【精品】【冀教版】九年级上：第26章解直角三角形全章教学案含答案

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1、数学精品教学资料第二十六章解直角三角形1.理解锐角三角函数的概念,并能通过实例进行说明.2.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能解决含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.3.能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.4.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形.5.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题,并能对相关知识进行综合应用.1.通过探究锐角正弦、余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.

2、2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.3.通过在直角三角形中探究三角函数与边长、角之间的数量关系,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.4.综合运用所学知识解决和直角三角形有关的计算,逐步提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性.5.经历从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力,进一步感受数形结合思想在数学中的应用.1.通过引导学生参与体验数学活动,让学生学会用数学思维方式思考、发现问题,提高数学思维能力.同时体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索

3、的精神.2.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.3.让学生经历观察、操作等数学活动,探索三角函数有关知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心.4.在探索直角三角形中边角关系的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.5.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成事实求是的科学态度.本章锐角三角函数是数学课程标准中“空间与图形”领域的重要内容,是初中阶段研究三角形部分的最后阶段,主要研究锐角三角函数的概念、求锐角三角函数的值,以及锐角三角函数的简单应用.它是

4、在学习了函数、相似三角形的基础上,对直角三角形中边角之间的关系的进一步研究,属于三角学中的最基础的内容,而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,所以本章的学习是为高中数学中三角函数等知识的学习做好准备.本章内容是在前面研究了直角三角形中勾股定理、两个锐角之间的关系的基础上,进一步研究边角之间的关系,本章中只有正确了解锐角三角函数的概念,才能真正理解直角三角形中边角之间的关系,从而利用这些关系来解直角三角形,这样才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边角之间的数量关系统一起来.锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用,这也为锐角三角函数提供了与

5、实际联系的机会,研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论,解直角三角形主要依据锐角三角函数和勾股定理等内容,因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的基础.通过本章的学习,使学生全面掌握直角三角形的组成元素之间的关系,并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题,进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模思想.本章重点是锐角三角函数的概念、解直角三角形及三角函数的简单应用.通过研究直角三角形中各元素之间的关系,并把这种关系用数量关系的形式表示出来,使学生经历数学抽象的过程,通过本章的学习,使学生进一步感受数形结合的思想,体会数形结合的方法.直角三角形中边角之间的关系在解决实际问题中有

6、着重要的作用,现实生活中距离、高度、角度等计算问题,常常应用到解直角三角形的知识,使学生进一步感受数学建模思想在实际生活中的应用.【重点】正弦,余弦,正切概念、特殊角的三角函数值、会解直角三角形、能利用三角函数有关知识解决实际问题.【难点】把实际问题转化为直角三角形中的问题,并通过锐角三角函数解决问题.1.组织学生积极参与课堂教学活动,根据问题情境,让学生在独立思考的基础上,鼓励学生在小组间通过合作与交流的方式解决问题.2.关于锐角三角函数概念的教学,应注重创设符合学生实际的问题情境,从实际问题出发,让学生经历建立概念的过程,使学生感受数学与现实的联系.3.引导学生观察、分析、发现直角三角形中

7、边角之间的关系,鼓励学生有条理地进行思考和表达.在观察、操作和推理的过程中,使学生有意识地反思其中的数学思想方法.4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望.5.关于锐角三角函数求值的教学,应以实际操作为主,通过求函数值,使学生加深对锐角三角函数概念的理解,让学生初步感受到锐角三角函数值随角度的变化而变化.6.对于锐角三角函数的应用,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后把实际问题转化为数学问题.同时,应注重数形结合思想方法的渗透,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出思想方法.26.1锐角三角函数

8、2课时26.2锐角三角函数的计算1课时26.3解直角三角形1课时26.4解直角三角形的应用1课时回顾与反思1课时26.1锐角三角函数1.经历正切、正弦、余弦概念建立的过程,理解三角函数的意义.2.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,并能根据这些值说出对应的锐角度数.3.能熟练地计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式的值.4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算.1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系.2.通过探究锐角正弦

9、、余弦、正切概念的形成,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,培养学生的归纳推理能力.3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.4.通过推导特殊角的三角函数值,学会综合运用数学知识解决问题的能力.1.学生通过问题情境经历三角函数概念的形成过程,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.通过思考、发现、总结、验证等数学活动,提高学生数学思维能力.3.通过主动探究,合作交流,增强学生的合作意识,培养学生团队意识,同时让学生体验成功的快乐.4.在探索与三角函数有关的知识过程中,学生通过观察、操作获取知识,锻炼克服困难的意志,建立

