柯西不等式原始版题型分类

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1、柯西不等式（原始版）的习题分类柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II的选修4-5不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。一、柯西不等式（原始版）1、（a；+a；时+b；）二佝0+a2b2 $，当且仅当向量a=（aa2）,b=（b!,b2）同向时候成立，如果0小2式0时,那么当且仅当虫二亚时成立。b-i b22 2 2 2 2 2 22、佝+a?+a3血+b2比(ab azb?+asb32，当且仅当a- : a2: a b- :b2 *3 时等号成立。na：、bkk 4工迟akbkZ 丿，当且仅当a- : a2: a3:an b-:

2、 b2: b3:bn时等号成立。第3页由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以 抓住这个关键进行应用。二、常见题型1、1次-1次一常数。1 1例1、已知a b =1，且a,b0 ,求的最小值。a b解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式1 1一定是k，k为某个常数，那么不等式左边-1次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以a b，这样a b左边变成了 a 11，次数就成为了 0，就可以应用柯西不等式。2=4，la b丿1 1的最小值为4。a b1当且仅当a =b 时等号成立

3、，所以2有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单,例2、若a,b,c0 ,求证 解析：可以直接应用柯西不等式1 +1 +1 |(a + b + c )纠 J1 a + J1 b +111 c | =9，当且仅当 a = b = c = 1 时等号成立。 a b c- a . b c1、已知a,b,c 0，证明：19-a b c a+b + c11192、已知a, b, c 0 ,证明:+a b b e c a 2 a b c提示：2 a -b -c = a b 广b c j亠c a。cab3、已知a, b, c 0 ,并且a b c = 1

4、，求的最小值。a+b b+c c+ac A 1 a A 1 b A 1 提示：1；1；1 =-a+ba+b b+c b + c c+a c + a1144 :已知a b c,证明ab bc ac提示:设 x二a-b , y 二b-c，贝V a-c=x y，且 x, y . 0。2 例3、已知y2 = 1，求x y的取值范围。4解析：这道题可以用椭圆求切线的方法，也可以利用参数方程，但是利用柯西不等式会更简单。这类问题是转化形如+ y2 k+k2 ）艺（x + y（ k1, k2为某两个常数）的柯西不等式进行求解，关键是常数 匕也 I4 丿2的确定。观察柯西不等式（a；时+b； RaQ七2匕2仁

5、有af =（叭2 , i =1,2，相应的 kx2，42 2y k2 二 y，易得 k1 二 4, k2 -1 o所以+y2 ：4+1 上（x + y 2，即 1 =5 兰（x + y 丫，所以一 j5Ex + yJ5。 I4 丿例4、已知x2 y2 z2 =1，求x 2y 3z的取值范围。分析：需要转化为形如（x2 +y2 +乙2铀+k2 +k3眩（x+2y+3zf的柯西不等式，有 x2 kx2, y2 k4y2, z2 k 9z2，解得心=1, k4,k9。解：x2 y2 z2 1 4 9 - x 2y 3z2，即 x 2y 3z2 乞 13，所以-，13 乞 x 2y 3z13。例5、已

6、知x y z =1，求x2 2y2 z2的最小值。f 152解析:(x + y兰 1+十1 ；x2 +2y2 十 z2 )，即 1 兰(x2 +2y2 + z2)，所以 x2 +2y2 +z2 工一I 2 丿25x _J2vz212222当且仅当，即x = z, y，或时等号成立，所以 X2 2y2 Z2的最小值为。1115552例6、求函数v = x 1 ._4 _2x的最大值。IOO/解析：设a = . x/b. 2X，则a b =3 （定要是其平方和为常数），贝y y = a 2b，由柯西不等式,即x = 0时等号成立。a2 b2 1 2 _ a2b彳，即3 3 一 y2，所以y空3，当且仅当练习：2 2 21、已知x y 2 2，求x 3y 2z的最小值。12、如果 x y z =1，贝U x y - z -3、求函数y =2 J -2 ,4x 3的最大值。