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1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料最新精品资料最新精品资料最新精品资料高中数学高中数学 第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等式讲末检测柯西不等式与排序不等式讲末检测 新人教新人教 A A 版选版选修修 4-54-5一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1若a2b25，则a2b的最大值为()A5B6C7D8答案: A2设xy0，则x24y2y21x2的最小值为()A10B9C8D7答案: B3设a，b，c为正数，ab4c1，则ab2c的最大值是()A. 5B. 3C2 3D.32解析：1ab4c(a)2(b)2(2c)213(a)2(b)2(2c)2(121212)13(ab2c)2，(ab
2、2c)23.a，b，c为正数，ab2c 3.答案：B4若abc，xyz，则下列各式中取值最大的一个是()AaxcybzBbxayczCbxcyazDaxbycz答案：D5已知a21a22a23a2n1，x21x22x2n1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1B2C.12D4解析：|a1x1a2x2anxn|a21a22a2nx21x22x2n1，当且仅当a1x1a2x2anxn时，等号成立答案：A6已知x，y，zR，且xyz3，则x2y2z2的最小值是()A1B.13C.12D3解析：x2y2z2(121212)(x2y2z2)13(1x1y1z)213933.答案：D7设a，b，c
3、为正数，且abc1，则1a1b1c的值()A大于 9B不大于 9C小于 9D不小于 9解析：构造两组数a，b，c；1a，1b，1c.于是由柯西不等式有(a)2(b)2(c)21a21b21c2a1ab1bc1c2， 即(abc)1a1b1c32.abc1，1a1b1c9，当且仅当abc13时，等号成立答案：D8已知x2y3z1，则x2y2z2的最小值是()A.114B.17C.314D.27解析： 根据柯西不等式有(x2y2z2)(122232)(x2y3z)21， x2y2z2114，当且仅当x1y2z3，即x114，y17，z314时，x2y2z2取最小值，最小值为114.答案：A9设x1
4、，x2，xn是互不相同的正整数，则mx112x222xnn2的最小值是()A1B2C112131nD11221321n2解析：设a1，a2，an是x1，x2，xn的一个排列，且满足a1a2an.因为a1，a2，an是互不相同的正整数，所以a11，a22，ann.又因为 11221321n2，所以由排序不等式，得x11x222x332xnn2a1a222a332ann21121223132n1n2112131n.答案：C10已知a，b，cR，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)()A大于零B大于等于零C小于零D小于等于零解析：设abc0，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3
5、bc3ca3bb3cc3a.又abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.答案：B11若a，b，c为正数，则abbcca(bacbac)的最小值为()A1B1C3D9解析：由柯西不等式可知abbccabacbacabbabccbcaac2329.答案：D12已知a，b，cR，设P2(a3b3c3)，Qa2(bc)b2(ca)c2(ab)，则()APQBPQCPQDPQ解析：根据排序原理，取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不妨设abc0，所以a2b2c20， 所以由
6、排序原理， 得a2ab2bc2ca2bb2cc2a，a2ab2bc2ca2cb2ac2b，将上面两式相加，得 2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)PQ.答案：C二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13下列命题中正确的序号为_logablogbclogca3 成立，当且仅当a，b，c(1，)；|a1a|2 成立，当且仅当a0；a2b2c2abbcca.解析：中因为a，b，c(1，)或(0，1)由排序不等式知对任意顺序的a，b，c，其顺序和a2b2c2为最大值，a2b2c2abbcca.答案：14在锐角ABC中，abc，设MacosCbcosBccosA，NacosBbco
7、sCccosA，则M与N的大小关系是_解析：在锐角ABC中，abc，ABC90，cosAcosBcosC由排序原理：顺序和乱序和，MN.答案：MN15已知x，y，a，bR，且axby1，则xy的最小值为_(用a，b表示)解析： 构造两组实数x，y与ax，by.x，y，a，bR，axby1， xy(x)2(y)2ax2by2(ab)2，当且仅当xyab时，等号成立答案：(ab)216y2 2x 2x3的最大值是_解析：y 2 42x1 2x3 （ 2）212（42x2x3） 3.答案： 3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(本小题满分 11 分)设a，b，c，d为实数，求证：(a
8、3b3c3d3)24(a6b6c6d6)证明：由柯西不等式(a3b3c3d3)2(a3)2(b3)2(c3)2(d3)2(12121212)4(a6b6c6d6)18(本小题满分 11 分)设a，b，c为正数，求证：a2b2b2c2c2a2 2(abc)证明：由柯西不等式a2b2 1212ab，即a2b2 2ab，同理b2c2 2bc，c2a22ca，由以上三个同向不等式相加，得2(a2b2b2c2c2a2)2(abc)a2b2b2c2c2a2 2(abc)19(本小题满分 12 分)已知w2x2y2z2F216，求F8wxyz的最大值解析：由柯西不等式得|F8|wxyz| 4w2x2y2z2
9、2 16F2.两边平方后可得 0F165，因此Fmax165，当且仅当wxyz65时，F165.20 (本小题满分 12 分)已知a2b2c21， 若ab 2c|x1|对任意的实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围解析：由柯西不等式得(ab 2c)2(112)(a2b2c2)4，即|ab 2c|2.ab 2c|x1|对任意的实数a，b，c恒成立，|x1|(ab 2c)，即|x1|2，解得x1 或x3.故x的取值范围为(，31，)21(本小题满分 12 分)设a1，a2，an为正数，求证：a21a2a22a3a2n1ana2na1a1a2an.证明： 由所证不等式的对称性， 不妨设 0a1a2
10、an， a21a22a2n，1a11a21an.1a2，1a3，1an，1a1为1a1，1a2，1an的一个排序，由乱序和反序和，得a211a2a221a3a2n11ana2n1a1a211a1a221a2a2n1an，即a21a2a22a3a2n1ana2na1a1a2an.22(本小题满分 12 分)设a1，a2，an为 1，2，n的一个排列，求证：1223n1na1a2a2a3an1an.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1.c1，c2，cn1为a1，a2，a3，an1的一个排列，且c1c2cn1.于是1c11c21cn1.由乱序和反序和，得a1a2a2a3an1anb1c1b2c2bn1cn1.b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n，b1c1b2c2bn1cn11223n1n，即1223n1nb1c1b2c2bn1cn1a1a2a2a3an1an.最新精品资料
最新 人教版数学高中选修第3讲柯西不等式与排序不等式讲末检测含答案