10、自信心.【重点】理解各三角函数的意义,会求锐角的各三角函数值;熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练地计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式的值.【难点】探索各三角函数值的概念;30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.第课时1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固定值,引出正切的概念.2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算.3.会计算特殊角的正切值.1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现

11、实生活与数学的联系.2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力.1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐.【重点】理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值.【难点】理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P104106.导入一:【课件展示】如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(AOC)为50°

12、俯视旗杆底部B,俯角(BOC)为18°.旗杆的高约为多少米?【师生活动】教师展示章前页问题情境并简单说明,学生观察图示,教师引出本章课题.导入语通过测量仰角、俯角及小明与旗杆的距离,应用以前学过的数学知识,我们还不能求出旗杆的高度.通过本章的学习,你将能够解决这个问题.导入二:复习提问:1.直角三角形有哪些特殊性质?2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?【师生活动】学生思考回答,教师点评.导入三:【课件展示】如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C

13、处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)教师提问:该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在RtABC中,已知C=90°,BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)【师生活动】教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评.过渡语解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系,即锐角三角函数,今天我们学习第一种锐角三角函数锐角的正切.设计意图通过章前页问题情境提出如何求得旗杆高度,让学生认识到本章将要学习的主要内容,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角

14、三角形的知识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入三中把实际问题转化为数学问题,让学生初步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系.共同探究直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值【课件展示】如图所示,在RtABC中和RtA'B'C'中,C=C'=90°.当A=A'时,与具有怎样的关系?思路一教师引导思考:(1)如何证明线段成比例?(三角形相似)(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?(A=A',C=C'=90°,RtABCRtA'B'C')(3)由三角形相

15、似的性质可以得到与之间的关系吗?RtABCRtA'B'C',即(4)你能用语言叙述这个结论吗?(当锐角A确定时,A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评.思路二教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进行分析指导,对学生的展示进行点评.解:.理由:A=A',C=C'=90°,RtABCRtA'B'C'.,即.追问:你能用语言叙述这个结论吗?【师生活动】学生尝试叙述结论,教师归纳完整.结论:当锐角A确定

16、时,A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关.过渡语在上图中的两个直角三角形中,相等的角所对的直角边与邻边的比值是相等的,在下图中,上述结论是否还正确呢?【课件展示】如图所示,已知EAF<90°,BCAF,B'C'AF,垂足分别为C,C'.与具有怎样的关系?【师生活动】学生类比上边的思考方法,独立思考后,小组内交流答案,教师及时发现问题,及时帮助解决问题.追问:根据以上两个图形中角的对边与邻边的比的探究,你能得到什么结论?【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评,规范归纳的结论.【课件展示】在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角

17、形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当A(小于90°)确定时,以A为锐角的RtABC的两条直角边的比是确定的.设计意图通过教师引导或独立思考后小组合作交流,让学生感知并证明锐角一定时,它的对边和邻边的比是定值,为引出正切的概念做好铺垫,同时培养学生观察、思考及合作交流的能力.形成概念过渡语在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与邻边的比是固定值,那么这个固定值被定义为什么呢?【课件展示】如图所示,在RtABC中,C=90°,我们把A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tan A,即tan A=.大家谈谈:(1)A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整

18、体?(tan A表示的是一个整体)(2)当A的大小变化时,tan A是否变化?(tan A随着A的大小变化而变化)(3)tan A有单位吗?(tan A是一个比值,没有单位)(4)B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎样的关系?(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和邻边)(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?(根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点评.设计意图在解决一系列的问题中,经历建立数学概念的过程,让学生全面理解正切的概念、写法

19、和意义,教师强调概念中注意的事项,使学生加深对正切概念的理解和掌握.例题讲解(教材105页例1)在RtABC中,C=90°.(1)如图(1)所示,A=30°,求tan A,tan B的值.(2)如图(2)所示,A=45°,求tan A的值.【师生活动】学生独立思考完成,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师巡视、观察学生的解答情况,对发现的问题及时解决,并对学生的展示进行点评和规范做题步骤.解:(1)在RtABC中,A=30°,B=60°,且a=c.b= c.tan A=tan 30°=c÷c=,tan B=tan 60&#

