最新 高中数学北师大版选修21练习：第二章4 用向量讨论垂直与平行 1 含解析

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1、精 品 数 学 文 档 最新精品数学资料 基础达标 1.若OA(1， 2， 3)， OB(1， 3， 4)， 则以下向量中能成为平面 OAB 的法向量的是( ) A(1，7，5) B(1，7，5) C(1，7，5) D(1，7，5) 解析：选 C.因为(1，7，5) (1，2，3)114150，(1，7，5) (1，3，4)121200， 所以向量(1，7，5)能成为平面 OAB 的法向量 2.若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面 的法向量为 u(2，0，4)，则( ) Al Bl Cl Dl 与 斜交 解析：选 B.u2a，a 与 u 共线，l. 3.已知 A(1，2，11)，B

2、(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 解析：选 C.CA(5，1，7)，CB(2，3，1)，由于CACB0 且|CA|CB|，故选 C. 4.已知平面 与 的一个法向量分别是 a(x，2，2)，b(1，3，y)，若 ，且|a|2 6，则 y( ) A5 B1 C4 或4 D5 或1 解析：选 D.，ab，即 x62y0， 又|a|2 6，x2222224，由解得 y5 或 y1. 5.在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，ABACAA1，ABAC，E 是 BC 的中点，则 A1E 与平面 AB1C1的位置关系是(

3、 ) A相交但不垂直 BA1E平面 AB1C1 CA1E平面 AB1C1 DA1E平面 AB1C1 解析：选 A.建立如图所示的空间直角坐标系 取|AB|1，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，E(12，12，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，A1E(12，12，1).AB1(1，0，1)，AC1(0，1，1)，由于A1EAB10，A1EAC10，故选 A. 6.已知点 A(2，4，0)，B(1，3，3)，则直线 AB 与平面 yOz 交点 C 的坐标是_ 解析：令 C 的坐标为(0，y，z)， 则由ABAC，得12，1（y4），3z，解得

4、y2，z6，12. 答案：(0，2，6) 7.设平面 的一个法向量为(3， 2， 1)， 平面 的一个法向量为(2， 43， k)， 若 ，则 k 等于_ 解析：，(3，2，1)(2，43，k)，即322431k，解得 k23. 答案：23 8.平面 与平面 的法向量分别是 m，n，直线 l 的方向向量是 a，给出下列论断： mn；mn；aml；aml. 其中正确的论断为_(把你认为正确论断的序号填在横线上) 解析：mn或 、 重合，不正确；mn，正确；aml或 l，不正确；aml，正确 答案： 9.如图，在四棱锥 S- ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD底面 ABCD，E、F

5、 分别为 AB、SC 的中点证明：EF平面 SAD. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系 设 A(a，0，0)，S(0，0，b)，则 B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0 ，F0，a2，b2.EFa，0，b2. 取 SD 的中点 G0，0，b2，连接 AG，则AGa，0，b2. 因为EFAG，所以 EFAG， 又 AG平面 SAD，EF平面 SAD， 所以 EF平面 SAD. 10.如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F，G 分别是 B1B，AB，BC 的中点证明：D1F平面 AEG. 证明：设ABa，ADb，AA1c，则D1FD1A1A1AAFADAA112AB1

6、2abc， AGABBGAB12BCa12b， AEABBEAB12BB1a12c， D1FAG(12abc) (a12b)0， D1FAG，即 D1FAG. D1FAE(12abc) (a12c)0， D1FAE，即 D1FAE，又 AEAGA， D1F平面 AEG. 能力提升 1.已知平面 内有一点 A(2，1，2)，它的一个法向量为 n(3，1，2)，则下列点 P 中，在平面 内的是( ) A(1，1，1) B(1，3，32) C(1，3，32) D(1，3，32) 解析：选 B.要判断点 P 是否在平面内，只需判断向量PA与平面的法向量 n 是否垂直，即判断PAn 是否为 0 即可，因

7、此，要对各个选项进行逐个检验 对于选项 A，PA(1，0，1)，则PAn(1，0，1) (3，1，2)50，故排除 A； 对于选项 B，PA(1，4，12)，则PAn(1，4，12) (3，1，2)0，故选 B. 2.如图，以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把ABD 与ACD 折成互相垂直的两个平面后，有以下四个结论： BDAC0； BAC60； 三棱锥 D- ABC 是正三棱锥； 平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直 其中正确结论的序号是_(请把正确结论的序号都填上) 解析：DA、DB、DC 两两垂直，且|DA|DB|DC|，ABC 为正三角形；D 在平面

8、ABC 上的射影在ABC 中心，故三棱锥 D- ABC 为正三棱锥，故不正确，正确 答案： 3.(1)如图所示，已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且C1CBC1CDBCD60.求证：CC1BD. (2)如图，已知平行四边形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM13BD，AN13AE，求证：MN平面 CDE. 证明：(1)设CBa，CDb， CC1c，则|a|b|. BDCDCBba， BDCC1(ba) cb ca c |b|c|cos 60|a|c|cos 600， CC1BD，即 CC1BD.

9、 (2)MNMBBAAN 13DBBA13AE 13(DCCB)BA13(ADDE) 13DC13CBCD13AD13DE23CD13DE. 又CD与DE不共线，根据共面向量定理，可知MN，CD，DE共面因为 MN 不在平面CDE 内，所以 MN平面 CDE. 4(1)在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA1平面 ABC，BCAC，BCAC2，AA13，D是 AC 的中点，问在侧棱 AA1上是否存在点 P，使 CP平面 BDC1，并证明你的结论 (2)已知：四棱锥 P- ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，且 PAAB2，ABC60，BC，PD 的中点分别为 E，F.在

10、线段 AB 上是否存在一点 G，使得 AF平面PCG？若存在，指出 G 在 AB 上的位置并给出证明；若不存在，请说明理由 解：(1)不存在证明如下：以 C1为原点，C1A1，C1C，C1B1所在直线分别为 x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 B(0， 3， 2)， C(0， 3， 0)， D(1， 3， 0)， C1B(0，3，2)，C1D(1，3，0) 假设侧棱 AA1上存在一点 P(2，y，0)(0y3)使 CP平面 BDC1，CP(2，y3，0)， CPC1B0，CP C1D0，即3（y3）0，23（y3）0， y3，y73，这样的 y 不存在 侧棱 AA1上不存在点

11、P，使 CP平面 BDC1. (2)由题意知 PA平面 ABCD，又因为底面 ABCD 是菱形，得 ABBC 且ABC60，所以ABC 是正三角形，连接 AE，又 E 是 BC 的中点，BCAE，故 AE，AD，AP 彼此两两垂直，以 AE，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系(图略)， PAAB2，故 A(0，0，0)，B( 3，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，C( 3，1，0)， PA(0，0，2)，PC( 3，1，2)，AF(0，1，1) 假设在线段 AB 上存在点 G，使得 AF平面 PCG， 则AGAB(01)， AB( 3，1，0)， AGAB( 3，0) PGPAAG( 3，2)， 设平面 PCG 的法向量为 n(x，y，z)， 由n PG0，nPC0， 即3xy2z0，3xy2z0，令 y1， 得 n(13（1），1，1) AF平面 PCG，AFn0， 解得 12， 故在线段 AB 上存在中点 G，使得 AF平面 PCG. 最新精品数学资料