 跟踪训练跟踪训练解析解析：由平方差公式化简即得答案由平方差公式化简即得答案答案答案： 27答案答案：6a3幂函数幂函数 yf(x)的图象经过点的图象经过点2，18 ，则满足，则满足 f(x)27 的的x 的值是的值是_答案答案：13指数与对数运算指数与对数运算1设设 a0，且且 a1，则则 axNlogaNx；alogaNN; logaaxx.2设设 a0，a1, M0，N0 ，则有，则有(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logaMNlogaMlogaN，(3)logaMnnlogaM(nR)3设设 a0，a1，b0，b1，

17、则，则 logaxlogbxlogba.设设 2a5bm，且，且1a1b2，则，则 m()A. 10B10C20D100解析解析：由由 2a5bm 得得 alog2m，blog5m，1a1blogm2logm5logm102，m210，又又m0，m 10.答案答案：A 跟踪训练跟踪训练4已知函数已知函数 f(x)log2(x1)，若，若 f()1，则，则()A0B1C2D3解析解析：12，故，故1，选，选 B.答案答案：B52log510log50.25()A0B1C2D4解析解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252.答案答案：C6已知函数已知函数 f(

18、x)log3x，x0，2x，x0，则则 f f19 ()A4B.14C4D147设设 g(x)ex，x0，ln x，x0，则则 g g12 _.解析解析：答案答案：121 指数函指数函数数 yax(a0， 且且 a1)的定义域的定义域是是 R， 值域是值域是(0，)，过定点过定点(0,1)当当 a1 时，指数函数时，指数函数 yax是是 R 上的增函数；当上的增函数；当 0a0，且且 a1)的定义域是的定义域是(0，)，值域值域是是 R，过定点，过定点(1,0)当当 a1 时时， 对数函数对数函数 ylogax 是是(0，)上的增函数上的增函数； 当当 0a0 时时，yf (x)是减函数是减函

19、数，并并且且f (1)0f (2)，则方程，则方程 f (x)0 的实根的个数是的实根的个数是_个个答案：答案：2二、转化与化归的思想二、转化与化归的思想设设 a33313341，b33413351，试比较，试比较 a、b 的大小的大小解析解析：如果比较如果比较 ab 与与 0 或或ab与与 1 的大小的大小，即用作差法即用作差法、作商法作商法来做，较繁杂、不易判断来做，较繁杂、不易判断由由于于 a、 b 两数的结构特点可构造函两数的结构特点可构造函数数 f(x)3x13x11， 则则 af(33)，bf(34)，若能判断出此函数的单调性若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出那么就可简

20、捷地比较出 a、b的大小的大小f(x)3x13x113x133 3x11 3x11 23 3x11 1323 3x11 .3x1在在 R 上递增，上递增，23 3x11 在在 R 上递减上递减 f(x)1323 3x11 在在 R 上递减上递减 f(33)f(34)，即，即 ab. 跟踪训练跟踪训练17解方程：解方程：(lg 2x)(lg 3x)lg 2lg 3.解析：解析：原方程可化为原方程可化为(lg 2lg x)(lg 3lg x)lg 2lg 3，即即 lg2xlg 6lg x0，解得解得 lg x0 或或 lg xlg 6.x1 或或 x16，经检验经检验 x1，x16都是原方程的解

21、都是原方程的解原方程的解为原方程的解为 x11 或或 x216.18比较比较 log0.30.1 和和 log0.20.1 的大小的大小解析：解析：log0.30.11log0.10.30，log0.20.11log0.10.20.log0.10.3log0.10.2，log0.30.1log0.20.1.19 某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示假设其关系为指数函数，并给出下列说法：所示假设其关系为指数函数，并给出下列说法：此指数函数的底数为此指数函数的底数为 2；在第在第 5 个月时，野生水葫芦的面积就会超过个月时，野

22、生水葫芦的面积就会超过 30 m2；野生水葫芦从野生水葫芦从 4 m2蔓延到蔓延到 12 m2只需只需 1.5 个月；个月；设野生水葫芦蔓延到设野生水葫芦蔓延到 2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为所需的时间分别为 t1，t2，t3,则有则有 t1t2t3；野生水葫芦在野生水葫芦在第第 1 到到第第 3 个月之间蔓延的平均速度等于在个月之间蔓延的平均速度等于在第第 2到第到第 4 个月之间蔓延的平均速度个月之间蔓延的平均速度其中正确的说法有其中正确的说法有 _ (填序号填序号)答案：答案：三、分类讨论思想三、分类讨论思想若若 a0，且且 a1，ploga(a3a1)，qloga(a2a

23、1)，则则 p、q 的大小关系为的大小关系为()ApqBpqDa1 时，时，pq；0a1 时，时，p1 时时， a3a1a2a1， 此时此时 loga(a3a1)loga(a2a1)，即，即 pq.当当 0a1 时，时，a3a1loga(a2a1)，即，即 pq.可见，不论可见，不论 a1 还是还是 0aq.答案答案：C 跟踪训练跟踪训练20已知函数已知函数 f(x)log2x，x0，2x，x0.若若 f(a)12，则，则 a()A1B. 2C1 或或 2D1 或或 2解析解析：讨论讨论 a0 和和 a0 两种情况两种情况答案答案：C21已知函数已知函数 f(x)logax 在在2，上的最大值

24、比最小值大上的最大值比最小值大 1，则则a 等于等于()A.2B.2C.2或或2D不同于不同于 A、B、C 答案答案解析解析： 研究函数的最值需考查函数的单调性研究函数的最值需考查函数的单调性， 而题中对数函数的而题中对数函数的增减性与底数增减性与底数 a 的取值有关，故应对的取值有关，故应对 a 进行分类讨论进行分类讨论(1)当当 a1 时，时，f(x)在在2，上是增函数，最大值是上是增函数，最大值是 f()，最小值，最小值是是 f(2)，据题意，据题意，f()f(2)1，即，即 logaloga21，a2.(2)当当 0a43或或 0 xg(x)(2)当当3x41 即即 x43时，时，f(

25、x)g(x)(3)当当x1，03x411x43，或，或0 x1，3x41x ，即即1x43时，时，f(x)g(x)综上所述：综上所述：当当 x(0,1)43，时，时，f(x)g(x)；当当 x43时，时，f(x)g(x)；当当 x1，43 时，时，f(x)g(x)23已知已知 f(x)loga(ax1)(a0 且且 a1)(1)求定义域；求定义域；(2)讨论函数的单调区间讨论函数的单调区间解析解析： (1)由由 ax10ax1， 当当 a1 时时， 函数定义域为函数定义域为(0，)，当，当 0a1 时，函数定义域为时，函数定义域为(，0)点评点评：底数含字母底数含字母 a，要进行分类讨论，要进行分类讨论最新精品资料