20、176;=c÷c=.(2)在RtABC中,A=45°,a=b.tan A=tan 45°=1.这样,就得到tan 30°=,tan 45°=1,tan 60°=.设计意图学生独立完成该问题的理解和解答,巩固了对正切的概念的理解和应用,为下节课学习特殊角的三角函数值做好铺垫,同时教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.知识拓展1.正切是一个比值,没有单位.2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.tan A是一个整体符号,不能写成tan ·A.4.当用三个字母表示角时,角的符

21、号“”不能省略,如tanABC.5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2.1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,A的对边与邻边的比值是一个固定值.2.正切的定义:在RtABC中,C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tan A,即tan A=.1.如图所示,在RtABC中,C=90°,三边分别为a,b,c,则tan A等于()A.B.C.D.解析:根据锐角正切的定义可得tan A=.故选B.2.把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值()A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能

22、确定解析:因为ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正切值也不变.故选A.3.已知RtABC中,C=90°,tan A=,BC=12,则AC等于. 解析:根据正切定义可得tan A=,所以AC=9.故填9.4.如图所示,在RtABC中,C=90°.(1)若tan A=,BC=9,求AB的长;(2)若tan B=,AC=16,求AB的长.解:(1)tan A=,BC=9,AC=12,由勾股定理可得AB=15.AB的长为15.(2)tan B=,AC=16,BC=12.由勾股定理可得AB=20.AB的长为20

23、.第1课时共同探究直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值形成概念例题讲解一、教材作业【必做题】教材第106页习题A组第1,2题.【选做题】教材第106页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.已知RtABC中,C=90°,BC=1,AC=2,则tan A的值是()A.2B.C.D.2.已知RtABC中,C=90°,tan A=,BC=8,则AC等于()A.6B.C.10D.123.在RtABC中,C=90°,若AC=2BC,则tan B的值是()A.B.2C.D.4.如图所示,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,若将ACB绕着点A逆时针旋转得到AC

24、9;B',则tan B'的值为. 5.已知等腰三角形的腰长为6 cm,底边长为10 cm,则底角的正切值为. 6.如图所示,点A(t,4)在第一象限,OA与x轴所夹的角为,tan =,则t的值是. 7.如图所示,在RtABC中,ACB=90°,CDAB于点D,若BC=2,AB=3,求tanBCD的值.【能力提升】8.如图所示,ABC中,AB=AC,A=45°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E,连接CD.如果AD=1,那么tanBCD=. 9.如图所示,在ABC中,C=90°,D是BC上一点,AC=2,

25、CD=1,记CAD=.(1)求的正切值;(2)若B=,求BD的长.【拓展探究】10.如图所示,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的F处,如果,求tanDCF的值.【答案与解析】1.B(解析:在RtABC中,C=90°,AC=2,BC=1,tan A=.故选B.)2.A(解析:tan A=,BC=8,AC=·BC=6.故选A.)3.B(解析:AC=2BC,tan B=2.故选B.)4.(解析:由旋转可得B'=B,所以tan B'=tan B=.故填.)5.(解析:根据等腰三角形的三线合一,可得底边的一半为5 cm,由勾股定理可得底边上的高为 cm,所

26、以底角的正切值为.故填.)6.3(解析:如图所示,过A点分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为B,C,点A(t,4)在第一象限,AB=4,OB=AC=t,又tan =,t=3.故填3.)7.解:CDAB,ADC=90°,A+ACD=90°,又BCD+ACD=90°,BCD=A,在RtABC中,AC=,tan A=,tanBCD=tan A=.8.-1(解析:DE垂直平分AC,AD=CD,A=ACD=45°,ADC=BDC=90°.AD=CD=1,AB=AC=,BD=-1.在直角三角形BCD中,tanBCD=-1.故填-1.)9.解:(1)在RtAC

27、D中,tan =.(2)在RtABC中,tan B=,由(1)知tan =,又B=,tan B=,又AC=2,BC=4,BD=BC-CD=4-1=3.10.解:四边形ABCD是矩形,AB=CD,D=90°,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的F处,CF=BC,设CD=2x,CF=3x,则DF=x,tanDCF=.本节课通过复习特殊角直角三角形的性质,为探究锐角的正切概念做好铺垫,同时以具体情境引入新课,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生学习兴趣,并初步感受直角三角形中边角之间的关系.然后通过学生自主探究、合作交流等数学活动,归纳出结论:直角三角形中锐角一定时,它的对边与

28、邻边的比相等.从而自然引出正切的概念,顺理成章完成知识的迁移,培养了学生发现问题、探究思考与合作交流的能力.在课堂上,学生参与意识较强,课堂气氛活跃,让不同的学生得到不同的发展,突出了学生在课堂上的主体作用.本节课通过探究直角三角形中锐角的对边和邻边的比是固定值,由此归纳总结正切定义.在教学设计中,注重知识间的联系,由前边所学知识自然推导结论,由结论自然导出正切概念,但在授课过程中忽略了学生的认知能力,部分学生对正切的理解有困难.在以后的教学中,给出正切定义后,应给出几个简单的练习题,加深学生对概念的理解和掌握.本节课根据问题情境中提出的问题,引导学生画出图形,将实际问题转化为数学问题,激发学

29、生探究本节课的学习兴趣,然后根据已有的相似三角形的知识,让学生独立思考后,小组合作交流,探究出直角三角形中的锐角确定时,它的对边和邻边的比是确定的,很自然地引出正切的定义,然后通过例题讲解让学生进一步理解和掌握正切的概念.学生在经历概念的形成过程中,加深对正切概念的理解和掌握,同时提高了数学思维及归纳总结能力.练习(教材第106页)1.提示:(1)1.(2)2+.(3)0.(4).2.解:在RtABC中,AC=2,tan B=.3.解:根据勾股定理可以求得另一条直角边为,所以tan =.习题(教材第106页)A组1.提示:-2-.2.提示:AC=,AB=.B组1.解:ABC的周长为AB+BC+

30、AC=+10+,ABC的面积为AC·BC=×10=.2.解:BC=6,tan B=.加强探究能力,发展学生的思维能力本节课的重点是探究直角三角形中锐角的正切概念,在教学设计中,通过“观察与思考”“大家谈谈”等教学环节,为学生提供探究交流的空间,发展学生的思维能力.首先通过复习特殊直角三角形的性质,为学生探究活动做好铺垫,然后让学生通过独立思考、小组合作交流、共同归纳等数学活动,探索出结论“在直角三角形中,当一个锐角确定时,这个角的对边与邻边的比是确定的”,从而很自然地把直角三角形中这个确定的值定义为这个锐角的正切.在课堂上以问题引导的形式让学生积极参与课堂,亲身经历概念的形

31、成过程,为学生提供了更加广阔的探索空间,培养学生观察、思考、与他人合作及归纳总结的能力.然后设计“大家谈谈”环节,让学生独立完成后,小组交流得出结论,巩固对正切概念的理解.在例题讲解环节,设计了求30°,45°这些特殊角的正切值,学生在教师的引导下,再次经过独立思考后,小组合作交流,得出正确结果,提高学生探究能力和分析问题、解决问题的能力,使学生的数学思维能力得到进一步的提升.(2015·内江中考)在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)作直线l:y=x+b(b为常数且b<2)的垂线,垂足为点Q,则tanOPQ=. 解析如图所示,设直线l与坐标轴

32、的交点分别为A,B,AOB=PQB=90°,ABO=PBQ,OAB=OPQ,由题意可得OB=b,OA=2b,在RtOAB中,tanOAB=,tanOPQ=.故填.第课时1.经历正弦、余弦概念的形成过程,理解三角函数的定义,并能根据正弦、余弦的概念进行计算.2.经历探索30°,45°,60°角的正弦、余弦值的过程,能够进行有关推理,并能进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.1.结合正切概念探索锐角正弦、余弦概念的形成,培养学生类比推理的能力及归纳总结的能力.2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变

33、化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.3.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,学会综合运用数学知识解决问题的能力.1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证问题,提高数学思维能力.3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.【重点】1.理解正弦、余弦的概念,并会求锐角的正弦值、余弦值.2.熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,

34、45°,60°角的三角函数的代数式的值.【难点】类比正切概念,探索正弦、余弦的概念及30°,45°,60°角的正弦、余弦值的推导过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P106108.导入一:复习提问:1.在直角三角形中,如果一个锐角确定时,它的对边与邻边的比值有什么规律?2.什么是正切?如何求一个角的正切?3.含30°,45°的直角三角形有哪些性质?4.你还记得我们探究正切概念时所得的30°,45°角的正切吗?导入二:观察两个不同大小的三角板,当角是30°,45°,60&#

35、176;时,它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律?谈谈你的看法.过渡语类比探究正切的方法,在直角三角形中,当锐角的度数一定时,它的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的吗?这就是我们这节课要学习的内容.设计意图通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究本节课的内容,为本节课做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的对边与斜边、邻边与斜边的比值,观察、归纳规律,很自然地引出本节课的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力.共同探究一直角三角形中,锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比是定值思路一【课件展示】如图所示,在RtAB1C1和RtAB2C2中,C1=C2=90°.【思考】

36、(1)RtAB1C1与RtAB2C2之间有什么关系?(RtAB1C1RtAB2C2)(2)与,与之间各有什么关系?(3)过射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3AC1,垂足为C3,则与,与之间有什么关系?(4)根据以上思考,你得到什么结论?(直角三角形中A的对边与斜边、邻边与斜边的比值是固定不变的)(5)如果改变A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论.【师生活动】教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是确定的.2.在直角

37、三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的.思路二【课件展示】如图所示,BAC为任意给定的一个锐角,B1,B2为射线AB上的任意两点,过点B1,B2分别作AC的垂线B1C1,B2C2,垂足分别为C1,C2.【探究】类比上节课探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与邻边的比是确定的”的方法,请你探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的”.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师帮助学习有困难的学生,并对学生的展示进行点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,

38、这个角的对边与斜边的比是确定的.2.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的.设计意图在教师提出的问题的引导下,学生通过小组合作交流,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为归纳理解三角函数定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力.形成概念过渡语在直角三角形中,锐角的度数一定时,角的对边与斜边、邻边与斜边的比值是确定的,我们把确定值定义为什么呢?【课件展示】在RtABC中,C=90°.锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值.A的对边与斜边的比叫做A的正弦,记作sin A,即sin A=.A

39、的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作cos A,即cos A=.【思考】(1)当锐角的大小变化时,sin ,cos ,tan 是否变化?(2)对于锐角的每一个确定的值,sin ,cos 和tan 是否有唯一的值和它对应?(3)sin ,cos 和tan 是不是的函数?【师生活动】学生思考回答,教师引导点评.归纳:我们把锐角正弦、余弦和正切统称为的三角函数.为方便起见,今后将(sin )2,(cos )2,(tan )2分别记作sin2,cos2,tan2.大家谈谈:如图所示,在RtABC中,C=90°.(1)B的正弦与余弦分别是哪两边的比值?B的正弦是,B的余弦是(2)由a<c,

40、b<c,说一说sin A和cos A的值与“1”的关系.(sin A<1,cos A<1,sin2A+cos2A=1)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,对于“A的正弦、余弦的平方和等于1”这一结论,学生不容易想到,教师要引导学生发现结论,并对学生的展示作出点评.设计意图教师根据上边的总结验证,类比正切概念的形成,引导学生认识理解正弦、余弦的概念,让学生体会类比思想在数学中的应用,培养学生归纳总结能力.通过大家谈谈,加深学生对锐角三角函数概念的理解和掌握,提高学生发现问题、解决问题的能力.共同探究二特殊角的三角函数值过渡语类比上节课的30°,45°,

41、60°角的正切值的探究方法,你能得到30°,45°,60°角的三角函数值吗?思路一动手操作:画出含有30°,45°角的直角三角形,分别求出30°,45°,60°角的所有三角函数值.【师生活动】学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数的定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一个边长,然后计算各三角函数值.对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.【课件展示】30°45°60°sin cos tan 1【思考】观察表格中特殊角的

42、三角函数值,你能发现什么结论?【师生活动】学生小组讨论,教师在巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说的有理,就给予肯定和鼓励.结论:(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°,由此可知sin =cos (90°-),cos =sin (90°-).(3)0<sin A<1,0<cos A<1.思路二【思考】如图所示.(1)在直角三角形中,30

43、76;角所对的直角边和斜边之间有什么关系?(2)设30°角的对边为a,你能用a表示三角形的各边长吗?(3)用三角函数的定义,分别求出30°,60°角的各三角函数值.(4)含有45°角的直角三角形有什么特点?(5)设等腰直角三角形的腰长为a,你能用a表示直角三角形的斜边吗?(6)用三角函数的定义,求出45°角的各三角函数值.【师生活动】学生逐一回答教师提出的问题,通过计算得出30°,45°,60°角的各三角函数值.师生共同完成下表:【课件展示】30°45°60°sin cos tan 1

44、【思考】(1)观察表格中数据,当锐角增大时,它的正弦、余弦、正切值怎样变化?(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的?(3)根据(2)猜想正确结论.【师生活动】学生小组讨论,教师在巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就给予肯定和鼓励.结论:(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°.(3)sin =cos (90°-),cos =sin (90°-).设计意图学生

45、通过画图,根据特殊直角三角形三边之间的关系及三角函数的定义,计算完成特殊角的三角函数值的推导,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,提高学生分析问题、解决问题的能力,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力.例题讲解【课件展示】(教材107页例2)求下列各式的值:(1)2sin 30°+3tan 30°-tan 45°(2)(sin 45°)2+tan 60°sin 60°.教师引导思考:(1)cos 60°,sin 60°,cos 45°,sin 45°,tan 45&#

46、176;各等于什么值?(2)将各三角函数值代入,化简计算各代数式的值.【师生活动】教师引导学生记忆各特殊角的三角函数值,将各特殊角的三角函数值代入各式计算即可,学生独立完成后,小组内交流答案,小组代表板书解答过程,教师进行点评,并强调计算过程中的易错点.解:(1)2sin 30°+3tan 30°-tan 45°=2×+3×-1=.(2)(sin 45°)2+tan 60°sin 60°=2.(教材107页例3)如图所示,在RtABC中,C=90°,AC=5,BC=12.求sin A,cos A,tan

47、A的值.【思考】(1)根据各三角函数的定义,要求sin A,cos A的值,必须求出哪个边的值?(2)怎样求出AB的值?【师生活动】学生思考回答问题后,独立完成解答过程,小组交流结果,小组代表板书过程.【课件展示】解:AB=13,sin A=,cos A=,tan A=.设计意图在教师的引导下,学生独立思考完成后,小组交流答案,让学生熟记特殊角的三角函数值,并能够根据概念求出直角三角形中锐角的各三角函数值,加深学生对概念的理解和掌握,同时让学生综合运用勾股定理、三角函数的概念进行有关计算,培养学生综合运用数学知识解决问题的能力.知识拓展1.正弦和余弦都是一个比值,没有单位.2.正弦值和余弦值只

48、与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.sin A,cos A是一个整体符号,不能写成sin·A,cos·A.4.当用三个字母表示角时,角的符号“”不能省略,如sinABC.5.在RtABC中,C=90°,由于sin A=,cos A=,sin B=,cos B=,tan A=,tan B=,因此,sin A=cos B,cos A=sin B,tan A·tan B=1.6.在RtABC中,C=90°,a2+b2=c2,sin A=,cos A=,tan A=,sin2A+cos2A=1,tan A=.1.在直角三角形中,当锐角A的度数确定时

49、,无论这个直角三角形的大小如何,A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比都是一个确定值.2.正弦、余弦的定义:3.三角函数的定义:锐角的正弦,余弦,正切统称为的三角函数.4.特殊角的三角函数值:30°45°60°sin cos tan 11.三角形在正方形方格纸巾中的位置如图所示,则sin 的值是()A.B.C.D.解析:观察网格图可得,在直角三角形中,的对边为3,邻边为4,根据勾股定理可得斜边为5,所以根据正弦的定义可得sin =.故选C.2.在RtABC中,C=90°,AB=13,AC=12,则下列各式正确的是()A.sin A=B.cos A=C.tan

50、 A=D.以上都不对解析:由勾股定理可得BC=5,sin A=,cos A=,tan A=.故选B.3.在RtABC中,C=90°,sin A=,AB=20,则BC=. 解析:AB=20,sin A=,sin A=,BC=×20=12.故填12.4.在ABC中,sin A=,cos B=,则ABC的形状为三角形. 解析:sin A=,cos B=,A=30°,B=45°,又A+B+C=180°,C=105°,ABC为钝角三角形.故填钝角.5.在ABC中,C=90°,cos A=,AB=12,求ABC的面积

51、.解:cos A=,AB=12,AC=4.由勾股定理可得BC=4,SABC=AC·BC=×4×4=24.6.计算:(1)2sin 30°-cos 45°(2)tan 30°-sin 60°·sin 30°.解:(1)2sin 30°-cos 45°=2×-=1-1=0.(2)tan 30°-sin 60°·sin 30°=-.第2课时共同探究一直角三角形中,锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比是定值形成概念共同探究二特殊角的三角函数值例

52、题讲解一、教材作业【必做题】教材第108页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第109页习题B组第1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.若cos =,则sin 的值为()A.B.C.D.2.如图所示,ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sinABC等于()A.B.C.D.3.如图所示,在RtABC中,ACB=90°,CDAB,垂足为D,若AC=,BC=2,则sinACD的值为()A.B.C.D.4.在ABC中,若锐角A,B满足=0,则C=. 5.如图所示,在菱形ABCD中,DEAB,垂足为E,DE=8 cm,sin A=,则菱形ABCD的面积是cm2. 6

53、.计算:(1)+(-3)0-tan 45°.(2)2-1-3tan 30°+cos 60°.7.在RtABC中,C=90°,tan A=,AB=26.求cos B,AC的值.【能力提升】8.如图所示,在RtABC中,C=90°,AM是BC边上的中线,sinCAM=,则tan B的值是. 9.如图所示,在ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cosDAC.(1)求证AC=BD;(2)若sin C=,BC=12,求AD的长.10.如图所示,在ABC中,C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sinABD的值.【拓展探

54、究】11.阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:sin 30°=,cos 30°=,则sin230°+cos230°=; sin 45°=,cos 45°=,则sin245°+cos245°=; sin 60°=,cos 60°=,则sin260°+cos260°=; .观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=. (1)如图所示,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对A证明你的猜想;(2)已知

55、A为锐角(cos A>0)且sin A=,求cos A.【答案与解析】1.D(解析:cos =,设的邻边为k,斜边为10k,由勾股定理可得的对边为=3k,sin =.故选D.)2.C(解析:过点A向BC引垂线,与BC的延长线交于点D.设正方形的边长为1,在RtABD中,AD=2,BD=4,AB=2,sinABC=.故选C.)3.A(解析:在RtABC中,根据勾股定理可得AB=3.B+BCD=90°,ACD+BCD=90°,B=ACD,sinACD=sin B=.故选A.)4.75°(解析:由=0,得cos A-=0,sin B-=0,cos A=,sin B

56、=,A=60°,B=45°,又A+B+C=180°,C=75°.故填75°.)5.80(解析:依题意知,在菱形ABCD中,DEAB,在RtDEA中,DE=8 cm,sin A=,则,所以AD=10 cm.因为在菱形ABCD中,DEAB,所以菱形ABCD的面积为DE×AB=8×10=80(cm2).故填80.)6.解:(1)原式=4+1-1=4.(2)原式=-+2=1+.7.解:在RtABC中,C=90°,tan A=,设BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=k,k=26,k=2,BC=2k=4,AC=3k=6

57、,cos B=.AC的值为6,cos B=.8.(解析:在RtAMC中,sinCAM=,设MC=3x,AM=5x,则AC=4x.M是BC的中点,BC=2MC=6x.在RtABC中,tan B=.)9.(1)证明:AD是BC边上的高,ADBC,ADB=90°,ADC=90°,在RtABD和RtADC中,则有tan B=,cosDAC=,又tan B=cosDAC,AC=BD.(2)解:在RtADC中,sin C=,故可设AD=12k,AC=13k,CD=5k,BC=BD+CD,由(1)知AC=BD,BC=13k+5k=18k,由已知BC=12,18k=12,k=,AD=12k

58、=12×=8.10.解:如图所示,作DEAB于E.设AC=BC=2x,BD为AC边上的中线,在RtBCD中,根据勾股定理,得BD=x.C=90°,AC=BC,A=CBA=45°,又DEAB,A=ADE=45°,AE=DE=x,在RtBDE中,sinABD=.11.1111(1)证明:过点B作BDAC于D,在RtADB中,sin A=,cos A=,由勾股定理得BD2+AD2=AB2,=1,sin2A+cos2A=1.(2)解:A为锐角(cos A>0),sin A=,sin2A+cos2A=1,cos A=.本节课是在上节课的基础上,用类比的方法探

59、究正弦和余弦定义,然后由三角函数的定义探究特殊角的三角函数值.在教学设计中,通过复习上节课探究正切的方法和技巧,为本节课学生的自主学习打下基础,在探究活动中,教师引导学生类比直角三角形的锐角对边和邻边的比是固定值的证明方法,让学生独立完成用相似三角形证明直角三角形中锐角的对边与斜边、邻边与斜边的比都是固定值,很自然地得到正弦和余弦的概念.通过特殊角所在的直角三角形边之间的关系,推导出特殊角的三角函数值.由于内容比较简单,学生独立完成后,小组交流答案,通过教师引导填写表格,加深学生对特殊角的三角函数值的记忆,学生动手、动脑,提高了分析问题的能力.例题中求代数式的值,学生独立完成,教师点评,再次加

60、深对特殊角的三角函数值的记忆,整节课学生积极参与课堂,气氛活跃,人人学到有价值的数学知识.本节课学习的主要内容是两个锐角三角函数及特殊角的三角函数值,在教学设计时,只注重了学生的活动的设计,考虑到学生基础较差,对函数的理解较难,所以没有将函数与定义过多的联系,三角函数定义是高中知识的基础,所以仅仅让学生停留在会应用定义进行简单的计算是不够的,应让学生明白为什么把这些值称为这个锐角的三角函数.在探究特殊角的三角函数值时,大多数学生在课堂上表现积极活跃,整节课看似流畅,但在推导出特殊角的三角函数值后,没有给学生足够的时间去记忆,造成部分学生在计算含特殊角的三角函数的代数式的值时出现困难.本节课的重

61、点是通过探究得到“直角三角形中,锐角的对边与斜边、邻边与斜边的比值是固定的”,从而得到正弦和余弦的定义,并根据定义进行推导特殊角的三角函数值,在教学引入中以复习正切定义、特殊直角三角形的性质及探究方法导入新课,为本节课的学习做了铺垫,激发学生学习的兴趣,然后把课堂大胆地交给学生,类比上节课的探究方法,通过自主探究、小组合作等数学活动,让学生探究出结论,归纳三角函数的定义,让学生体验成功的快乐.特殊角的三角函数值是需要记忆的知识,教学设计不能让学生单纯的记忆,而是要让学生经历知识的形成过程,真正理解和掌握数学知识.练习(教材第108页)1.解:(1)原式=2×+3×=1+.(

62、2)原式=·.(3)原式=-·=-.2.提示:sin B=;cos B=;tan B=.3.解:在RtABC中,cos A=,因为AC=6,所以AB=9,故BC=3.习题(教材第108页)A组1.解:(1)原式=2×.(2)原式=2-.2.解:AC =4,cos A=,sin A=,tan A=.3.解:过A作ADBC,垂足为D,则ADB=90°,BD=BC=3,AD=4.sin B=,cos B=,tan B=.B组1.解: BC=12,sin B=, tan B=.2.解:BC=AB·cos B=100×0.6=60,AC=80,

63、tan A=.3.解: 根据勾股定理可知三条斜边长依次为,sin =,cos =,tan =.重视知识的形成过程,深化理解概念1.锐角三角函数的概念是本章的难点,也是学习本章的关键,在教学设计中,重视知识形成的过程,深化理解有关概念,让学生经历“问题探究形成概念应用拓展反思提高”的基本过程.通过学生的主动探究来体现他们的主体地位,教师通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用,对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.学生经历概念的形成过程,体验知识间的内在联系,感受探究的乐趣,从而加深对概念的理解和掌握.2.本节课的教学设计中,重点是探究正弦、余弦两个三角函数的定义及特殊角

64、的三角函数值,通过复习上节课正切的概念及探究方法,让学生类比“直角三角形中,锐角的对边与邻边的比是固定值”的证明方法,独立完成猜想“直角三角形中,锐角的对边与斜边、邻边与斜边的比都是固定值”,然后通过小组交流,顺利完成证明过程,从而归纳正弦、余弦的定义.师生共同探究特殊角的三角函数值,并熟记这些值能进行有关计算.在教学活动中,以学生自主学习为主,在教师的引导下,学生小组合作交流,归纳结论,学生人人参与课堂,培养学生与他人的合作意识.(2015·兰州中考)如图所示,ABC中,B=90°,BC=2AB,则cos A等于()A.B.C.D.解析在RtABC中,AC2=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB2,AC=AB,cos A=.故选D.(2015·临沂中考)如图所示,在平行四边形ABCD中,连接BD,ADBD,AB=4,sin A=,则平行四边形ABCD的面积是. 解析:根据ADBD,AB=4,sin A=,BD=3,由勾股定理可得AD